La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división. Si consideramos ,
y
funciones, veamos cuales son estas propiedades:
Asociativa
No-Conmutativa
Elemento Neutro
Existe una cuarta propiedad y es que así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.
Definimos la inversa de una función biyectiva como una función
tal que al componer
con
y
con
, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,
Por ejemplo, si y
son dos funciones, al calcular
.
Por lo tanto podemos concluir que la función es la inversa de la función
, en otras palabras,
.
Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentales, es posible determinar sus inversas. Particularmente, si es una función biyectiva. Definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- De forma general, si
- Si
entonces
.
- De forma general, si
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
- Si
entonces
.
Note que si es la inversa de una función
entonces
es la inversa de la función
, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:
Ejemplo 1
Sea una función definida de la siguiente manera:
. Calcule
.
Para esto recurrimos a una variable auxiliar para obtener
Nuestro objetivo será despejar la variable de esta ecuación.
Finalmente definimos . Como
es una variable real, podemos sustituirla por
nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado:
Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.
Ejemplo 2
Sea una función definida de la siguiente manera:
. Calcule
.
Finalmente definimos . Como
es una variable real, podemos sustituirla por
nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado:
Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.
Ejemplo 3
Sea una función definida de la siguiente manera:
. Calcule
.
Finalmente definimos . Como
es una variable real, podemos sustituirla por
nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado:
Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.
Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que .
[…] Es importante conocer las funciones inversas, notemos que en este caso se usó la función raíz cuadrada para poder despejar la variable […]
Me gustaMe gusta
[…] interés estudiar la composición de funciones y de forma aún más particular, el estudio de las funciones inversas. Este meme ilustra la composición de funciones de la mejor forma […]
Me gustaMe gusta