Ejercicios Propuestos – Operaciones entre Conjuntos

Tomando en cuenta las operaciones básicas entre conjuntos, escriba de forma extensiva los conjuntos resultantes al efectuar las operaciones indicadas.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {x, b, s, k, c, o, f, q, t, h, e, ñ, w, p, j, g, d, u, a, n, y, r}

B = {y, ñ, m, e, z, a, k, u, q, s, c, l, d, x}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {f, i, j, v, a, y}

B = {z, g, p, e, o, w, h, j, n, f, r, a, s, v, l, u}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {13, 9, 2, 1, 12, 3, 6, 5, 14}

B = {4, 11, 1, 14, 10, 9, 2, 13, 15, 5, 8, 7, 12}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {punto, octágono}

B = {rombo, trapecio, ángulo, cuadrilátero, pentágono, octágono, punto}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {v, w, q, k, g, b, j, n, i, p, l, m, a, ñ, x, f, u, y, r, o, h, e, d, c, z, t, s}

B = {y, ñ, r, d, j, m, k, s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {cuadrilátero, hexágono, rombo}

B = {heptágono, ángulo}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {rombo, recta, heptágono, hexágono, punto, ángulo, pentágono}

B = {heptágono, rectángulo, cuadrilátero, rombo, recta, punto, ángulo, octágono, hexágono, triángulo, pentágono, trapecio}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {inecuaciones, aritmética, geometría}

B = {ecuaciones, integrales, inecuaciones, rectas, sucesiones, matrices}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {ecuaciones, límites, geometría, polinomios, aritmética}

B = {polinomios, integrales, matrices, derivas, funciones, geometría, rectas}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {integrales, funciones, derivas, rectas, ecuaciones, polinomios, aritmética, matrices, inecuaciones}

B = {rectas, geometría, integrales, derivas}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {o, ñ, p, w, a, z, e, b, x, u, n, i, q, l, t, r, v, m, g, y}

B = {i, k}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {cuadrilátero, trapecio, rectángulo, heptágono, punto, ángulo, rombo}

B = {ángulo, triángulo, rectángulo}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {j, z, p, k, i, t, u, s, x, m, l, v, w, r, e, o, a, h}

B = {y, x, l, a, r, c, m, q, i, t, w, b, d, e, s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {b, g, w, i, u, d, ñ, v, a, o, y, z, r, t}

B = {s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {3, 2, 9, 4, 12, 15, 1, 5, 7, 0, 8}

B = {5, 6, 7}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {negro, azul, marrón, gris, verde, naranja, rosa, púrpura, rojo, blanco, amarillo}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {rosa}

B = {blanco, amarillo, gris, rosa, rojo, azul}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.

Tomando en cuenta las operaciones básicas entre conjuntos, escriba de forma extensiva los conjuntos resultantes al efectuar las operaciones indicadas.

  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {x, b, s, k, c, o, f, q, t, h, e, ñ, w, p, j, g, d, u, a, n, y, r}

B = {y, ñ, m, e, z, a, k, u, q, s, c, l, d, x}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {f, i, j, v, a, y}

B = {z, g, p, e, o, w, h, j, n, f, r, a, s, v, l, u}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {13, 9, 2, 1, 12, 3, 6, 5, 14}

B = {4, 11, 1, 14, 10, 9, 2, 13, 15, 5, 8, 7, 12}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {punto}

B = {rombo, trapecio, ángulo, cuadrilátero, pentágono, octágono, punto}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {v, w, q, k, g, b, j, n, i, p, l, m, a, ñ, x, f, u, y, r, o, h, e, d, c, z, t, s}

B = {y, ñ, r, d, j, m, k, s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {cuadrilátero, hexágono, rombo}

B = {heptágono, ángulo}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {rombo, recta, heptágono, hexágono, punto, ángulo, pentágono}

B = {heptágono, rectángulo, cuadrilátero, rombo, recta, punto, ángulo, octágono, hexágono, triángulo, pentágono, trapecio}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {inecuaciones, aritmética, geometría}

B = {ecuaciones, integrales, inecuaciones, rectas, sucesiones, matrices}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {ecuaciones, límites, geometría, polinomios, aritmética}

B = {polinomios, integrales, matrices, derivas, funciones, geometría, rectas}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {ecuaciones, inecuaciones, polinomios, rectas, funciones, límites, derivas, integrales, matrices, sucesiones, geometría, aritmética}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {integrales, funciones, derivas, rectas, ecuaciones, polinomios, aritmética, matrices, inecuaciones}

B = {rectas, geometría, integrales, derivas}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {o, ñ, p, w, a, z, e, b, x, u, n, i, q, l, t, r, v, m, g, y}

B = {i, k}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {recta, punto, ángulo, triángulo, cuadrilátero, rectángulo, rombo, trapecio, pentágono, hexágono, heptágono, octágono}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {cuadrilátero, trapecio, rectángulo, heptágono, punto, ángulo, rombo}

B = {ángulo, triángulo, rectángulo}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {j, z, p, k, i, t, u, s, x, m, l, v, w, r, e, o, a, h}

B = {y, x, l, a, r, c, m, q, i, t, w, b, d, e, s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {b, g, w, i, u, d, ñ, v, a, o, y, z, r, t}

B = {s}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {3, 2, 9, 4, 12, 15, 1, 5, 7, 0, 8}

B = {5, 6, 7}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


  1. Considerando un conjunto universal:

U = {negro, azul, marrón, gris, verde, naranja, rosa, púrpura, rojo, blanco, amarillo}

y los siguientes conjuntos pertenecientes a este conjunto universal:

A = {rosa}

B = {blanco, amarillo, gris, rosa, rojo, azul}

Calcule A \cup B, A \cap B, A' y B'.


Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Diagramas Sagitales: Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.

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Tipos de funciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, sabemos que una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:

Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se le corresponden más de un elemento del dominio.

Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.

También podemos decir que corresponde a todo elemento b que está en B con un único elemento a que está en A.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.


Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:

  • Si la función inyectiva, a los elementos de B llega a lo sumo una línea.
  • Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de B llega al menos una línea.
  • Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de B llega exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de B llega exactamente una línea.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función sobreyectiva | totumat.com

Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 5.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto B no está correspondido con ningún elemento de A.

Esta sí es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.


Diagramas Sagitales Funciones

Diagramas Sagitales: Funciones

Habiendo definido las relaciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos considerar un grupo de relaciones muy particular que cumple un papel fundamental en el estudio de las matemáticas, particularmente cuando estamos estudiando conjuntos numéricos.

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Funciones como Relaciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, generalmente se identifica con la letra f y se denota de la siguiente forma

f : A \rightarrow B.

Identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento a del conjunto A con un elemento b del conjunto B con el par ordenado (a,b) (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida y al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.

Dominio y Rango de una Función

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

  • Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida
  • Al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.
  • Al conjunto de elementos de A correspondido con elementos de B se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes. Notemos que de la forma en que están definidas las funciones, el dominio será igual al conjunto de salida.
  • Si un elemento de a de A está correspondido con un elemento de b de B, diremos que a es una preimagen de b.
  • Al conjunto de elementos de B correspondido con elementos de A se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
  • Si un elemento de b de B está correspondido con un elemento de a de A, diremos que b es una imagen de a.
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Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues a cada niño se le corresponde un sólo gorro, así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Ana, José, Roberto}.
  • El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta relación no es una función entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues la marca Pixel está correspondida con dos características, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Pero tomando en cuenta que esta relación no es una función.

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
  • El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

Las relaciones que son funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que si la relación es una función, entonces de todos y cada de los elementos del conjunto A debe salir exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta relación sí es una función entre el conjunto de niños y el conjunto actividades pues a cada niño se le ha correspondido una sola actividad, así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que de cada elemento del conjunto A sale sólo una línea, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una función, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
  • El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.
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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta relación no es una función entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores pues al automóvil número 2 se le han correspondido dos colores distintos, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del automóvil número 2 salen dos líneas, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta.

Esta relación no es una función entre el conjunto A y el conjunto B por varias razones: al número 1 se le han correspondido cuatro números distintos, al número 2 se le han correspondido dos números distintos y al número 5 no se le ha correspondido con ningún número, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital notando que del número 1 salen cuatro líneas, del número 2 salen dos líneas y del número 5 no sale ninguna línea, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {1,2,3,4}.

Diagramas Sagitales: Relaciones

Al definir los conjuntos, nos hemos apoyado en los Diagramas de Venn para estudiar las operaciones entre ellos, tales como unión, intersección o complemento de conjuntos. Siguiendo esta representación ilustrada de los conjuntos, es posible definir otro tipo de diagramas que ayudan a estudiar las correspondencias que podemos establecer entre los elementos de dos conjuntos.

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Relaciones

Diremos que estos dos conjuntos están relacionados si podemos establecer correspondencias entre los elementos de uno con los elementos del otro. Por ejemplo, en una fiesta de cumpleaños, podemos corresponder a cada niño con un gorro de cumpleaños diferente, de esta forma, establecemos una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros de cumpleaños.

Formalmente, si consideramos dos conjuntos A y B, identificaremos la correspondencia que existe entre un elemento a del conjunto A con un elemento b del conjunto B con el par ordenado (a,b) (decimos par ordenado para señalar que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento pertenece al segundo conjunto).

Más aún, diremos que una relación del conjunto A con el conjunto B es el conjunto de todas las correspondencias entre los elementos de A y B, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) tales que a está en A y que b está en B generalmente se identifica con la letra r y se denota de la siguiente forma

r : A \rightarrow B.

Dominio y Rango de una Relación

Al definir relaciones, podemos identificar algunos de los elementos que las componen:

  • Al conjunto A se le conoce como el conjunto de salida
  • Al conjunto B se le conoce como el conjunto de llegada.
  • Al conjunto de elementos de A correspondido con elementos de B se le conoce como el dominio o conjunto de las preimágenes.
  • Si un elemento de a de A está correspondido con un elemento de b de B, diremos que a es una preimagen de b.
  • Al conjunto de elementos de B correspondido con elementos de A se le conoce como el rango o conjunto de las imágenes.
  • Si un elemento de b de B está correspondido con un elemento de a de A, diremos que b es una imagen de a.
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Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado, rosado, azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Ana, José, Roberto}.
  • El rango es {Verde, Morado, Azul}.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi, iPhone y Orinoquia. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene todas las características, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de marcas y el conjunto características, así, podemos expresar la relación R : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Pixel, Conectividad 5G) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {Pixel, Samsung, iPhone}.
  • El rango es {Cámara HD, Conectividad 5G}.

Las relaciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar relaciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de niños y el conjunto actividades, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {María, Pedro, Jerick, Laura, Fabiana}.
  • El rango es {Leer, Escribir, Sumar, Restar, Dibujar}.
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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo y azul, el 3 y 4 de rojo.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto de automóviles y el conjunto colores, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (2, Azul) ; (3, Rojo) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {Amarillo, Azul, Rojo}.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 4.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta.

Esta correspondencia establece una relación entre el conjunto A y el conjunto B, así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, 1) ; (1, 2) ; (1, 3) ; (1, 4) ; (2, 2) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,4) }

Pero además, podemos ilustrar esta relación con un diagrama sagital, de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Relación | totumat.com

Siempre es importante identificar el dominio y rango de una relación, pues así podemos identificar con mayor facilidad los elementos involucrados en las correspondencias. En este caso, tenemos que,

  • El dominio es {1,2,3,4}.
  • El rango es {1,2,3,4}.

Intervalos

¡Acotemos conjuntos numéricos!

Al considerar la solución de una inecuación, tenemos conjuntos numéricos muy particulares. Al expresar estos de forma gráfica sobre la recta real, vemos que tienen una estructura parecida, es por esto que podemos clasificar las distintas formas en que podemos expresar estas soluciones. Para esto definimos los intervalos.

Sea a un numero real, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos no acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x > a \} = (a,+\infty)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x > a \} = [a,+\infty)

Intervalo abierto en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a)

Intervalo cerrado en a

\{ x \in R : x < a \} = (-\infty,a]

Sentando base en estos intervalos, es posible definir otro tipo de intervalos a partir de la intersección de estos. Es decir, definimos un intervalo como el conjunto de todos los números que se encuentran entre dos números dados. Consideremos dos números reales a y b tal que a < b, entonces podemos definir cuatro tipo de intervalos acotados de la siguiente forma:

Intervalo abierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = (a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

[a,+\infty) \cap  (-\infty,b) = [a,b)

Intervalo semicerrado o semiabierto

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b] = (a,b]

Intervalo cerrado

(a,+\infty) \cap  (-\infty,b)= [a,b]

De esta forma, si consideramos una inecuación, podemos expresar su solución en términos de intervalos para facilitar su ilustración de una forma mas intuitiva, veamos con un ejemplo como usar intervalos al resolver inecuaciones.

Ejemplo -1 \leq 10-4x < 22

Ecuación 1

-1 \leq 10-4x

-1 -10 \leq -4x

-11 \leq -4x

\frac{-11}{-4} \geq x

\frac{11}{4} \geq x

x \leq \frac{11}{4}

Solución 1:

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]

Ecuación 2

10-4x < 22

-4x < 22-10

-4x < 12

-4x < 12

x > \frac{12}{-4}

x > -3

Solución 2:

(-3,+\infty)

Por lo tanto, la solución de la inecuación -1 \leq 10-4x < 22 viene dada por la intersección de la solución 1 con la solución 2, es decir,

\left(-\infty,\frac{11}{4} \right]  \cap (-3,+\infty) = \left( -3,\frac{11}{4} \right]