Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

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Transformación de funciones (Ejemplos resueltos)

Al graficar funciones elementales transformadas, se sugiere ver paso a paso cada una de las alteraciones que se ha hecho sobre esta, de esta forma puede entender con mayor detalle su gráfico. Veamos entonces algunos ejemplos de transformaciones de funciones elementales.

Ejemplo 1

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=x^2+1.

Paso I: x^2.

Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: x^2+1.

Trasladamos la función hacia arriba en 1 unidad.

Paso III: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [1,+\infty)

Ejemplo 2

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\sqrt{x+1}.

Paso I: \sqrt{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \sqrt{x+1}. Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde x+1=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=-1.

Paso III: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = [-1,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

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Ejemplo 3

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\dfrac{1}{x+3}-2.

Paso I: \frac{1}{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \dfrac{1}{x+3}. Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde x+3=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=-3.

Paso III: \dfrac{1}{x+3}-2. Trasladamos la función hacia abajo en 2 unidades.

Paso IV: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}-\{ -3 \}

Rgo(f) = \mathbb{R}-\{ -2 \}

Nota: Cuando hay más de una transformación involucrada es conveniente aplicarlas de adentro hacia afuera, es decir, considerar las alteraciones que están dentro del argumento y después las que están fuera.

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Ejemplo 4

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función f(x)=\ln(-x+3)-1.

Paso I: \ln(x). Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: \ln(-x). Multiplicamos el argumento por -1, pasando lo que está a la derecha del Eje Y hacia la izquierda.

Paso III: \ln(-x+3). Trasladamos la función hasta el punto donde se anula el argumento, es decir, hasta el punto donde -x+3=0. Por lo tanto, se traslada hasta x=3.

Paso IV: \ln(-x+3)-1. Trasladamos la función hacia abajo en 1 unidad.

Paso V: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = (-\infty,3)

Rgo(f) = \mathbb{R}

Ejemplo 5

Dibuje un bosquejo de la gráfica de la función |{\rm e}^{x}-1|.

Paso I: {\rm e}^{x}. Identificamos y graficamos la función elemental que sentará nuestra base.

Paso II: {\rm e}^{x}-1. Trasladamos la función hacia abajo en 1 unidad.

Paso III: |{\rm e}^{x}-1|. Aplicamos el valor absoluto a la función, pasando lo que está por debajo del Eje X hacia arriba y lo que está por encima del Eje X, permanece igual. Notando que el eje imaginario ahora estará en 1.

Paso IV: Identificamos el dominio y el rango.

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty)

Transformación de funciones

Las funciones elementales tienen variaciones que vienen dadas cuando se altera la expresión que las define al sumar, restar, multiplicar o dividir por un escalar.

Para entender las transformaciones de funciones o alteraciones que podemos efectuar sobre una función elemental, dibujemos primero el bosquejo de la gráfica de una función a la cual le podamos efectuar las transformaciones. Consideremos f(x) una función que pasa por el origen, es decir, tal que f(0)=0 y sea a > 0 un número real. Supongamos que la gráfica de la función f(x) es la siguiente:

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Traslación de Funciones

Traslaciones en el Eje Y

Si consideramos la función f(x) + a, estamos sumando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia arriba en el Eje Y de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x) - a, estamos restando a a cada imagen de la función, gráficamente estamos trasladando la función f(x) en a unidades hacia abajo en el Eje Y de la siguiente forma:

Notemos que hemos sumado a fuera de la función, es decir, hemos sumando a a la función como un todo. Es por esto que la traslación se ha dado en el Eje Y. Básicamente, lo que está ocurriendo es que si y=f(x) estamos graficando y \pm a. A continuación veremos una traslación que altera la imagen de la función si no las pre-imágenes de esta, es decir, los elementos del dominio.

Traslaciones en el Eje X

Para entender este tipo de traslaciones debemos tener claro el concepto de argumento de la función. Al considerar una función, cada elemento de su dominio será una pre-imagen de ésta y el argumento de la función será la expresión que define estas pre-imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender mejor esta idea:

  • Si f(x)=x, la expresión que define el argumento de la función es x.
  • Si f(x)=x^2, estamos considerando la función cuadrática y la expresión que define el argumento es x.
  • Si f(x)=(x-1)^2, la expresión que define el argumento de esta función cuadrática es x+1. Hemos restado 1 al argumento de la función x^2.
  • Si f(x)=\sqrt{x+3}, la expresión que define el argumento de la función es x+3. Hemos sumado 3 al argumento de la función \sqrt{x}.
  • Si f(x)=\dfrac{1}{x-2}, la expresión que define el argumento de la función es x-2. Hemos restado 2 al argumento de la función \frac{1}{x}.
  • Si f(x)=\text{\rm \Large e}^{2x+7}, la expresión que define el argumento de la función es 2x+7. Hemos multiplicado por 2 y sumado 7 en el argumento de la función \text{\rm \Large e}^{x}.
  • Si f(x)=\ln(x-8), la expresión que define el argumento de la función es x-8. Hemos restado 8 al argumento de la función \ln(x).

Si consideramos la función f(x+a), estamos sumando a a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x+a)=0 \Rightarrow x + a = 0 \Rightarrow x=-a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en -a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la izquierda en el Eje X de la siguiente forma:

Si consideramos la función f(x-a), estamos restando $a$ a cada pre-imagen de la función. Recordando que la función se anula en cero, es decir, f(0)=0. Debemos tomar en cuenta que

f(x-a)=0 \Rightarrow x - a = 0 \Rightarrow x=a

gráficamente estamos trasladando la función f(x) hasta el punto donde se anula el argumento, esto es, en a. Por lo que que en este caso particular, la función se traslada en a unidades hacia la derecha en el Eje X de la siguiente forma:

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Reflexión de Funciones

Respecto al Eje X

Si consideramos la función -f(x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X pasan a estar por debajo y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si consideramos la función f(-x), estamos multiplicando por -1 a cada imagen de la función. Por lo tanto, todas las pre-imágenes positivas de la función pasan a ser negativas y todas las pre-imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la derecha y todos los elementos que están a la izquierda del Eje Y pasan a estar a la izquierda de la siguiente forma:

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Valor Absoluto de una Función

Si consideramos el Valor Absoluto la función f(x), es decir, |f(x)|, debemos tomar en cuenta que

|f(x)| = f(x) \text{ si } f(x) > 0
ó
|f(x)| = -f(x) \text{ si } f(x) < 0

Por lo tanto, todas las imágenes positivas de la función permanecen positivas y todas las imágenes negativas de la función pasan a ser positivas, gráficamente todos los elementos que están por encima del Eje X permanecen inalterados y todos los elementos que están por debajo del Eje X pasan a estar por encima de la siguiente forma:

Contracción y expansión de Funciones

Al considerar funciones, definimos un escalar simplemente como un número constante, que tal como lo dice su nombre, altera la escala de estas.

Respecto al Eje X

Si a>1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más rápido, haciendo que se expanda la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Si a<1, consideramos la función a \cdot f(x), estamos multiplicando por a a cada imagen de la función. Por lo tanto, esta crecerá a una velocidad a veces más lento, haciendo que se contraiga la función f(x) verticalmente de la siguiente forma:

Respecto al Eje Y

Si a<1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen después de lo que la alcanzaba, haciendo que se expanda la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma:

Si a>1, consideramos la función f(a \cdot x), estamos multiplicando por a a cada pre-imagen de la función. Por lo tanto, esta alcanzará una imagen antes de lo que la alcanzaba, haciendo que se contraiga la función f(x) horizontalmente de la siguiente forma: