Simetría de Funciones

Al estudiar la gráfica de funciones podemos notar que en algunos casos, podemos partirlas en dos partes que tienen el mismo comportamiento, es decir, funciones que presentan simetrías. Estas simetrías se pueden describir analíticamente como propiedades al definir las reglas que definen las funciones.

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Funciones Pares

Si consideramos la gráfica de la Función Cuadrática, f(x)=x^2, podemos notar que la forma que ella tiene del lado derecho del Eje Y es un reflejo de la forma que ella tiene del lado izquierdo, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al Eje Y. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones pares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Par si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos la función f(x) = |x|, esta sí es una función par, pues considerando que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos, es decir, |a \cdot b| = |a| \cdot |b|, entonces

f(-x) = \left| -x \right| = \left| (-1) \cdot x \right| = \left| -1 \right| \cdot \left| x \right| = |x|

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 2

Consideremos la función f(x) = x^2, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^2 = (-x) \cdot (-x) = x^2

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com
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Ejemplo 3

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta sí es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Par | totumat.com

Ejemplo 4

Consideremos la función f(x) = 3x + 2, esta no es una función par, pues,

f(-x) = 3(-x) + 2 = -3x+2

Así, podemos concluir que f(-x) \neq f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no par | totumat.com

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Funciones Impares

Si consideramos la gráfica de la Función Cúbica, f(x)=x^3, podemos notar que la forma que ella tiene en el primer cuadrante es un reflejo de la forma que ella tiene en el tercer cuadrante, en este caso, decimos que existe una simetría respecto al origen. A las funciones que presentan este comportamiento se les conoce como funciones impares.

Formalmente, diremos que una función f(x) es una Función Impar si para todo x en el dominio de la función, se cumple que

f(-x) = -f(x)

Veamos algunos ejemplos de funciones pares para entender esta idea.

Ejemplos

Ejemplo 5

Consideremos la función f(x) = \frac{x}{2}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{-x}{2} = - \frac{x}{2}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 6

Consideremos la función f(x) = \frac{1}{x}, esta sí es una función impar, pues

f(-x) = \frac{1}{-x} = - \frac{1}{x}

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com
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Ejemplo 7

Consideremos la función f(x) = x^3, esta sí es una función par pues considerando la Ley de los Signos, tenemos que

f(-x) = (-x)^3 = (-x) \cdot (-x) \cdot (-x) = -x^3

Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función Impar | totumat.com

Ejemplo 8

Consideremos la función f(x) = -\frac{x^4}{10} + 5, esta no es una función par pues

f(-x) = -\frac{(-x)^4}{10} + 5 = -\frac{x^4}{10} + 5

Así, podemos concluir que f(-x) \neq -f(x). Esto se puede apreciar al observar su gráfica:

Función no impar | totumat.com

¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

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