Intervalos

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares. Al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

Sea a un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]

Sentando base en estos intervalos, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales a y b tal que a < b, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = (a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

[a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = [a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b] = (a,b]

Intervalo cerrado

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b)= [a,b]

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos para facilitar su ilustración de una forma mas intuitiva, veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo -1 \leq 10-4x < 22

Ecuación 1

-1 \leq 10-4x

-1 -10 \leq -4x

-11 \leq -4x

\frac{-11}{-4} \geq x

\frac{11}{4} \geq x

x \leq \frac{11}{4}

Solución 1:

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]

Ecuación 2

10-4x < 22

-4x < 22-10

-4x < 12

-4x < 12

x > \frac{12}{-4}

x > -3

Solución 2:

(-3,+\infty)

Por lo tanto, la solución de la inecuación -1 \leq 10-4x < 22 viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]  \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]

Números Reales

¿Qué es la raíz cuadrada de 2?

Empecemos considerando un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene un ángulo recto (90°). Decimos que sus catetos son los lados adyacentes a este ángulo y la hipotenusa será el lado opuesto a dicho ángulo. Entonces, si un cateto mide a, el otro cateto mide b y la hipotenusa mide c, tendremos que:

Triángulo Rectángulo

El Teorema de Pitágoras establece que si usted tiene un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir,

Teorema de Pitágoras

Con este resultado podemos decir que si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4, entonces 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Si la hipotenusa es c, tendremos que c^2=25. Es decir, la hipotenusa será un número tal que multiplicado por él mismo nos da 25 como resultado, ya que 5^2=5\cdot 5 = 25, concluimos que la hipotenusa de este triángulo mide 5.

De igual forma si tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12, la hipotenusa medirá 13. Si los catetos miden 8 y 6, la hipotenusa medirá 10. Notemos que estos casos la medida de la hipotenusa es un número entero, sin embargo, este no es un caso general.

Supongamos que los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cada uno. Tendremos que 1^2 + 1^2 = 1+1=2 . Entonces c^2=2, ¿puede usted pensar en un número racional tal que al multiplicarlo por sí mismo nos dé 2 como resultado? ¿Será 1? ¿Será 2? ¿Qué tal 1,5? La respuesta es que no hay un número racional tal que multiplicado por sí mismo nos dé 2 como resultado.

Esta situación la solucionamos definiendo un nuevo número que no es natural, no es entero y tampoco es racional. Lo denotaremos con \sqrt{2} y diremos que éste satisface la condición c^2=2, es decir, (\sqrt{2})^2=2.

raíz cuadrada de dos

Hay una gran cantidad de situaciones en las que tendremos que definir nuevos números como \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{13}, \sqrt{3453}, \sqrt{\frac{6}{19}}, etc. El símbolo \sqrt{ \ \ } se llama raíz cuadrada, y así como se han presentado estos números, se presentarán otras ocasiones en los que debemos definir nuevos números como por ejemplo \pi, \phi ó \epsilon .

Todos estos números a diferencia de los números racionales tendrán una extensión decimal infinita no periódica, es decir, su extensión decimal nunca se repite. Por ejemplo, con técnicas computarizadas se han logrado calcular hasta la fecha 31 4159 2653 5897 dígitos del número \pi. Estos son los primeros 160 publicados en pi day:

3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899 862 8034 8253 4211 7067 98214 8086 5132 8230 6647 0938 4460 9550 5822 3172 5359 4081 2848 1117 45…

Definiremos un nuevo conjunto que alberga todos estos números y lo llamaremos el conjunto de los Números Irracionales, justamente por su característica de no ser racionales y lo denotaremos con el símbolo \mathbb{I} .

Considerando todos los conjuntos que hemos definido anteriormente, definiremos un nuevo conjunto que alberga a todos los números racionales y todos los números irracionales, lo llamaremos el conjunto de los Números Reales y lo denotaremos por \mathbb{R} , formalmente tendremos que

El conjunto de los números racionales es igual a la unión entre el conjunto de los números racionales y los números irracionales.

De esta forma nos podemos dar cuenta que el conjunto de los números Racionales es un subconjunto del conjunto de los números Reales, más aún, tendremos una cadena de contenciones de la siguiente forma:

Los naturales están contenidos en los enteros contenidos en los racionales contenidos en los reales

Es importante notar que a medida que definimos nuevos conjuntos, llenamos los “huecos” que hay entre los elementos de los conjuntos. Se asemeja a una historia de un autor anónimo que frecuentemente se encuentra en internet:

Anónimo…

Un profesor de filosofía llegó al salón de clases con su termo de café caliente como de costumbre, pero esta vez traía consigo una gran jarra y varios objetos. Sin mediar palabra el profesor llenó la jarra con pelotas de golf y preguntó a sus alumnos si la jarra estaba llena. Ellos asintieron con confusión por la obviedad de la pregunta.

Entonces el profesor tomó una caja de canicas y las vertió también dentro de la jarra; agitó con cuidado la jarra. Las canicas rodaron en las áreas abiertas que había entre las pelotas de golf. De nuevo les preguntó a sus estudiantes si la jarra estaba llena. Por segunda vez, todos estuvieron de acuerdo.

Después, el profesor tomó una caja de arena y la vertió en la jarra. Como ya podrán imaginarse, la arena se deslizó por todos los huecos que aún quedaban. El les preguntó una vez más si la jarra estaba llena. Los estudiantes respondieron al unísono “¡SÍII!”.

Con mucha tranquilidad el profesor tomó su termo de café y lo vertió completamente en la jarra llenando efectivamente el espacio entre la arena. Los estudiantes rieron.

La historia generalmente viene acompañada con algunas frases de autoayuda o reflexiones sobre la vida pero eso no nos interesa, lo importante es notar que al representar el conjunto de los números reales de forma gráfica obtendremos una pasta cohesionada de números sin espacios entre ellos, que representaremos con una recta centrada en el cero de la siguiente forma:

La Recta Real

A esta recta la llamaremos Recta Real y en ella representaremos todos los números que hemos conocido hasta ahora.


– ¡Amor! 2 ha llegado de la guerra pero se ha vuelto irracional.
– ¡¿Qué?! ¡No 2! Él siempre ha sido… ¡Oh, dios!
– ¡Se ha radicalizado!

Números Enteros

¿Está definida la resta de dos números naturales?

Considere el número 4 y el número 7, estos dos son números naturales y por lo tanto ambos representan una cantidad de objetos. Suponga que se tiene una caja con 7 juguetes y se sacan 4 juguetes de ella. La caja quedaría con 3 juguetes. Ahora bien, ¿qué pasaría si se tiene una caja con 4 juguetes y queremos sacar 4 juguetes? ¿O si se quieren sacar 7 juguetes? ¿Qué se obtiene?

Respondamos la primera pregunta, si se tienen 4 juguetes en una caja y se sacan 4, no queda ningún juguete en la caja. Sin embargo, no conocemos ningún número natural que podamos corresponder con esta situación, así que definiremos un nuevo número llamado cero que denotaremos por 0 y nos representará ninguna cantidad.

El número cero nos da pie para definir una nueva gama de números: Si a es un número natural entonces -a será su opuesto aditivo y tendrá la siguiente propiedad:

Opuesto Aditivo

Note que de esta forma forma a será el opuesto aditivo de -a. Sentando base en estos nuevos números podemos definir una nueva operación, si consideramos dos números naturales a y b, entonces al sumar a con el opuesto aditivo de b, la operación a+(-b) se conoce como resta y la escribimos de la siguiente forma:

a menos b

Definiremos el conjunto de los Números Enteros como un nuevo conjunto que contiene a todos los números naturales junto con el número 0 y el opuesto aditivo de cada uno de los números naturales. Lo denotaremos por \mathbb{Z} y lo expresamos extensivamente así:

El conjunto de los números enteros

Gráficamente, podemos disponer los números enteros en una recta de la siguiente manera:

Representación gráfica de los números enteros

Finalmente, es importante acotar que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, es decir,


Operaciones entre conjuntos

Sobre dos conjuntos podemos definir dos operaciones básicas: la unión y la intersección.

Unión de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, definiremos la Unión de estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de A junto con todos los elementos de B y la denotaremos por A \cup B. Si consideramos un elemento c del conjunto A \cup B entonces c pertenece a A o pertenece a B.

Los Diagramas de Venn nos ayudan a expresar visualmente los conjuntos para entender algunas ideas, usualmente se usan círculos para representar conjuntos contenidos en un universo rectangular. A continuación, usaremos un Diagrama de Venn para expresar visualmente la unión entre dos conjuntos.

Ejemplos

Ejemplo 1

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, la unión del conjunto de todos los estudiantes que miden menos de un metro con cincuenta centímetros con el conjunto de todos los estudiantes que miden más o incluso un metro con cincuenta centímetros es el conjunto de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

Ejemplo 2

La unión del conjunto \{1,2,3,4\} con el conjunto \{5,6,7\} es el conjunto \{1,2,3,4,5,6,7\}, es decir,

\{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7\} = \{1,2,3,4,5,6,7\}

Ejemplo 3

La unión del conjunto \{3,4,5,6,7,8\} con el conjunto \{5,6,7,8,9,10,11\} es el conjunto \{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}, es decir,

\{3,4,5,6,7,8\} \cup \{5,6,7,8,9,10,11\} = \{3,4,5,6,7,8,9,10,11\}


Notemos que aunque hay elementos comunes en ambos conjuntos, estos sólo se cuentan una vez en la unión de los dos conjuntos.

Intersección de Conjuntos

Por otra parte si consideramos nuevamente dos conjuntos A y B, definiremos la Intersección entre estos dos conjuntos como un nuevo conjunto que contiene todos los elementos que están en A y que están en B al mismo tiempo, y lo denotaremos por A \cap B . Si consideramos un elemento c de A \cap B entonces c pertenece a A y pertenece a B. En el siguiente Diagrama de Venn, la intersección de los conjuntos queda representada por el área donde las líneas se cruzan.

Ejemplos

Ejemplo 4

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, la intersección del conjunto de todos los estudiantes de sexo masculino con el conjunto de todos los estudiantes que tienen un promedio de calificaciones de 10 puntos es el conjunto de todos los estudiantes de sexo masculino con un promedio de calificaciones de 10 puntos en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales.

Ejemplo 5

La intersección del conjunto \{1,2,3,4,5,6\} con el conjunto \{5,6,7,8,9,10,11\} es el conjunto \{5,6\}, es decir,

\{1,2,3,4,5,6\} \cap \{5,6,7,8,9,10,11\} = \{5,6\}

Ejemplo 6

La intersección del conjunto \{1,2,3,4\} con el conjunto \{5,6,7\} es un conjunto que no tiene elementos y que llamaremos el conjunto vacío, lo denotaremos de la siguiente forma

\{1,2,3,4\} \cup \{5,6,7\} = \varnothing


Complemento de un Conjunto

Diremos que el Universo (conjunto universal) es el contexto donde están definidos nuestros conjuntos, en él estarán contenidos todos los conjuntos de nuestro estudio. Por ejemplo, podemos considerar un conjunto A igual a \{2,4,6\} en el universo \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}.

Sentando base en esto, si consideramos un conjunto A, definiremos el Complemento de A como un conjunto especial que está definido como todos los elementos que no están en A y lo denotaremos por A^{c}. Si consideramos un elemento c de A^{c} entonces c no está en A. En el siguiente Diagrama de Venn, representaremos este conjunto

Ejemplos

Ejemplo 7

Dentro de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, el complemento del conjunto de las personas que miden más o incluso un metro con ochenta centímetros es el conjunto de las personas que miden menos de un metro con ochenta centímetros.

Ejemplo 8

En el universo \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}, el complemento del conjunto \{1,2,3,4,5,6\} es el conjunto \{7,8,9,10,11\}, es decir,

\{1,2,3,4,5,6\}^{c} = \{7,8,9,10,11\}

Ejemplo 9

En el universo \{5,6,7,8,9\}, el complemento del conjunto \{5,6,7,8,9\} es un conjunto que no tiene elementos y que llamaremos el conjunto vacío, lo denotaremos de la siguiente forma
es decir,

\{5,6,7,8,9\}^{c} = \varnothing

Nota: De forma general, diremos que U^{c} = \varnothing y que \varnothing^{c} = U.