Números Racionales

¿Qué es la división?

Suponga que usted tiene cuatro panes y desea repartirlos a dos niños de modo que ambos queden contentos, usted le da dos panes a cada niño. Ahora, suponga que tiene dos panes y desea repartirlos entre cuatro niños de modo que todos queden contentos, lo más sensato es partir cada pan por la mitad y darle una mitad a cada niño, muy bien pero, ¿cómo representa esta situación con números?

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Esta situación es representada usando la notación 2 \div 4, esto se lee “dos dividido entre cuatro” e indica la repartición de dos objetos en cuatro partes iguales y se conoce como división. Si usamos una calculadora o usamos el método de división larga obtenemos el valor 0,5.

Por otra parte, si usted tiene una torta y quiere repartirla entre dos niños, le da la mitad a cada uno. Esto lo representamos con la división 1 \div 2 cuyo resultado es 0,5. En otra situación, suponga que tiene siete litros de agua y quiere verterlos equitativamente entre catorce recipientes, en este caso debe llenar cada uno de los recipientes con medio litro de agua, esto lo representamos con la división 7 \div 14 cuyo resultado es 0,5. Notemos que se nos pueden presentar muchas ocasiones en el que obtenemos el valor 0,5, es decir, podemos pensar en varias combinaciones de números cuya división nos dé como resultado 0,5.

Definiremos los Números Racionales para expresar todas las divisiones posibles. Para cualquier par de números enteros a y b (con b \neq 0), definiremos un nuevo número de la forma \frac{a}{b} que representa el resultado de la división a \div b. Entonces el conjunto de los números racionales lo denotaremos por \mathbb{Q} y estará definido de la siguiente manera:

El conjunto de los números racionales | totumat.com

Estos números representarán todas las divisiones posibles entre dos números enteros. Particularmente podemos considerar las divisiones de la forma a \div 1 para notar que 3 \div 1 = 3, 10 \div 1 = 10, -2 \div 1 = -2, 45 \div 1 = 45. En general si a \in \mathbb{Z} entonces a \div 1 = a. Esto nos indica que todo número entero se puede representar como la división entre dos números enteros y por lo tanto el conjunto de los números Enteros es un subconjunto del conjunto de los números Racionales, es decir,

El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales | totumat.com
El conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales

Todos estos números tendrán una particularidad y es que siempre representarán un número con una extensión decimal finita como por ejemplo \frac{1}{2} = 0,5 o representarán números con extensión decimal infinita periódica, es decir, que se repite indefinidamente, como por ejemplo \frac{1}{3} = 0,333333...

Será posible representar gráficamente algunos elementos de este conjunto, sin embargo, no podremos representarlos todos porque este trabajo sería imposible. Hay que destacar que los números racionales llenan los espacios que encontramos entre cada par de números enteros.

Representación gráfica de algunos números racionales | totumat.com
Representación gráfica de algunos números racionales

Es importante destacar algunas divisiones particulares y para esto consideremos dos números enteros a y b.

Las siguiente divisiones nos indican que así como hay una “ley de los signos” para la multiplicación, también la hay para la división,

Ley de los Signos para la división

La expresión \frac{a}{b} también se conoce como Fracción y se puede conocer con más detalle haciendo click en el siguiente enlace: https://totumat.com/2020/04/25/fracciones/

Conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Un Conjunto es una agrupación de objetos de cualquier índole. Por ejemplo: El conjunto de los días de la semana, el conjunto de los meses de un año, el conjunto de los colores del arcoiris, el conjunto de los números que puedo contar con los dedos de una mano, el conjunto de carros en concesionario, el conjunto de los alumnos inscritos en una institución, el conjunto de gatos en una casa o el conjunto de granos de arena en una playa. Generalmente consideraremos conjuntos cuyos objetos posean una característica en común. Por ejemplo,

  • {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes Sábado, Domingo}.
  • {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, indigo, violeta}.
  • {1,2,3,4,5}.
  • {Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales}.
  • {Carros en un concesionario : sean azules}.

Note que en este último ejemplo, primero definimos el objeto y después describimos la propiedad común que tienen todos los elementos del conjunto comparten. Los dos puntos (:) se leen tal que, entonces este último conjunto se lee El conjunto de los carros en un concesionario tales que sean azules.

Usualmente denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas (A, B, C, D, …), a cada objeto perteneciente al conjunto lo llamaremos elemento del conjunto y los denotaremos con letras minúsculas (a, b, c, d, …). Para denotar que un elemento a está en un conjunto A escribimos,

a pertenece a A | totumat.com

Eso se lee a pertenece a A.

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Subconjuntos

Un subconjunto de un conjunto es una agrupación de objetos que pertenece a un conjunto de objetos. Por ejemplo, considerando los conjuntos arriba descritos: El conjunto de carros azules en un concesionario, el conjunto de los alumnos menores de edad inscritos en una universidad, el conjunto de gatos negros en una casa. Para denotar que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, escribimos

A está contenido en B | totumat.com

Esto se lee “A está contenido en B” y en el siguiente Diagrama de Venn representamos un conjunto contenido dentro de otro.

Ejemplos

Ejemplo 1

El conjunto formado por el día sábado, es un subconjunto del conjunto de los días de la semana, es decir,

{Sábado} \subset {Sábado, Domingo}

Ejemplo 2

El conjunto de los números \{1,2,3,4\} es un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, es decir,

\{1,2,3,4\} \subset \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Ejemplo 3

El conjunto de todos los alumnos de alto promedio Inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es un subconjunto de los Alumnos inscritos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.


Los conjuntos los podemos describir de dos formas: extensivamente o comprensivamente. En la primera se nombrarán todos los elementos del conjunto y en la segunda se describe indicando una propiedad común que tengan todos los elementos del conjunto. La notación que usaremos para escribir los conjuntos será encerrando sus elementos o describiendo su propiedad común entre llaves entre llaves “{ }”.

Por ejemplo, podemos definir el conjunto de todos los números pares extensivamente de la siguiente forma:

El conjunto de todos los números pares.

Sin embargo, también podemos definir este mismo conjunto de forma compresiva así:

El conjunto de todos los números pares.

Nota: Definimos qué es un conjunto con el propósito de entender a qué referirnos cuando hablamos de conjuntos numéricos.