El Infinito

¡Imagine el número más grande del mundo!

El estudio del comportamiento de una función puede involucrar valores muy grandes, tanto para la función como para la variable involucrada. A continuación veremos con detenimiento los distintos casos que se pueden presentar al estudiar el comportamiento de funciones que involucran valores muy grandes.

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Límite infinito con variable finita

Consideremos la función $f(x) = \frac{1}{x}$ , si consideramos valores de $x$ menores que $1$ , por ejemplo: $\frac{1}{2}$ , su imagen será $2$ ; $\frac{1}{3}$ , su imagen será $3$ ; $\frac{1}{4}$ , su imagen será $4$ ; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes crecen cada vez más. Entonces nos preguntamos siguiendo esta idea: ¿Hacia donde tiende $f(x) = \frac{1}{x}$ cuando $x$ tiende a cero? La función alcanzará valores muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el infinito y la expresamos con el siguiente límite $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Formalmente, diremos que una función $f(x)$ tiende a más infinito cuando $x$ tiende a $x_0$ se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $f(x) > \epsilon$

Si consideramos ahora los valores de $x$ mayores que $-1$ , por ejemplo: $-\frac{1}{2}$ , su imagen será $-2$ ; $-\frac{1}{3}$ , su imagen será $-3$ ; $-\frac{1}{4}$ , su imagen será $-4$ ; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes decrecen cada vez más. La función alcanzará valores negativos muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el menos infinito y la expresamos con el siguiente límite $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$

Formalmente, diremos que una función $f(x)$ tiende a menos infinito cuando $x$ tiende a $x_0$ se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $f(x) < -\epsilon$

De forma general, diremos que una función $f(x)$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a $x_0$ se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $0 < |x-x_0| < \delta$ entonces $|f(x)| > \epsilon$

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Límite finito con variable infinita

Supongamos ahora que queremos estudiar el comportamiento de una función $f(x)$ cuando la variable $x$ adquiere valores muy altos. Supongamos que usted está en una fiesta de cumpleaños y que al final a usted le corresponde picar la torta (pastel): Si hay un sólo niño, le da toda la toda torta a ese niño; si hay dos niños, le da $\frac{1}{2}$ de torta a cada niño; si hay tres niños, le da $\frac{1}{3}$ de torta a cada niño; así sucesivamente. Notando que mientras más niños haya en la fiesta, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada uno, sin embargo, ningún niño se quedará sin torta.

Esta situación la podemos describir considerando la función $f(x) = \frac{1}{x}$ , notando entonces que a medida que crece el valor de $x$ , esta función decrece, es decir, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de $x$ esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

Formalmente, diremos que una función $f(x)$ tiende a un número real $L$ cuando $x$ tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $x > \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

Si consideramos nuevamente la función $f(x) = \frac{1}{x}$ , también notamos que a medida que crece el valor de $x$ pero hacia los números negativos, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de $x$ esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$

Formalmente, diremos que una función $f(x)$ tiende a un número real $L$ cuando $x$ tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $x < -\delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

De forma general, diremos que una función $f(x)$ tiende a un número real $L$ cuando $x$ tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $|x| > \delta$ entonces $|f(x) - L| < \epsilon$

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Límite infinito con variable infinita

Consideremos la función identidad $f(x)=1$ , esta función corresponde al 1 con el 1, al 2 con 2, al 3 con 3 y así sucesivamente identificará a cada número real con él mismo así que a medida que crece la variable $x$ también crecerá la función. Particularmente, identificará un número muy grande con él mismo, Esta idea se expresa con el siguiente límite

$\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$

Formalmente, diremos que una función $f(x)$ tiende más infinito cuando $x$ tiende a más infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $x > \delta$ entonces $f(x) > \epsilon$

Siguiendo esta idea, diremos que una función $f(x)$ tiende menos infinito cuando $x$ tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $x < -\delta$ entonces $f(x) < -\epsilon$

De forma general, diremos que una función $f(x)$ tiende a infinito cuando $x$ tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número $\epsilon > 0$ , existe un número $\delta > 0$ tal que
si $|x| > \delta$ entonces $|f(x)| > \epsilon$

Un comentario en “El Infinito”

Operaciones e Indeterminaciones en el infinito – totumat dice:

19.03.2022 a las 7:00 pm

[…] como hemos podido definir límites finitos de las operaciones básicas entre funciones separando los límites, también será posible definir […]

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