Operaciones e Indeterminaciones en el infinito

Así como hemos podido definir límites finitos de las operaciones básicas entre funciones separando los límites, también será posible definir las operaciones básicas entre límites infinitos teniendo algunas consideraciones. Si f(x) y g(x) son dos funciones cuyos límites tienden a infinito cuando x tiende al infinito; a(x) y b(x) dos funciones que tienden a a_0 \neq 0 y a cero respectivamente cuando x tiende a infinito; entonces consideremos las siguientes operaciones

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Suma

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La resta de infinitos está indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan el mismo número. También hay que considerar que hay funciones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la resta entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez.

Producto

Productos e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

El producto de cero por infinito está indeterminado. Hay que considerar que hay funciones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar el producto entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

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División

División e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

La división entre infinitos está indeterminada, porque aunque la noción de infinito se usa para denotar números muy grandes, no necesariamente representan el mismo número. También hay que considerar que hay funciones que crecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece con mayor rapidez. De igual forma, la división de cero entre infinito o infinito entre cero está indeterminada pues se debe considerar que hay funciones que crecen o decrecen de forma distinta respecto a otras, por lo que al considerar la división entre ellas, hay que estudiar cual de las dos crece o decrece con mayor rapidez.

Potencias

Potencias e indeterminaciones en el infinito | totumat.com

La expresión uno a la infinito está indeterminada, la expresión infinito a la cero está indeterminada, la expresión cero a la infinito está indeterminada, intuitivamente lo que ocurre es que si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida, este producto tenderá hacia al infinito; si se multiplica un número mayor que uno por él mismo de forma indefinida de forma indefinida, este producto tenderá hacia cero; si se multiplica el número uno por él mismo de forma indefinida, este producto será siempre igual a uno. Pero cuando una expresión tiende a uno se multiplica por ella misma de forma indefinida, ¿hacia donde tiende? ¿A cero? ¿A uno? ¿A infinito?

De esta lista de operaciones, se han etiquetado con (IND) los límites indeterminados, más adelante veremos cuales son las técnicas para determinarlos. Por ahora, veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de límites infinitos que no presentan problemas de determinación.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la función f(x) = x + 5, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} x + 5 = \infty + 5 = \infty

Ejemplo 2

Considere la función f(x) = 3x^2 - 12, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} 3x^2 - 12 = 3 \cdot (\infty)^2 - 12 = 3 \cdot \infty - 12 = \infty - 12 = \infty

Ejemplo 3

Considere la función f(x) = 4x^3 + 6(x-14)^2 + 9, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} 4x^3 + 6(x-14)^2 + 9 = 4(\infty)^3 + 6(\infty)^2 + 9 = 4 \cdot \infty + 6 \cdot \infty + 9 = \infty

Ejemplo 4

Considere la función f(x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x} + 7, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{3}{x+1} + 7 = \frac{1}{\infty} - \frac{3}{\infty} + 7 = 0 + 0+ 7 = 7

Ejemplo 5

Considere la función f(x) = \sqrt{x} + \frac{11}{4x} + \sqrt[5]{x+3}, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} + \frac{11}{4x} + \sqrt[5]{x+3} = \sqrt{\infty} + \frac{11}{4 \cdot \infty} + \sqrt[5]{\infty+3} = \infty + 0 + \infty = \infty

Ejemplo 6

Considere la función f(x) = (x+2)^{x^2-6}, calcule su límite cuando x tiende a infinito.

\lim_{x \to \infty} (x+2)^{x^2-6} = (\infty+2)^{\infty^2-6}  = \infty^{\infty} = \infty


El Infinito | totumat.com

El Infinito

¡Imagine el número más grande del mundo!

El estudio del comportamiento de una función puede involucrar valores muy grandes, tanto para la función como para la variable involucrada. A continuación veremos con detenimiento los distintos casos que se pueden presentar al estudiar el comportamiento de este tipo de estudios.

Límite infinito con variable finita

Consideremos la función f(x) = \frac{1}{x}, si consideramos valores de x menores que 1, por ejemplo: \frac{1}{2}, su imagen será 2; \frac{1}{3}, su imagen será 3; \frac{1}{4}, su imagen será 4; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes crecen cada vez más. Entonces nos preguntamos siguiendo esta idea: ¿Hacia donde tiende f(x) = \frac{1}{x} cuando x tiende a cero? La función alcanzará valores muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el infinito y la expresamos con el siguiente límite \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a más infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces f(x) > \epsilon

Si consideramos ahora los valores de x mayores que -1, por ejemplo: -\frac{1}{2}, su imagen será -2; -\frac{1}{3}, su imagen será -3; -\frac{1}{4}, su imagen será -4; y así sucesivamente notamos que a medida que nos vamos acercando al cero, las imágenes decrecen cada vez más. La función alcanzará valores negativos muy grandes que no pueden ser cuantificables, esta idea la denotamos con el menos infinito y la expresamos con el siguiente límite \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a menos infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces f(x) < -\epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x_0 se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si 0 < |x-x_0| < \delta entonces |f(x)| > \epsilon

Límite finito con variable infinita

Supongamos ahora que queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) cuando la variable x adquiere valores muy altos. Supongamos que usted está en una fiesta de cumpleaños y que al final a usted le corresponde picar la torta (pastel): Si hay un sólo niño, le da toda la toda torta a ese niño; si hay dos niños, le da \frac{1}{2} de torta a cada niño; si hay tres niños, le da \frac{1}{3} de torta a cada niño; así sucesivamente. Notando que mientras más niños haya en la fiesta, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada uno, sin embargo, ningún niño se quedará sin torta.

Esta situación la podemos describir considerando la función f(x) = \frac{1}{x}, notando entonces que a medida que crece el valor de x, esta función decrece, es decir, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de x esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to +\infty} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x > \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

Si consideramos nuevamente la función f(x) = \frac{1}{x}, también notamos que a medida que crece el valor de x pero hacia los números negativos, la tendencia que tiene esta función es la de acercarse a cero. Tomando en cuenta que por más grande que sea el valor de x esta función nunca es igual a cero. Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática \lim_{x \to -\infty} f(x) = L

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x < -\delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a un número real L cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si |x| > \delta entonces |f(x) - L| < \epsilon

Límite infinito con variable infinita

Consideremos la función identidad f(x)=1, esta función corresponde al 1 con el 1, al 2 con 2, al 3 con 3 y así sucesivamente identificará a cada número real con él mismo así que a medida que crece la variable x también crecerá la función. Particularmente, identificará un número muy grande con él mismo, Esta idea se expresa con el siguiente límite

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty

Formalmente, diremos que una función f(x) tiende más infinito cuando x tiende a más infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x > \delta entonces f(x) > \epsilon

Siguiendo esta idea, diremos que una función f(x) tiende menos infinito cuando x tiende a menos infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si x < -\delta entonces f(x) < -\epsilon

De forma general, diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito se expresa con el siguiente límite y posteriormente su interpretación matemática

Para todo número \epsilon > 0, existe un número \delta > 0 tal que
si |x| > \delta entonces |f(x)| > \epsilon


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