Función Inversa

La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división. Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa \Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No-Conmutativa \Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Elemento Neutro \Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Existe una cuarta propiedad y es que así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Por ejemplo, si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)
=  f \Big( g(x) \Big)
=  f \Big( x-1 \Big)
=  (x-1)+1
=  x -1 +1
=  x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentales, es posible determinar sus inversas. Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva. Definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

  1. Si f(x) = x entonces f^{-1}(x)=x.
  2. Si f(x) = x^2 entonces f^{-1}(x)=\sqrt{x}.
  3. Si f(x) = x^3 entonces f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.
  4. De forma general, si
    f(x) = x^n \text{ entonces } f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}
  5. Si f(x) = \dfrac{1}{x} entonces f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}.
  6. De forma general, si
    f(x) = \dfrac{1}{x^n} \text{ entonces } f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x^n}
  7. Si f(x) = {\rm e}^x entonces f^{-1}(x)=\ln(x).
  8. Si f(x) = sen(x) entonces f^{-1}(x)= arcsen(x).
  9. Si f(x) = cos(x) entonces f^{-1}(x)= arccos(x).
  10. Si f(x) = tan(x) entonces f^{-1}(x)= arctan(x).

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Para esto recurrimos a una variable auxiliar y=f(x) para obtener y=x^2+1.

Nuestro objetivo será despejar la variable x de esta ecuación.

y = x^2+1
\Rightarrow y-1 = x^2
\Rightarrow \sqrt{y-1} = \sqrt{x^2}
\Rightarrow \sqrt{y-1} = |x|
\Rightarrow \sqrt{y-1} = x
\Rightarrow x = \sqrt{y-1}

Finalmente definimos f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

y = \frac{1}{x-5}-2
\Rightarrow y+2 = \frac{1}{x-5}
\Rightarrow \frac{1}{y+2} = x-5
\Rightarrow \frac{1}{y+2} + 5 = x
\Rightarrow x = \frac{1}{y+2} + 5
\Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \frac{1}{x+2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

y = \ln(x+6) - 3
\Rightarrow y+3 = \ln(x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = {\rm e}^{\ln(x+6)}
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} = (x+6)
\Rightarrow \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6 = x
\Rightarrow x = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6
\Rightarrow f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \text{\rm \Large e}^{y+3} - 6. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \text{\rm \Large e}^{x+3} - 6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.


Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .

Composición de Funciones y Dominio de Funciones Compuestas

Composición de Funciones

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos g : A \longrightarrow B y f: C \longrightarrow D dos funciones, definimos la composición de g con f como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento a \in A un único elemento c \in C, la denotamos como f \circ g : A \longrightarrow D y la definimos de la siguiente forma:

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2-2 y g(x)=x+1, calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)  =  f \Big( g(x) \Big)  =  \big( g(x) \big)^2-2  =  (x+1)^2-2

Ejemplo 2

Sean f(x)=\dfrac{3}{x+2} y g(x)=\ln(x-1), calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}

Ejemplo 3

Sean f(x)={\rm e}^{2x+5} y g(x)=\sqrt{1-x}, calcule \Big(g \circ f \Big) (x).

\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}


Básicamente al componer la función g con la función f, estamos sustituyendo el argumento de la función f con la función g.

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Dominio de una Función compuesta

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de g : A \longrightarrow B cuyas imágenes están en el dominio de f: C \longrightarrow D, es decir,

Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}

Consideremos un Diagrama Sagital para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama Sagital, el dominio de la función (f \circ g ) será el conjunto formado por a_1 y a_2. Notemos que si el rango de la función g está enteramente contenido en el dominio de la función f, entonces

Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)

Determinar el dominio de una función compuesta (f \circ g ) no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales g(x) satisface las condiciones impuestas por el dominio de f. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Para calcular el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1), debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-1 compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales

x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

x-1 > 0 y x+1 > 0
ó
x-1 < 0 y x+1 < 0

x > 1 y x > -1 (1)
ó
x < 1 y x < -1 (2)

Solución (1):
(1,+\infty) \cap (-1,+\infty) = (1,+\infty)

Solución (2):
(-\infty,1) \cap (-\infty,-1) = (-\infty,-1)

Por lo tanto, la solución general es (1,+\infty) \cup (-\infty,-1) que a su vez, es el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1).

Ejemplo 5

Para calcular el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}, debemos notar que esta función es el resultado de la función \sqrt{x+1} compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de \sqrt{x+1}, es decir, todos los números reales para los cuales x+1 \geq 0.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}} es [-1,+\infty).

Ejemplo 6

Para calcular el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9}, debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-9 compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales x^2-9 = 0 y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9} es \mathbb{R} - \{ -3,3\}.