Indeterminación cero entre cero 0/0 (2 de 2)

Expresiones radicales

Consideremos ahora la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ y supongamos que queremos calcular su límite cuando $x$ tiende a $1$ , entonces

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{\sqrt{1}-1}{1-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$

Nuevamente encontramos la indeterminación $\frac{0}{0}$ , por lo tanto debemos desarrollar un método tomando en cuenta algunas ideas previas: Si $a$ y $b$ son dos números reales, el conjugado de la suma $(a+b)$ está definido como $(a-b)$ . De igual forma, el conjugado de la resta $(a-b)$ está definido como $(a+b)$ . Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. Considerando esto, siempre se cumple la siguiente igualdad:

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Esta igualdad se conoce como la diferencia de cuadrados y es fácil de verificar aplicando la propiedad distributiva, pues si multiplicamos la suma de dos números por su conjugado, tenemos que

$(a+b)(a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$

De forma particular, si consideramos la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ , ésta se mantendrá igual si la multiplicamos por el número $1$ , entonces si consideramos el límite que queremos calcular, se mantiene la siguiente igualdad

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot 1$

A su vez, sabemos que el número $1$ se puede expresar como un número distinto de cero dividido por él mismo. Así, si consideramos el conjugado de la expresión que está en el numerador, $\sqrt{x}+1$ , entonces $1=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$ y al sustituir $1$ en el límite obtenemos que

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot 1 = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}$

Notamos entonces que si multiplicamos los numeradores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados que posteriormente podemos simplificar

$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^2-(1)^2}{(x-1)(\sqrt{x}+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{1}{2}$

Consideremos más ejemplos en los que nos encontramos con la indeterminación $\frac{0}{0}$ al calcular el límite de funciones expresadas como un cociente entre polinomios y veamos como abordarla.

Ejemplo 1

Considere la función $f(x) = \frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $4$

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{4-4}{\sqrt{4}-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Entonces, multiplicamos y dividimos la función $f(x)$ por el conjugado de $\sqrt{x}-2$ para obtener

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$

Notamos entonces que si multiplicamos los denominadores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados que posteriormente podemos simplificar

$= \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x})^2-(2)^2} = \lim_{x \to 4} \frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 4} \sqrt{x}+2 = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 4} \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = \frac{1}{2}$

Ejemplo 2

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $6$

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} = \frac{\sqrt{6+10}-4}{6-6} = \frac{\sqrt{16}-4}{6-6} = \frac{4-4}{6-6} = \frac{0}{0}$

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} \cdot \frac{\sqrt{x+10}+4}{\sqrt{x+10}+4}$

Notamos entonces que si multiplicamos los denominadores de ambos cocientes, obtenemos una diferencia de cuadrados

$= \lim_{x \to 6} \frac{(\sqrt{x+10})^2-(4)^2}{(x-1)(\sqrt{x+10}+4)}$

Hacemos la operación en el numerador y posteriormente simplificamos,

$\lim_{x \to 6} \frac{(x+10)-16}{(x-6)(\sqrt{x+10}+4)} = \lim_{x \to 6} \frac{x-6}{(x-6)(\sqrt{x+10}+4)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x+10}+4} = \frac{1}{\sqrt{6+10}+4} = \frac{1}{\sqrt{16}+4} = \frac{1}{4+4} = \frac{1}{8}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x+10}-4}{x-6} = \frac{1}{8}$

Ejemplo 3

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $9$ .

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} = \frac{\sqrt{9}-3}{\sqrt{9+16}-5} = \frac{3-3}{\sqrt{25}-5} = \frac{3-3}{5-5} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos que hay expresiones con radicales en el numerador y en el denominador. Entonces, multiplicamos y dividimos la función $f(x)$ por el conjugado de ambas expresiones radicales para obtener

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} \cdot \frac{\sqrt{x+16}+5}{\sqrt{x+16}+5}$

Multiplicamos entonces los factores con sus conjugados correspondientes correspondientes

Generamos entonces diferencias de cuadrados en el numerador y en el denominador; y simplificamos de la siguiente manera

$\lim_{x \to 9} \frac{\big( (\sqrt{x})^2-(3)^2 \big) (\sqrt{x+16}+5)}{\big( (\sqrt{x+16})^2-(5)^2 \big) (\sqrt{x}+3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x+16}+5)}{\big( (x+16)-25 \big) (\sqrt{x}+3)}$

Hacemos la operación en el denominador y posteriormente simplificamos,

$\lim_{x \to 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x+16}+5)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x+16}+5)}{(\sqrt{x}+3)}$

Una vez simplificado, podemos evaluar el límite

$\lim_{x \to 9} \frac{(\sqrt{x+16}+5)}{(\sqrt{x}+3)} = \frac{(\sqrt{9+16}+5)}{(\sqrt{9}+3)} = \frac{(\sqrt{25}+5)}{(\sqrt{9}+3)} = \frac{5+5}{3+3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x+16}-5} = \frac{5}{3}$

Ejemplo 4

Considere la función $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ y calcule su límite cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{1}-1}{1-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$

Este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ , por lo que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo.En este caso, debemos notar inmediatamente que el radical involucrado no es una raíz cuadrada, si no una raíz cúbica.

No podemos usar el mismo factor que usamos en los métodos anteriores. Consideramos entonces una expresión equivalente al conjugado pero que en esta ocasión nos generará una diferencia de cubos.

Entonces, si $a$ y $b$ son dos números reales, siempre se cumple la siguiente igualdad:

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Y en general, también se cumplirá la siguiente desigualdad:

Considerando entonces la función $f(x)$ , multiplicamos y dividimos por $\big( \sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2 \big)$ para obtener

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} \cdot \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2}{ (\sqrt[3]{x})^2 + (\sqrt[3]{x})\cdot (1) + (1)^2}$