Funciones

Operaciones entre Funciones y su Dominio

Anthonny Arias-García5 comentarios
  1. Dominio de Operaciones entre Funciones
    1. Dominio de la suma de dos funciones
    2. Dominio de la resta de dos funciones
    3. Dominio del producto entre dos funciones
    4. Dominio del cociente entre dos funciones
  2. Ejemplos
    1. Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones
    2. Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones
    3. Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones
    4. Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones f : A \longrightarrow B y g : C \longrightarrow D. Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

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Dominio de Operaciones entre Funciones

Dominio de la suma de dos funciones

La imagen de x a través de la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f + g \big)(x) = f(x) + g(x)

Dom\big( f + g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio de la resta de dos funciones

La imagen de x a través de la resta de las funciones f y g es la resta de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f - g \big)(x) = f(x) - g(x)

Dom\big( f - g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del producto entre dos funciones

La imagen de x a través del producto de las funciones f y g es el producto de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f \cdot g \big)(x) = f(x) \cdot g(x)

Dom\big( f \cdot g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del cociente entre dos funciones

La imagen de x a través del cociente de las funciones f entre g es el cociente de las imágenes respectivas, formalmente,

\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}

Dom \left( \dfrac{f}{g} \right) = Dom(f) \cap Dom(g) - \{x : g(x) = 0 \}

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Veamos con algunos ejemplos como determinar el dominio de algunas funciones definidas como el resultado de la operación entre funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones

Sean f(x)=x^2 y g(x)=5x definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}

Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones

Sean f(x)=\sqrt{x} y g(x)=7x+1 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)

Considerando que Dom(f) = [0,+\infty) y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)

Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones

Sean f(x)=-\text{\rm e}^{x-7} y g(x)=\frac{1}{x+2}+2 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( -\text{\rm e}^{x-7} \big) \cdot \left( \frac{1}{x+2}+2 \right)

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}-\{-2\}, entonces concluimos que

Dom(f \cdot g) = \mathbb{R} \cap \left ( \mathbb{R}-\{-2\} \right) = \mathbb{R} - \{-2\}

Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Sean f(x)=\ln(x+3)-5 y g(x)=\sqrt[4]{-x+6}+10 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{ 4\ln(x+3)-5}{\sqrt[4]{-x+6}+10}

Considerando que Dom(f) = (-3,+\infty) y que Dom(g) = [-\infty,6] , entonces concluimos que

Dom(\dfrac{f}{g}) = (-3,+\infty) \cap [-\infty,6] - \{ 6 \} = (-3,6] - {6} = (-3,6)

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