Indeterminación cero entre cero 0/0 (1 de 2)

Cociente de Polinomios

En ocasiones, podemos encontrar funciones para las cuales no podemos determinar el límite simplemente sustituyendo el valor de $x$ dado, por ejemplo, si consideremos la función $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2}$ , notando que no está definida en $-2$ , si queremos calcular el límite cuando $x$ tiende a $-2$ , tenemos que

$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+2} = \dfrac{(-2)^2 + 5(-2) + 6}{-2+2} = \dfrac{4 - 10 + 6}{-2+2} = \dfrac{0}{0}$

El resultado obtenido al evaluar la función en $-2$ es $\frac{0}{0}$ pero esta operación no está definida. Esto no quiere decir que el límite no existe, simplemente no lo hemos podido determinar sustituyendo por lo que decimos que el límite está indeterminado pues recordemos que al calcular el límite de ésta función, estamos considerando los valores de $x$ muy cercanos a $-2$ (no iguales a $-2$ ).

La expresión $\frac{0}{0}$ se conoce como una indeterminación y nuestro propósito será el de hallar la forma de determinar el verdadero valor del límite, a esto algunos autores le llaman romper la indeterminación. Veremos que para distintos tipos de funciones, existen distintas técnicas que se basan en el resultado que veremos a continuación.

Si $g(x)$ es una función igual a $f(x)$ en todo su dominio excepto en $x_0$ , incluso, si $g(x)$ se puede obtener manipulando algebraicamente la expresión que define a $f(x)$ , entonces concluimos que

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x)$

Sabiendo esto, podemos determinar el límite de $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2}$ cuando $x$ tiende a $-2$ notando que ésta está expresada como la división entre dos polinomios. Considerando que la expresión $x^2 + 5x + 6$ se puede factorizar de la siguiente manera:

$\lim_{x \to -2} \dfrac{(x+2)(x+3)}{x+2}$

Notamos entonces que $(x+2)$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to -2} (x+3)$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to -2} (x+3) = -2+3 = 1$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x + 6}{x+2} = 1$

Consideremos más ejemplos en los que nos encontramos con la indeterminación $\frac{0}{0}$ al calcular el límite de funciones expresadas como un cociente entre polinomios y veamos como abordarla.

Ejemplo 1

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{2x^2 - 7x}{5x}$ cuando $x$ tiende a $0$ .

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 7x}{5x} = \frac{2(0)^2 - 7(0)}{5(0)} = \frac{0 - 0}{0} = \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notemos entonces que $x$ es un factor común en en el numerador, por lo tanto podemos factorizar $2x^2 - 7x$ de la siguiente manera:

$\lim_{x \to 0} \frac{x(x - 7)}{5x}$

Notamos entonces que $x$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 7}{5}$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to 0} \frac{2x - 7}{5} = \frac{2(0) - 7}{5} = -\frac{7}{5}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 7x}{5x} = -\frac{7}{5}$

Ejemplo 2

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1}$ cuando $x$ tiende a $1$ .

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1} = \frac{(1)^3 + 4(1)^2 - (1) - 4)}{1-1} = \frac{1 +4 -1-4}{0} = \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos de forma inmediata que $x=1$ es una raíz de la expresión $x^3+4x^2-x-4$ , así que podemos aplicar el Método de Ruffini para factorizarla de la siguiente manera:

Los coeficientes obtenidos son los coeficientes de un polinomio de segundo grado, por lo que el límite quedará expresado así

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 +5x + 4)}{x-1}$

Notamos entonces que $x-1$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to 1} x^2 +5x + 4$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to 1} x^2 +5x + 4 = (1)^2 +5(1) + 4 = 1 +5 + 4 = 10$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+4x^2-x-4}{x-1} = 10$

Ejemplo 3

Calcule el límite de la función $f(x)=\frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14}$ cuando $x$ tiende a $-7$ .

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14}$
$= \frac{4(-7)^3+4(-7)^2-136(-7)+224}{(-7)^4 + 3(-7)^3 -23(-7)^2 +33(-7)-14}$
$= \frac{-1372+196+952+224}{2401 -1029 -1127 -231-14}$
$= \frac{0}{0}$

Este límite está indeterminado de la forma $\frac{0}{0}$ , así que debemos manipular algebraicamente la función $f(x)$ para determinarlo. Notamos de forma inmediata que $x=-7$ es una raíz de las expresiones $4x^3+4x^2-136x+224$ y $x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14$ , así que podemos aplicar el Método de Ruffini para factorizarlas de la siguiente manera:

Los coeficientes obtenidos son los coeficientes de un polinomio de segundo grado y otro de tercer grado, respectivamente, por lo que el límite quedará expresado así

$\lim_{x \to -7} \frac{(x+7)(4x^2 -24x + 32)}{(x+7)(x^3 -4x^2+5x+2)}$

Notamos entonces que $x+7$ es un factor que se encuentra en el numerador y en el denominador, por lo tanto, la división entre ellos dos es igual a uno, así el límite se reduce a

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^2 -24x + 32}{x^3 -4x^2+5+2}$

Ya que hemos simplificado la expresión que se encuentra en el límite, podemos sustituir el valor de $x$ de la forma que lo hemos hecho anteriormente, para obtener que

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^2 -24x + 32}{x^3 -4x^2+5x+2} = \frac{4(-7)^2 -24(-7) + 32}{(-7)^3 -4(-7)^2+5x+2} = -\frac{396}{527}$

Finalmente, concluimos que

$\lim_{x \to -7} \frac{4x^3+4x^2-136x+224}{x^4 + 3x^3 -23x^2 +33x-14} = -\frac{396}{527}$

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