Función Inversa

La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división. Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa \Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No-Conmutativa \Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Elemento Neutro \Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Existe una cuarta propiedad y es que así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Por ejemplo, si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)
=  f \Big( g(x) \Big)
=  f \Big( x-1 \Big)
=  (x-1)+1
=  x -1 +1
=  x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentales, es posible determinar sus inversas. Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva. Definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

  1. Si f(x) = x entonces f^{-1}(x)=x.
  2. Si f(x) = x^2 entonces f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
  3. Si f(x) = x^3 entonces f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.
  4. De forma general, si
    f(x) = x^n \text{ entonces } f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}
  5. Si f(x) = \dfrac{1}{x} entonces f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}.
  6. De forma general, si
    f(x) = \dfrac{1}{x^n} \text{ entonces } f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x^n}
  7. Si f(x) = {\rm e}^x entonces f^{-1}(x)=\ln(x).
  8. Si f(x) = sen(x) entonces f^{-1}(x)= arcsen(x).
  9. Si f(x) = cos(x) entonces f^{-1}(x)= arccos(x).
  10. Si f(x) = tan(x) entonces f^{-1}(x)= arctan(x).

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Para esto recurrimos a una variable auxiliar y=f(x) para obtener y=x^2+1.

Nuestro objetivo será despejar la variable x de esta ecuación.

y = x^2+1
\Rightarrow y-1 = x^2
\Rightarrow \sqrt{y-1} = \sqrt{x^2}
\Rightarrow \sqrt{y-1} = |x|
\Rightarrow \sqrt{y-1} = x
\Rightarrow x = \sqrt{y-1}

Finalmente definimos f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

y = \frac{1}{x-5}-2
\Rightarrow y+2 = \frac{1}{x-5}
\Rightarrow \frac{1}{y+2} = x-5
\Rightarrow \frac{1}{y+2} + 5 = x
\Rightarrow x = \frac{1}{y+2} + 5
\Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \frac{1}{x+2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

y = \ln(x+6) - 3
\Rightarrow y+3 = \ln(x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = {\rm e}^{\ln(x+6)}
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = (x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6 = x
\Rightarrow x = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6
\Rightarrow f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \text{\rm \Large e}^{x+3} - 6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.


Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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