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Función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva

Diagramas Sagitales: Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Anthonny Arias-García2 comentarios
  1. Tipos de funciones
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
  2. Diagramas Sagitales
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 3
      2. Ejemplo 4
      3. Ejemplo 5

Habiendo definido las funciones y usando los diagramas sagitales para estudiarlas. Podemos clasificar las funciones considerando la forma en que las correspondencias entre elementos están dadas, estas clasificaciones cumplen un papel fundamental en el estudio de las matemáticas.

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Tipos de funciones

Si consideramos dos conjuntos A y B, sabemos que una función es una relación del conjunto A con el conjunto B que corresponde a todo elemento a que está en A con un único elemento b que está en B, pero además, podemos clasificarlas de la siguiente forma:

Función Inyectiva: Diremos que una función es inyectiva si los elementos del rango están correspondidos con sólo un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que a los elementos del conjunto de llegada no se les corresponde más de un elemento del dominio.

Función Sobreyectiva: Diremos que una función es sobreyectiva si los elementos conjunto de llegada están correspondidos con al menos un elemento del dominio.

También pudiéramos decir que el conjunto de llegada es igual al rango de la función.

Función Biyectiva: Diremos que una función es biyectiva si es inyectiva y es sobreyectiva al mismo tiempo.

También podemos decir que corresponde a todo elemento b que está en B con un único elemento a que está en A.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere el conjunto A conformado por tres niños en una fiesta de cumpleaños: Ana, José y Roberto. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los gorros de colores: verde, morado y azul.

Supongamos que a Ana le corresponde el gorro verde, a José le corresponde el gorro morado y a Roberto le corresponde el gorro azul. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (Ana, Verde) ; (José, Morado) ; (Roberto, Azul) }

Esta sí es una función inyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues no se le ha correspondido el mismo gorro a más de un niño.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues todos los gorros han sido correspondidos con un niño.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de los niños y el conjunto de los gorros pues es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplo 2

Considere el conjunto A conformado por 5 marcas de teléfonos celulares: Pixel, Samsung, Xiaomi y iPhone. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por características de teléfonos celulares: Cámara HD y Conectividad 5G.

Supongamos que los fabricantes de estas marcas, añaden las características a los teléfonos de la siguiente forma: Pixel tiene Cámara HD, Samsung tiene Conectividad 5G y iPhone tiene Cámara HD. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (Pixel, Cámara HD) ; (Samsung, Conectividad 5G) ; (iPhone, Cámara HD)}

Esta no es una función inyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues existen dos marcas con la misma característica.

Esta sí es una función sobreyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues todas las características han sido adoptadas por al menos una marca.

Esta sí es una función biyectiva entre el conjunto de marcas y el conjunto características pues es no es inyectiva.

Los tipos de funciones se pueden apreciar con mayor claridad cuando las ilustramos, veamos como hacer esto.

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Diagramas Sagitales

Los diagramas sagitales consisten en ilustraciones que permiten representar las relaciones entre los elementos de dos conjuntos identificando los siguientes elementos:

  • Los conjuntos se representan con círculos u óvalos.
  • Los elementos de los conjuntos se representan con puntos.
  • La relación entre elementos, se representan con líneas o flechas.

Consideremos en los siguientes ejemplos para ilustrar funciones entre dos conjuntos usando diagramas sagitales, notando que:

  • Si la función inyectiva, a los elementos de B llega a lo sumo una línea.
  • Si la función es sobreyectiva, a todos los elementos de B llega al menos una línea.
  • Si la función es biyectiva, a todos y cada uno de los elementos de B llega exactamente una línea.

Ejemplos

Ejemplo 3

Considere el conjunto A conformado por cinco niños en un salón de clases: María, Pedro, Jerick, Laura y Fabiana. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por cinco actividades que hay que desarrollar en el salón de clases a una determinada hora: leer, escribir, sumar, restar y dibujar.

Supongamos que a María le corresponde leer, a Pedro le corresponde escribir, a Jerick le corresponde sumar, a Laura le corresponde restar y a Fabiana le corresponde dibujar. Así, podemos expresar la función f : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

f = { (María, Leer) ; (Pedro, Escribir) ; (Jerick, Sumar) ; (Laura, Restar) ; (Fabiana, Dibujar) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta sí es una función biyectiva, porque a cada elemento de B llega exactamente una línea.

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Ejemplo 4

Considere el conjunto A conformado por cuatro automóviles enumerados con 1, 2, 3 y 4. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por tres colores: amarillo, azul y rojo.

Supongamos que estos automóviles deben ser pintados de uno o dos colores: el 1 es pintado de amarillo, el 2 de amarillo, el 3 de azul y el 4 de rojo. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (1, Amarillo) ; (2, Amarillo) ; (3, Azul) ; (4, Rojo) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función sobreyectiva | totumat.com

Esta no es una función inyectiva, porque llegan dos líneas al color amarillo.

Esta sí es una función sobreyectiva, porque llega al menos una línea a cada elemento de B.

Esta no es una función biyectiva, porque no es inyectiva.

Ejemplo 5

Considere el conjunto A conformado por los números 2, 3, 5. Por otra parte, consideremos el conjunto B conformado por los números: 1, 2, 3, 5.

Diremos que un elemento a del conjunto A está relacionado con un elemento b del conjunto B si a es un divisor de b, es decir, tal que la división \frac{b}{a} es exacta. Así, podemos expresar la relación r : A \rightarrow B como el conjunto de los siguientes pares ordenados:

r = { (2, 2) ; (3, 3) ; (5, 5) }

Pero además, podemos ilustrar esta función con un diagrama sagital de la siguiente manera:

Diagrama Sagital de una Función inyectiva | totumat.com

Esta sí es una función inyectiva, porque no llegan más de dos líneas a los elementos de B.

Esta no es una función sobreyectiva, porque el número 1 en el conjunto B no está correspondido con ningún elemento de A.

Esta sí es una función biyectiva, porque no es sobreyectiva.

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Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Anthonny Arias-García10 comentarios
  1. Función Inyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1: Función inyectiva
    2. Ejemplos
      1. Ejemplo 2: Función inyectiva
      2. Ejemplo 3: Función no inyectiva
      3. Ejemplo 4: Función inyectiva
  2. Función Sobreyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 5: Función sobreyectiva
      2. Ejemplo 6: Función no sobreyectiva
      3. Ejemplo 7: Función sobreyectiva
  3. Función Biyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva
      2. Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función f: A \longrightarrow B establece entre los elementos de A y B. Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

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Función Inyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de A y de B, es decir que cada elemento de Dom(f) está correspondido con único elemento de Rgo(f) y cada elemento de Rgo(f) está correspondido con un único elemento de Dom(f).

Formalmente, decimos que la función f es inyectiva si para todo a,b \in A se cumple lo siguiente:

a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b

Ejemplos

Ejemplo 1: Función inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2, esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos 2 y -2 de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4

Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función f en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 2: Función inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3: Función no inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto (0,4), notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 4: Función inyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

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Función Sobreyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, entonces f es una función sobreyectiva si todo elemento de B tiene una preimagen, es decir que Rgo(f)=B. Formalmente, f es sobreyectiva si:

Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 5: Función sobreyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^3,

Ella sí es sobreyectiva pues Rgo(f) = \mathbb{R}.

Ejemplo 6: Función no sobreyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella no es sobreyectiva, ya que Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}.

Ejemplo 7: Función sobreyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty] definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella sí es sobreyectiva pues Rgo(f) = [0,+\infty].

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

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Función Biyectiva

Diremos que la función f : A \longrightarrow B es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva

Si consideramos la función f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \ln(x),

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además, sí es sobreyectiva ya que Rgo(f) = \mathbb{R}, por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Si consideramos la función f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como

Función por partes | totumat.com

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

  • Si x>0 entonces f(x) = \frac{x}{x} = 1.
  • Si x<0 entonces f(x) = \frac{-x}{x} = -1.
  • Si x=0 entonces f(x) = 0.

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, 5 y 7, sus imágenes son iguales pues f(5)=1 y f(7)=1. Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a \mathbb{R} y su rango es igual a \{ -1,0,1 \}.

Por lo tanto, concluimos que esta función no es biyectiva.

Esto se puede apreciar gráficamente:

Función por partes | totumat.com