Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

Anuncios

Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
Concavidad de la función cuadrática | totumat.com

Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

Vértice de la función cuadrática | totumat.com

Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

Anuncios

Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

Anuncios

Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

Eje de Simetría de la Función Cuadrática | totumat.com

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

Puntos de Corte de la Función Cuadrática | totumat.com

Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

Puntos de Corte de la Función Cuadrática | totumat.com

Funciones Algebraicas

Empezaremos estudiando todas las funciones que se pueden expresar de forma general como f(x) = x^q, con q \in \mathbb{Q}. A este tipo de funciones las llamaremos Funciones Algebraicas.

Función Identidad

Definimos la función identidad como una regla que corresponde a cada número real con él mismo, es decir, que identifica a cada número real. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En ocasiones denotaremos esta función con la letra I, de la siguiente forma I(x)=x.

Función Cuadrática

También se conoce como parábola y corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cuadrado. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^2

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = [0,+\infty]

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Cúbica

Corresponde a cada número real con él mismo pero elevado al cubo. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=x^3

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=x^n con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más lento crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función de proporcionalidad inversa

Esta función también se conoce como hipérbola y corresponde a cada número real con la x-ésima parte de 1, imagine que usted tiene una torta y desea repartirla toda entre x personas, entonces le da a cada persona un pedazo de tamaño \frac{1}{x}. Mientras mayor sea la cantidad de personas, más pequeño es el pedazo que le corresponde a cada una y mientras menor sea la cantidad de personas, más grande es el pedazo que le corresponde a cada una. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = \mathbb{R}-{0}

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Hay que destacar otra función íntimamente relacionada con la función de proporcionalidad inversa, y es que si elevamos ésta al cuadrado, obtendremos la función \frac{1}{x^2}, es muy parecida a la función \frac{1}{x}, salvo que esta es positiva cuando los valores de x son negativos y además. Formalmente, la definimos como

f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{1}{x^2}

Dom(f) = \mathbb{R}-{0}

Rgo(f) = (0,\infty)

Notemos que por más grande que sea el valor de x, la función nunca es igual a cero por lo tanto nunca corta al Eje X. De igual forma por más pequeño que sea el valor de x la función nunca es igual a infinito por lo tanto la función nunca corta al Eje Y.

En general, cualquier función de la forma f(x)=\frac{1}{x^n} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más rápido decrecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cuadrada

La raíz cuadrada de un número x se define como un número que multiplicado por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt{x}. Notemos que no tiene sentido definir la raíz cuadrada de un número negativo pues no existe un número que multiplicado por él mismo sea negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = [0,+\infty)

Rgo(f) = [0,+\infty)

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n par, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.

Función Raíz Cúbica

La raíz cúbica de un número x se define como un número que multiplicado tres veces por él mismo es igual a x y se denota por \sqrt[3]{x}. Contrario a la raíz cuadrada, en este caso sí tiene sentido definir la raíz cúbica de un número negativo. Formalmente, definimos esta función como

f: [0,+\infty] \rightarrow [0,+\infty], \ f(x)=\sqrt{x}

Dom(f) = \mathbb{R}

Rgo(f) = \mathbb{R}

En general, cualquier función de la forma f(x)=\sqrt[n]{x} con n impar, tendrá la misma forma, salvo que mientras más grande sea el valor de n, más lento crecerá la función para los valores de x tales que |x|>1 y más rápido crecerá para los valores de x tales que |x|<1.


Grado de una función

El grado de un polinomio

Anteriormente hemos definido los polinomios, así que no será sorpresa definir funciones a partir de ellos. Definiremos entonces una función polinómica como una función P: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} de la siguiente forma:

Polinomio de Grado n | totumat.com

A los números a_0, a_1, a_2, \ldots , a_n los llamaremos coeficientes del polinomio, a_n será el coeficiente principal y a_0 será el término independiente.

Definimos el grado de la función polinómica P(x) como el mayor exponente n involucrado en la expresión que lo define, en algunos textos se denota con la expresión gr(P), d(P) ó deg(P).

La importancia del grado del polinomio radica en que éste determina la velocidad con la que crecerá a medida que crece la variable x y aunque aún no tenemos las herramientas para graficar otro tipo de funciones que no sean elementales, podemos anunciar que las formas gráficas de los polinomios también variarán dependiendo de su grado, consideremos las siguientes funciones:

Anuncios

El grado de una función algebraicas

La idea del grado de un polinomio se puede generalizar a cualquier tipo de funciones algebraicas. Particularmente, si consideramos las funciones que involucran radicales como la función raíz cuadrada o raíz cúbica, diremos que el grado vendrá dado el índice de la raíz. Si consideramos una función de la forma

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Entonces, diremos que su grado es \frac{1}{n}. Más aún, si P(x) es una función algebraica de grado m entonces si consideramos la función

f(x) = \sqrt[n]{P(x)}

Entonces el grado de la función f(x) es igual a \frac{m}{n}.

El grado de una función trascendental

Al considerar funciones transcendentales, particularmente la función exponencial y la función logarítmica, estas tendrán un comportamiento muy específico respecto a las funciones algebraicas:

El grado de la función exponencial será mayor que el grado de cualquier función algebraica, es decir, crecerá más rápido que cualquier función algebraica. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado infinito, diremos que tiene grado exponencial.

El grado de la función logarítmica será menor que el grado de cualquier función de grado positivo, es decir, crecerá más lento que cualquier función algebraica de grado positivo. Aunque en algunos textos se dice que tiene grado cero, diremos que tiene grado logarítmico.

El siguiente gráfico permite ilustrar la rapidez con la que crece una función dependiendo de su grado:

El grado de operaciones entre funciones

Es posible definir el grado de operaciones básicas entre funciones tomando las siguientes consideraciones:

El grado de la suma de dos funciones será el grado de la función con mayor grado. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, con m>n, entonces el grado de f(x) \pm g(x) es igual a m.

El grado del producto de dos funciones será la suma de los grados. Formalmente, al considerar P(x) una función algebraica de grado m y Q(x) una función algebraica de grado n, entonces el grado de f(x) \cdot g(x) es igual a m + n.

El grado del cociente entre dos funciones será la resta del grado de la función en el numerador menos el grado de la función en el denominador. Formalmente, al considerar f(x) una función de grado m y g(x) \neq 0 una función de grado n, entonces el grado de \frac{f(x)}{g(x)} es igual a m - n.

Veamos con algunos ejemplos como determinar el grado de algunas funciones.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

El grado de la función f(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 1 es igual a 3 pues el mayor grado involucrado.

Ejemplo 2

El grado de la función f(x) = \sqrt{x} + x - 8 es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 3

El grado de la función f(x) = \sqrt{x^3 + 2} - 3x - 8 es igual a \frac{3}{2} pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 4

El grado de la función f(x) = \frac{x}{3} + 6\ln(x) es igual a 1 pues es el mayor grado involucrado.

Ejemplo 5

El grado de la función f(x) = x^5 \cdot \sqrt[3]{x-7} + 9 es igual a \frac{8}{3} pues es la suma de los grados 5 + \frac{1}{3}

Ejemplo 6

El grado de la función f(x) = 2\text{\large e}^x \cdot x + x^2 -11 es exponencial pues al multiplicar cualquier función por la función exponencial, su grado sigue siendo exponencial.

Ejemplo 7

El grado de la función f(x) = \frac{x + 1}{x^3 - 2} + 13 es -2 pues es la resta de los grados 1-3

Ejemplo 8

El grado de la función f(x) = \frac{7}{x} + 9\ln(x) es logarítmico pues el grado de la primera función es -1 y el grado logarítmico es mayor que cualquier grado negativo.


Gráfica de las Funciones Elementales

A continuación se presenta una lista de funciones elementales son sus respectivas gráficas y transformaciones: Función Identidad o Afín, Función Cuadrática, Función Cúbica, Función Raíz Cuadrada, Función Raíz Cúbica, Función de Proporcionalidad Inversa (1/x), Función 1/x^2, Función Exponencial, Función Logarítmica, Función Seno, Función Coseno y Función Tangente. Además, al final de esta, hay un enlace con un PDF descargable que se puede consultar en digital o imprimir si se desea.

Gráfica de las funciones Algebraicas | totumat.com
Anuncios
Gráfica de las funciones trascendentes o trascendentales y Gráfica de las funciones trigonométricas | totumat.com

Funciones por Partes

Esta publicación será corta pero sentará una base conceptual para entender algunos conceptos en el estudio local del comportamiento de algunas funciones pues en ocasiones encontraremos funciones cuyo comportamiento no está definido de una sola forma en todo su dominio, para esto debemos partir el dominio y definir las expresiones que describen su comportamiento en cada parte de su dominio.

Formalmente llamaremos a este tipo de funciones como Funciones Por Partes o Funciones Definidas a Trozos. Veamos algunos ejemplos para aclarar esta idea.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

En el ejemplo anterior la imágenes de ambas expresiones coincidieron en el punto donde se partió su dominio. En este caso las imágenes no coinciden, así que en la gráfica denotamos con un punto sin relleno \circ que la imagen no está incluida en el extremo y denotamos con un punto relleno \bullet que la imagen sí está incluida en el extremo de la siguiente manera:

Ejemplo 3

El dominio de una función también puede partirse en más de dos partes para definir las expresiones que describen su comportamiento.