Operaciones entre Funciones

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones f : A \longrightarrow B y g : C \longrightarrow D. Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

Dominio de Operaciones entre Funciones

La imagen de x a través de la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f + g \big)(x) = f(x) + g(x)
Dom\big( f + g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través de la resta de las funciones f y g es la resta de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f - g \big)(x) = f(x) - g(x)
Dom\big( f - g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través del producto de las funciones f y g es el producto de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f \cdot g \big)(x) = f(x) \cdot g(x)
Dom\big( f \cdot g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través del cociente de las funciones f entre g es el cociente de las imágenes respectivas, formalmente,

\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
Dom \left( \frac{f}{g} \right) = Dom(f) \cap Dom(g) - \{x : g(x) = 0 \}

Veamos con algunos ejemplos como determinar el dominio de algunas funciones definidas como el resultado de la operación entre funciones.

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2 y g(x)=5x definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

$\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x$

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}

Ejemplo 2

Sean f(x)=\sqrt{x} y g(x)=7x+1 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)

Considerando que Dom(f) = [0,+\infty) y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)

Ejemplo 3

Sean f(x)=-\text{\rm e}^{x-7} y g(x)=\frac{1}{x+2}+2 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( -\text{\rm e}^{x-7} \big) \cdot \left( \frac{1}{x+2}+2 \right)

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}-\{-2\}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = \mathbb{R} \cap \left ( \mathbb{R}-\{-2\} \right) = \mathbb{R} - \{-2\}

Ejemplo 4

Sean f(x)=\ln(x+3)-5 y g(x)=\sqrt[4]{-x+6}+10 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( 4\ln(x+3)-5 \big) \cdot \left( \sqrt[4]{-x+6}+10 \right)

Considerando que Dom(f) = (-3,+\infty) y que Dom(g) = [-\infty,6] , entonces concluimos que

Dom(f - g) = (-3,+\infty) \cap [-\infty,6] - { 6 } = (-3,6] - {6} = (-3,6)

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