Límites Laterales

Al calcular el límite cuando la variable $x$ tiende a un punto $x_0$ , podemos encontrarnos con el hecho de que la variable no esté definida en todos los puntos alrededor de $x_0$ pues puede ocurrir que esté definida sólo para los valores mayores que $x_0$ o sólo para los valores menores que $x_0$ . También puede ocurrir que esté definida de una forma de un lado y de otra forma del otro lado. Entonces, en ocasiones pudiera ser necesario especificar el cálculo de este tipo de límites. Considerando una función $f(x)$ , entonces

Diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ por la izquierda es igual a un número $L$ , es el estudio del comportamiento de $f(x)$ para valores de $x$ mayores que $x_0$ y muy cercanos a $x_0$ , concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de $x$ están muy cercanos a $L$ . Formalmente se representa así

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $-\delta < x-x_0 < 0$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

Diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ por la derecha es igual a un número $L$ , es el estudio del comportamiento de $f(x)$ para valores de $x$ menores que $x_0$ y muy cercanos a $x_0$ , concluyendo que el conjunto de las imágenes de estos valores de $x$ están muy cercanos a $L$ . Formalmente se representa así

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $0 < x-x_0 < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

Hay que notar que $x_0^-$ y $x_0^+$ son notaciones para indicar si se está calculando el límite por la izquierda o por la derecha, respectivamente. Así que hay que considerar estos signos que aparecen como un supra-índice no afectan el signo de la variable de ninguna forma.

El cálculo de este tipo de límites se efectúa de la misma forma en que hemos calculado los límites hasta ahora, simplemente sustituyendo el valor del límite. Considere entonces algunos ejemplos sencillos para dejar clara esta idea.

Ejemplo 1

Considere la función $f(x) = \sqrt{x}-3$ , calcule su límite cuando $x$ tiende a $0$ .

Es importante notar que el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que cero, por lo tanto, no tiene sentido estudiar su comportamiento para los números menores que $0$ . Entonces, es necesario especificar que debemos calcular este límite cuando la variable $x$ tiene de a $0$ por la derecha:

$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}-3 = \sqrt{0}-3 = 0-3 = -3$

Ejemplo 2

Considere la función $f: (2,10) \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como

$f(x) = \log_8(x-2)$ , calcule su límite cuando $x$ tiende a $10$ .

Notemos que no tiene sentido estudiar su comportamiento para los números mayores que $10$ . Entonces, es necesario especificar que debemos calcular este límite cuando la variable $x$ tiene de a $10$ por la izquierda:

$\lim_{x \to 10^-} \log_8(x-2) = \log_8(10-2) = \log_8(8) = 1$

Ejemplo 3

Consideremos ahora una función definida por partes de la siguiente forma

calcule su límite cuando $x$ tiende a $-2$ por la derecha.

Ya que la función tiene dos definiciones alrededor de $2$ debemos tomar en cuenta esto antes de sustituir. Entonces, si consideramos

$\lim_{x \to -2^+} f(x)$

Debemos tomar en cuenta que al calcular el límite por la derecha, entonces estamos considerando los valores cercanos a $-2$ pero que además son mayores que $-2$ por lo tanto, la función está definida como por la expresión $x+7$ , así

$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} x+7 = -2+7 = 5$

Finalmente es importante mencionar, que el límite de una función $f(x)$ cuando $x$ tiende $x_0$ existe cuando sus límites laterales son iguales, es decir, cuando

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$

Y en este caso, diremos que el valor de $\lim_{x \to x_0} f(x)$ será igual al valor de sus límites laterales.

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