Tabla de Derivadas Elementales

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales.

Funciones
Algebraicas

Funciones
Trascendentales

Funciones
Trigonométricas

Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

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Funciones Algebraicas

Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta, hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de las funciones Algebraicas | totumat.com
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Gráfica de las funciones trascendentes o trascendentales y Gráfica de las funciones trigonométricas | totumat.com

Graficar funciones usando Google

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando «graph for» y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante f(x)=c donde c es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo c por el valor deseado. Si se desea graficar la función f(x)=3, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad f(x)=x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer «zoom in» y «zoom out» para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo «^». Si se desea graficar la función cuadrática f(x)=x^2, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^n donde n es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco «*» y la división se denota con el slash «/», entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa f(x)=\frac{1}{x}, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma f(x)= \frac{1}{x^n} donde n es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada f(x)=\sqrt{x} se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa «Square Root» que se traduce precisamente del inglés como «Raíz Cuadrada», este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de x como x^{\frac{1}{2}}. Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica f(x)= x^{\frac{1}{2}} , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial f(x) = \text{\large e}^x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica f(x) = log(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano f(x) = ln(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones log(x) y ln(x) en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones f(x)=(x-2)^2-1, g(x)=1/(-x-2)+1 y h(x)=|ln(x+1)|, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.