Funciones continuas

Definición de Continuidad
1. Ejemplos

Hasta ahora hemos estudiado funciones elementales observando su comportamiento global al graficarlas en todo su dominio y su comportamiento local usando el cálculo infinitesimal. En ocasiones podemos toparnos que no están definidas en exactamente un punto o que su comportamiento cambia drásticamente de momento a otro, tal como ocurre al definir las funciones por partes.

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Definición de Continuidad

Al observar la gráfica de una función diremos —de forma intuitiva— que una función es continua si ésta no presenta ningún salto o que se puede dibujar sin levantar el lápiz. Formalmente, diremos que una función $f(x)$ es continua en un punto $x=x_0$ si se cumple la siguiente igualdad

$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Más aún, diremos que la función $f(x)$ es continua en un intervalo $I$ si esta es continua para todo punto $x_0 \in I$ .

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número real $\epsilon > 0$ , existe un número real $\delta > 0$ tal que
si $0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$

Notemos que la definición de continuidad está íntimamente relacionada con la definición de límites, entonces, si bien en algunos casos puede resultar obvia la continuidad de una función, hay casos en los que no. Veamos algunos ejemplos básicos para demostrar la continuidad de una función.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x)$ definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto $x_0 = 2$ .

$f(x) = x^2, \ x_0=2$

Este caso es muy claro, pues al calcular el límite sustituyendo el valor $x=2$ en la función se verifica inmediatamente la igualdad pues

$\displaystyle f(2) = 4$ y $\displaystyle \lim_{x \to 2} x^2 = 4$ .

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x)$ definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto $x_0 = -3$ . Note que la función está definida por partes.

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{lcr} x+1 & \text{ si } & x \neq 2 \\ \\ x-1 & \text{ si } & x = -3 \\ \end{array} } \right. \\$

Al estar definida la función por partes, hay tomar en cuenta que al calcular el límite cuando $x$ tiende a $-3$ estamos considerando los valores de $x$ cercanos a $-3$ pero no iguales, es decir, son distintos de $-3$ , de esta forma tenemos que

$\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x)$

$\displaystyle = \lim_{x \to -3} x+1$

$\displaystyle = -3 + 1$

$\displaystyle = -2$

Por otra parte, al evaluar la función en $x=-3$ tenemos que

$f(-3)$

$= -3 - 1$

$= -4$

En vista de que el límite cuando la función tiende a $-3$ es distinta de la función evaluada en $-3$ , es decir, $\lim_{x \to -3} f(x) \neq f(-3)$ , concluimos que la función no es continua en el punto $x=-3$ .

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Ejemplo 3

Considerando la función $f(x)$ definida a continuación, verifique la continuidad de la misma en el punto $x_0 = 1$ . Note que la función está definida por partes.

$f(x) = \left\{ {\begin{array}{lcr} x^2-1 & \text{ si } & x < 1 \\ \\ \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{ si } & x \geq 1 \\ \end{array} } \right. \\$

Al estar definida la función por partes, hay que tomar en cuenta que al calcular el límite cuando $x$ tiende a $1$ , es necesario considerar los límites laterales. Entonces,

Si calculamos el límite por la izquierda, estamos considerando los valores de $x$ menores que $1$ , de esta forma tenemos que

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$

$\displaystyle = \lim_{x \to 1^-} x^2 - 1$

$\displaystyle = 1^2 - 1$

$\displaystyle = 1 - 1$

$\displaystyle = 0$

Si calculamos el límite por la derecha, estamos considerando los valores de $x$ mayores que $1$ , de esta forma tenemos que

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

$\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x-1}$

$\displaystyle = \frac{1^2 - 1}{1-1}$

$\displaystyle = \frac{0}{0}$

El resultado es una indeterminación, es por esto que debemos factorizar el polinomio que está en el numerador para simplificar el límite.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{x-1}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

$\displaystyle = \lim_{x \to 1^+} x+1$

$\displaystyle = 1 +1$

$\displaystyle = 2$

Finalmente, tenemos que los límites laterales son distintos, es decir, $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$ . Entonces, no existe el límite de la función $f(x)$ cuando $x$ tiende a $1$ y así, la función no es continua en $x_0 = 1$

Considerando estos tres ejemplos, podemos establecer una serie de pasos para determinar si una función es continua en un punto de la siguiente forma: Sea $f(x)$ una función, diremos que esta es continua en un punto $x_0$ si se cumplen las siguientes condiciones.

$x_0$ está en el dominio de la función $f(x)$ .
El límite de $f(x)$ existe cuando $x$ tiende a $x_0$ , es decir,
$\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$
$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Un comentario en “Funciones continuas”

El Teorema Fundamental del Cálculo – totumat dice:

28.01.2021 a las 12:58 pm

[…] es continua en un punto . Entonces, la función es derivable en el punto y […]

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