Etiqueta: Función Inversa

Elasticidad de Demanda

Anthonny Arias García1 comentario

Al estudiar la demanda de un artículo respecto a su precio, es posible cuantificar la relación entre estos dos elementos definiendo la ecuación de demanda, tomando en cuenta que a menor precio mayor será la demanda y viceversa, sin embargo, es importante estudiar qué tan sensible es la demanda respecto a un cambio en el precio.

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Partiendo de los cambios porcentuales en el precio y la demanda, podemos estudiar la sensibilidad de la demanda respecto un cambio en el precio tal como lo veremos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda de Coca-Cola ha decrecido en un 5\% después de que el precio de esta aumentó en un 3\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es mayor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es elástica, pues un cambio en el precio ha tenido una alta incidencia en la demanda.

Ejemplo 2

Suponga que la demanda de Zanahoria ha decrecido en un 10\% después de que el precio de esta aumentó en un 10\%. En términos absolutos, notamos el cambio en la demanda igual que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda tiene elasticidad unitaria, pues el cambio en el precio y en la demanda tienen la misma magnitud.

Ejemplo 3

Suponga que la demanda de Gas Doméstico, usado para cocinar, ha decrecido en un 2\% después de que el precio de esta aumentó en un 7\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es menor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es inelástica, pues un cambio en el precio ha tenido una baja incidencia en la demanda.

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Tomando en cuenta estos ejemplos, definimos un indicador que llamaremos Elasticidad de Demanda, que se calcula dividiendo el cambio porcentual en la demanda entre el cambio porcentual en el precio y podemos categorizar el valor de dicho indicador de la siguiente forma:

  • Si el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio, entonces

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| > 1 \Longrightarrow La demanda es elástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Elástica | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es igual que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| = 1 \Longrightarrow La demanda tiene elasticidad unitaria

Elasticidad de Demanda, Elasticidad Unitaria | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| < 1 \Longrightarrow La demanda es inelástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Inelástica | totumat.com

La elasticidad de demanda también se puede calcular en el estudio de las ecuaciones de demanda, particularmente, cuando definimos funciones de demanda. Supongamos que definimos el precio p de un determinado artículo en función de las cantidades demandadas q para determinar una función de demanda, es decir,

p=f(q)

De esta forma, los consumidores demandarán q unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q), por otra parte, los consumidores demandarán q+h unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q+h). Considerando estos valores, podemos calcular en cuanto se han incrementado la cantidad demandada y el precio.

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La diferencia (q+h) - q = h determina el incremento que hubo en la cantidad demandada y más aún, el cambio porcentual en la cantidad demandada es calculado de la siguiente forma:

\frac{h}{q} \cdot 100

La diferencia f(q+h) - f(q) determina el incremento que hubo en el precio y más aún, el cambio porcentual en el precio es calculado de la siguiente forma:

\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100

Considerando estos cambios porcentuales, calculamos el cociente entre estos dos cambios para determinar la elasticidad de demanda de las siguiente forma:

\dfrac{\frac{h}{q} \cdot 100}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100} = \dfrac{\frac{h}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)}}

Considerando esta última división de fracciones, podemos notar que esta es equivalente a la siguiente división de fracciones

\dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

Esta última expresión resulta de vital importancia para estudiar la elasticidad de demanda al considerar el menor incremento posible, es decir, cuando h \to 0 entonces podemos definir la siguiente expresión

\lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

De existir este límite, debemos notar que la fracción que se encuentra en el denominador es justamente la derivada de la función f(q) respecto a la variable q. Entonces, considerando que la función f(q) determina el precio p, definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(q) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{dp}{dq}}

Sin embargo, debemos tomar en cuenta que si se está estudiando como la variación del precio afecta a la demanda, conviene expresar la demanda en función del precio y en consecuencia. Entonces, partiendo del hecho de que la derivada de p respecto a q se puede expresar en función de la derivada de la función inversa de p, es decir,

\dfrac{dp}{dq} = \dfrac{1}{\dfrac{dq}{dp}}

Podemos concluir que si la función de demanda está expresada como q en función de p, entonces definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(p) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{1}{\frac{dp}{dq}}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}

Una vez que hemos calculado la elasticidad puntual de demanda usando esta definición, podemos categorizar este valor para indicar cual es el impacto que tiene el precio sobre la demanda de la siguiente manera:

  • Si \left| \eta \right| > 1, entonces la demanda es elástica.
  • Si \left| \eta \right| = 1, entonces la demanda tiene elasticidad unitaria.
  • Si \left| \eta \right| < 1, entonces la demanda es inelástica.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la elasticidad puntual a partir de una función de demanda.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que la demanda semanal de kilos de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad está definida por la siguiente función:

q = -\frac{9}{5} \cdot p + 43

¿Cuál es la elasticidad puntual de demanda si se fija el precio del kilo de zanahoria en 17.5?

Para usar la fórmula de la elasticidad puntual de demanda debemos calcular la derivada de la función de demanda, de esta forma, tenemos que

\dfrac{dq}{dp} = -\frac{9}{5}

Una vez calculada la derivada de la función de demanda, sustituimos la derivada y la función en nuestra fórmula:

\eta(p) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp} = \frac{p}{-\frac{9}{5} \cdot p + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right)

Teniendo planteada la fórmula de la elasticidad puntual de demanda para la función q(p), evaluamos en p=17.5,

\eta(17.5) = \frac{17.5}{-\frac{9}{5} \cdot 17.5 + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right) = -2.7391

De esta forma, al ser |-2.7391| > 1, concluimos que la demanda puntual es elástica cuando se fija el precio en p=17.5, es decir, este precio tiene alta incidencia en la demanda del kilo de zanahoria.

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Derivada de la función inversa

Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, f(x)=x^2, en el punto x=1, sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a 2.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, f^{-1}(x)=\sqrt{x}, en el punto x=1, esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a \frac{1}{2}.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, 2 y \frac{1}{2}, son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto (1,1) parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Derivada de la función inversa | totumat.com

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de f evaluada en y_0 es inversamente proporcional a la derivada de la función f en la preimagen de y_0. Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R} una función inyectiva, derivable en un punto x_0=f^{-1}(y_0) del intervalo (a,b), tal que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0. Entonces, f^{-1} es derivable en y_0 y además,

(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable x=f^{-1}(y), podemos reescribir la derivada de la variable x respecto a la variable y como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada f'\left( f^{-1}(y) \right) como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que f y f^{-1} son funciones inversas, de la siguiente forma:

f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}

Notemos que esta última expresión es equivalente a \frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}} y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x^2, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=2x. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}

= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=(x+1)^3, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=3(x+1)^2. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=-2x+5, calcule la derivada de su función inversa x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=-2, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{-2}

= -\dfrac{1}{2}

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7, calcule la derivada de su función inversa x= \ln(y-7) - 1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{x+1}}

Finalmente, sustituyendo la variable x = \ln(y-7) - 1 en este último resultado, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7) - 1+1}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7)}}

= \dfrac{1}{y-7}

Nota: Se mantiene que \textit{\Large e}^{\ln(y-7)} = y-7 pues la función exponencial y la función logaritmo neperiano son funciones inversas.

Función Inversa

Anthonny Arias García2 comentarios
  1. Propiedades de la Composición de Funciones
    1. Asociativa
    2. No conmutativa
    3. Elemento neutro
    4. Función inversa
  2. Tabla de funciones inversas elementales
  3. Cálculo de funciones inversas
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división.

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Propiedades de la Composición de Funciones

Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa

La composición de funciones es Asociativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No conmutativa

La composición es de funciones es No conmutativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Nota: Existen casos muy particulares en los que la composición de funciones puede conmutar, pero no es una regla general.

Elemento neutro

Si consideremos la función identidad, es decir, I(x) = x. Esta se comporta como el Elemento Neutro para la composición de funciones, es decir,

\Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Función inversa

Así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Por ejemplo, si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)

= f \Big( g(x) \Big)

= f \Big( x-1 \Big)

= (x-1)+1

= x -1 +1

= x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

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Tabla de funciones inversas elementales

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentes, es posible determinar sus inversas.

Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva, definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

f(x)f^{-1}(x)
xx
x^2\sqrt{x}
x^3\sqrt[3]{x}
x^n\sqrt[n]{x}
\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{x}
\dfrac{1}{x^n}\dfrac{1}{\sqrt[n]{x}}
\textit{\large e}^x\ln(x)
sen(x)arcsen(x)
cos(x)arccos(x)
tan(x)arctan(x)

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Cálculo de funciones inversas

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Para esto recurrimos a una variable auxiliar y=f(x), de forma que y=x^2+1 y nuestro objetivo será despejar la variable x de esta ecuación.

y = x^2+1

\Rightarrow y-1 = x^2

\Rightarrow \sqrt{y-1} = \sqrt{x^2}

\Rightarrow \sqrt{y-1} = |x|

\Rightarrow \sqrt{y-1} = x

\Rightarrow x = \sqrt{y-1}

Finalmente definimos f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

y = \frac{1}{x-5}-2

\Rightarrow y+2 = \frac{1}{x-5}

\Rightarrow \frac{1}{y+2} = x-5

\Rightarrow \frac{1}{y+2} + 5 = x

\Rightarrow x = \frac{1}{y+2} + 5

\Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \frac{1}{x+2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

y = \ln(x+6) - 3

\Rightarrow y+3 = \ln(x+6)

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} = \textit{\large e}^{\ln(x+6)}

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} = (x+6)

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} - 6 = x

\Rightarrow x = \textit{\large e}^{y+3} - 6

\Rightarrow f^{-1}(y) = \textit{\large e}^{y+3} - 6

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \textit{\large e}^{y+3} - 6. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \textit{\large e}^{x+3} - 6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.

Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .