Funciones Algebraicas

Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Algebraicas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas
Gráfica de Funciones Trascendentales y Trigonométricas

Graficar funciones usando Google

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando “graph for” y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante f(x)=c donde c es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo c por el valor deseado. Si se desea graficar la función f(x)=3, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad f(x)=x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer “zoom in” y “zoom out” para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo “^”. Si se desea graficar la función cuadrática f(x)=x^2, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^n donde n es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco “*” y la división se denota con el slash “/”, entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa f(x)=\frac{1}{x}, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma f(x)= \frac{1}{x^n} donde n es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada f(x)=\sqrt{x} se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa “Square Root” que se traduce precisamente del inglés como “Raíz Cuadrada”, este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de x como x^{\frac{1}{2}}. Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica f(x)= x^{\frac{1}{2}} , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial f(x) = \text{\large e}^x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica f(x) = log(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano f(x) = ln(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones log(x) y ln(x) en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones f(x)=(x-2)^2-1, g(x)=1/(-x-2)+1 y h(x)=|ln(x+1)|, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.

Composición y Dominio de Funciones Compuestas

¿Cómo se componen dos funciones?

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos g : A \longrightarrow B y f: C \longrightarrow D dos funciones, definimos la composición de g con f como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento a \in A un único elemento c \in C, la denotamos como f \circ g : A \longrightarrow D y la definimos de la siguiente forma:

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2-2 y g(x)=x+1, calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)  =  f \Big( g(x) \Big)  =  \big( g(x) \big)^2-2  =  (x+1)^2-2

Ejemplo 2

Sean f(x)=\dfrac{3}{x+2} y g(x)=\ln(x-1), calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}

Ejemplo 3

Sean f(x)={\rm e}^{2x+5} y g(x)=\sqrt{1-x}, calcule \Big(g \circ f \Big) (x).

\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}

Básicamente al componer la función g con la función f, estamos sustituyendo el argumento de la función f con la función g.

¿Cómo determinamos el dominio?

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de g cuyas imágenes están en el dominio de f, es decir,

Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}

Consideremos un Diagrama de Venn para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama de Venn, el dominio de la función (f \circ g ) será el conjunto formado por a_1 y a_2. Notemos que si el rango de la función g está enteramente contenido en el dominio de la función f, entonces

Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)

Determinar el dominio de una función compuesta (f \circ g ) no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales g(x) satisface las condiciones impuestas por el dominio de f. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

Ejemplo 1

Para calcular el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1), debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-1 compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales

x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución.

x-2 > 0 y x+3 > 0
ó
x-2 < 0 y x+3 < 0

x > 2 y x > -3 (1)
ó
x < 2 y x < -3 (2)

Solución (1):
(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

Solución (2):
(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Por lo tanto, la solución general es (2,+\infty) \cup (-\infty,-3) que a su vez, es el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1).

Ejemplo 2

Para calcular el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}, debemos notar que esta función es el resultado de la función \sqrt{x+1} compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de \sqrt{x+1}, es decir, todos los números reales para los cuales x+1 \geq 0.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}} es [-1,+\infty).

Ejemplo 3

Para calcular el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9}, debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-9 compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales x^2-9 = 0 y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9} es \mathbb{R} - \{ -3,3\}.

Operaciones entre Funciones y su Dominio

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones f : A \longrightarrow B y g : C \longrightarrow D. Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

Dominio de Operaciones entre Funciones

La imagen de x a través de la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f + g \big)(x) = f(x) + g(x)

Dom\big( f + g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través de la resta de las funciones f y g es la resta de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f - g \big)(x) = f(x) - g(x)

Dom\big( f - g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través del producto de las funciones f y g es el producto de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f \cdot g \big)(x) = f(x) \cdot g(x)

Dom\big( f \cdot g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

La imagen de x a través del cociente de las funciones f entre g es el cociente de las imágenes respectivas, formalmente,

\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

Dom \left( \frac{f}{g} \right) = Dom(f) \cap Dom(g) - \{x : g(x) = 0 \}

Veamos con algunos ejemplos como determinar el dominio de algunas funciones definidas como el resultado de la operación entre funciones.

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2 y g(x)=5x definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}

Ejemplo 2

Sean f(x)=\sqrt{x} y g(x)=7x+1 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)

Considerando que Dom(f) = [0,+\infty) y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)

Ejemplo 3

Sean f(x)=-\text{\rm e}^{x-7} y g(x)=\frac{1}{x+2}+2 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( -\text{\rm e}^{x-7} \big) \cdot \left( \frac{1}{x+2}+2 \right)

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}-\{-2\}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = \mathbb{R} \cap \left ( \mathbb{R}-\{-2\} \right) = \mathbb{R} - \{-2\}

Ejemplo 4

Sean f(x)=\ln(x+3)-5 y g(x)=\sqrt[4]{-x+6}+10 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( 4\ln(x+3)-5 \big) \cdot \left( \sqrt[4]{-x+6}+10 \right)

Considerando que Dom(f) = (-3,+\infty) y que Dom(g) = [-\infty,6] , entonces concluimos que

Dom(f - g) = (-3,+\infty) \cap [-\infty,6] - { 6 } = (-3,6] - {6} = (-3,6)