Límites

Al definir las funciones elementales, pudimos hacer un estudio general de ellas en todo su dominio cuando vimos sus gráficas. Haremos ahora un estudio local de éstas, y para esto las estudiaremos en intervalos reducidos. Para entender esta idea, consideremos las función $f(x)=x^2$ , consideremos el intervalo $(1,3)$ que está centrado en $x_0=2$ , notamos que el conjunto de las imágenes en este intervalo quedan encerradas en el intervalo $(1,9)$ .

Si consideramos un intervalo contenido en el intervalo $(1,3)$ y centrado en $x=2$ , veremos que las imágenes de este nuevo intervalo estarán también contenidas en el intervalo $(1,9)$ . Podemos hacer este mismo procedimiento reiteradas veces encajando intervalos de la siguiente manera:

Entonces, podemos pensar en lo siguiente: Si en el Eje X estamos encerrando a $2$ , ¿a quién estamos encerrando en el Eje Y? Intuitivamente, podemos pensar que estamos encerrando a $4$ pues $2^2 = 4$ y efectivamente es así. Haciendo este estudio de la función, podemos formalizarlo como el límite de la función $x^2$ cuando $x$ tiende a $2$ es igual a 4 y se representa así

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

De forma general, considerando una función $f(x)$ , diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ es igual a un número L es el estudio del comportamiento de $f(x)$ para valores de $x$ muy cercanos a $x_0$ (cercanos, no iguales), concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de $x$ están muy cercanos a $L$ . Formalmente se representa así

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$

Se interpreta matemáticamente de la siguiente forma:

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que si
$0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

También podemos decir que $f(x)$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $x_0$ . Nuestro propósito será el de determinar los valores a los que tiende la función y esto es tan sencillo como evaluar la función en el punto dado.

Para facilitar el cálculo de límites es importante destacar que al calcular el límite de operaciones entre funciones, podremos separarlas de la siguiente manera: Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones cuyos límites son $L$ y $M$ de forma respectiva cuando $x$ tiende a $x_0$ ; y $a$ es un número real, entonces

$\lim_{x \to x_0} a = a$
$\lim_{x \to x_0} a \cdot f(x) = a \cdot L$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \pm g(x) ) = L \pm M$
$\lim_{x \to x_0} ( f(x) \cdot g(x) ) = L \cdot M$
$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M} \text{ si } g(x) \neq, M \neq 0$

veamos algunos ejemplos sobre como determinar los límites en algunas funciones elementales para entender con mayor claridad esta idea.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función $f(x)=x+3$ cuando $x$ tiende a $4$ .

$\lim_{x \to 4} x+3 = 4 + 3 = 7$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $4$ , las imágenes de la función $f(x)=x+3$ se acercan a $7$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ cuando $x$ tiende a $-3$ .

$\lim_{x \to -3} \sqrt{x+7}-4 = \sqrt{-3+7}-4 = \sqrt{4}-4 = 2-4 =-2$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $-3$ , las imágenes de la función $f(x)=\sqrt{x+7}-4$ se acercan a $-2$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ cuando $x$ tiende a $5$ .

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-2}+1 = \frac{1}{5-2}+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}$

Esto quiere decir que para los valores de $x$ muy cercanos a $5$ , las imágenes de la función $f(x)=\frac{1}{x-2}+1$ se acercan a $\frac{4}{3}$ . Gráficamente, tenemos que

Ejemplo 4

También hay funciones cuya gráfica no conocemos pero de las que podemos calcular su límite, usando la misma técnica. Calcule el límite de la función $f(x)=\text{\large e}^{x^2 - 1} + x$ cuando $x$ tiende a $1$ .