Categoría: Funciones

Graficar funciones usando Google

Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario
  1. Función Constante
  2. Función Identidad
  3. Función Cuadrática
  4. Función de Proporcionalidad Inversa
  5. Función Raíz Cuadrada
  6. Función Raíz Cúbica
  7. Función Exponencial
  8. Función Logarítmica

Para graficar funciones no es siempre es necesario un software o apps especializadas en matemáticas pues siempre que se disponga de una conexión a internet se pueden generar gráficas de funciones elementales (e incluso funciones no elementales) usando Google de forma muy sencilla, para esto se escribe el siguiente comando «graph for» y seguidamente de la función que se desea graficar en el campo de búsqueda, sin embargo, estas funciones se deben escribir con una sintaxis muy particular.

Función Constante

Para graficar la función constante f(x)=c donde c es un número real, se debe escribir

graph for c

Por supuesto, sustituyendo c por el valor deseado. Si se desea graficar la función f(x)=3, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda

graph for 3

Función Identidad

Para graficar la función identidad f(x)=x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x

Nota: Usted puede hacer «zoom in» y «zoom out» para ver detalles de la gráfica en los puntos que desee.

Función Cuadrática

Para graficar la función cuadrática se debe usar el circunflejo para denotar qué número está en el exponente, usando el símbolo «^». Si se desea graficar la función cuadrática f(x)=x^2, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^2

De esta forma se puede graficar funciones como la cuadrática, la cúbica, y en general cualquier función de la forma f(x)=x^n donde n es un número natural.

Función de Proporcionalidad Inversa

El producto se denota con un asterisco «*» y la división se denota con el slash «/», entonces si se desea graficar la función de proporcionalidad inversa f(x)=\frac{1}{x}, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for 1/x

Notemos que con esta sintaxis y la aprendida con la función cuadrática, se puede graficar cualquier función de la forma f(x)= \frac{1}{x^n} donde n es un número natural mayor que 1.

Función Raíz Cuadrada

Para graficar la función raíz cuadrada f(x)=\sqrt{x} se debe usar una instrucción especial para denotar la raíz cuadrada de una variable, esta es sqrt y significa «Square Root» que se traduce precisamente del inglés como «Raíz Cuadrada», este es el estándar para denotar la raíz cuadrada en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función raíz cuadrada, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for sqrt(x)

Función Raíz Cúbica

Recuerde que se puede reescribir la función raíz cuadrada de x como x^{\frac{1}{2}}. Se puede generalizar este hecho para graficar cualquier función que involucre una raíz, por ejemplo, si se desea graficar la función raíz cúbica f(x)= x^{\frac{1}{2}} , se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x^(1/3)

Función Exponencial

Si se desea graficar la función exponencial f(x) = \text{\large e}^x, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for e^x

Función Logarítmica

Para graficar la función logarítmica se debe usar una instrucción especial para denotar el logaritmo de una variable, esta es log, este es el estándar para denotar el logaritmo base 10 en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logarítmica f(x) = log(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x)

Particularmente nos puede interesar el logaritmo neperiano y para este se usa la instrucción ln, este es el estándar para denotar el logaritmo neperiano en cualquier entorno matemático con el que se trabaje. Si se desea graficar la función logaritmo neperiano f(x) = ln(x), se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for ln(x)

Se pueden graficar más de dos funciones o más al mismo tiempo, separando las mismas con comas. Si queremos comparar las funciones log(x) y ln(x) en mismo gráfgico, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for log(x), ln(x)

Supongamos ahora que queremos graficar las funciones identidad y cuadrática al mismo tiempo, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda:

graph for x, x^2

Notando que las funciones son graficadas con colores distintos para facilitar su distinción.

Una vez conociendo todo lo anterior podemos graficar transformaciones de funciones elementales. Por ejemplo el valor absoluto se denota como abs. Entonces para graficar las siguientes funciones f(x)=(x-2)^2-1, g(x)=1/(-x-2)+1 y h(x)=|ln(x+1)|, se debe escribir lo siguiente en el campo de búsqueda: 

graph for (x-2)^2-1, 1/(-x-2)+1, abs(ln(x+1))

También se pueden graficar funciones no elementales. Al usar aplicaciones más sofisticadas para hacer gráficos de funciones, la sintaxis usada en el buscador de google es muy parecida, entonces al dominar este tipo de escritura, no se presentará mayor dificultad al usar otra plataforma, aplicación o calculadoras avanzadas en general.

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Función Inversa

Anthonny Arias García2 comentarios
  1. Propiedades de la Composición de Funciones
    1. Asociativa
    2. No conmutativa
    3. Elemento neutro
    4. Función inversa
  2. Tabla de funciones inversas elementales
  3. Cálculo de funciones inversas
    1. Ejemplo 1
    2. Ejemplo 2
    3. Ejemplo 3

La composición de funciones se puede considerar como una nueva operación entre funciones y ésta tendrá propiedades tal como lo tienen las propiedades de suma, resta, multiplicación y división.

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Propiedades de la Composición de Funciones

Si consideramos f, g y h funciones, veamos cuales son estas propiedades:

Asociativa

La composición de funciones es Asociativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \circ h = f \circ \Big(g \circ h \Big)

No conmutativa

La composición es de funciones es No conmutativa, es decir,

\Big(f \circ g \Big) \neq \Big(g \circ f \Big)

Nota: Existen casos muy particulares en los que la composición de funciones puede conmutar, pero no es una regla general.

Elemento neutro

Si consideremos la función identidad, es decir, I(x) = x. Esta se comporta como el Elemento Neutro para la composición de funciones, es decir,

\Big(f \circ I \Big) = \Big(I \circ f \Big) = f

Función inversa

Así como en la suma hemos podido definir el opuesto aditivo y para la división hemos podido definir el inverso multiplicativo, es posible definir una operación inversa para la composición de funciones.

Definimos la inversa de una función biyectiva f : A \longrightarrow B como una función f^{-1} : B \longrightarrow A tal que al componer f^{-1} con f y f con f^{-1}, el resultado es exactamente la función identidad. Es decir,

\Big(f \circ f^{-1} \Big) (x) = \Big(f^{-1} \circ f \Big) (x) = I(x) = x

Por ejemplo, si f(x)=x+1 y g(x)=x-1 son dos funciones, al calcular \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x)

= f \Big( g(x) \Big)

= f \Big( x-1 \Big)

= (x-1)+1

= x -1 +1

= x

Por lo tanto podemos concluir que la función g es la inversa de la función f, en otras palabras, g = f^{-1}.

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Tabla de funciones inversas elementales

Considerando la forma en que están definidas algunas funciones, podemos ver que a través de algunas operaciones algebraicas o trascendentes, es posible determinar sus inversas.

Particularmente, si f : Dom(f) \longrightarrow Rgo (f) es una función biyectiva, definimos entonces una lista de funciones inversas de la siguiente forma:

f(x)f^{-1}(x)
xx
x^2\sqrt{x}
x^3\sqrt[3]{x}
x^n\sqrt[n]{x}
\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{x}
\dfrac{1}{x^n}\dfrac{1}{\sqrt[n]{x}}
\textit{\large e}^x\ln(x)
sen(x)arcsen(x)
cos(x)arccos(x)
tan(x)arctan(x)

Note que si g es la inversa de una función f entonces f es la inversa de la función g, entonces en este caso particular, la composición de funciones es conmutativa. Es posible calcular la función inversa de algunas funciones biyectivas, veamos cual es la técnica para hacer este cálculo con algunos ejemplos:

Cálculo de funciones inversas

Ejemplo 1

Sea f: [0,+\infty) \longrightarrow [0,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=x^2+1. Calcule f^{-1}(x).

Para esto recurrimos a una variable auxiliar y=f(x), de forma que y=x^2+1 y nuestro objetivo será despejar la variable x de esta ecuación.

y = x^2+1

\Rightarrow y-1 = x^2

\Rightarrow \sqrt{y-1} = \sqrt{x^2}

\Rightarrow \sqrt{y-1} = |x|

\Rightarrow \sqrt{y-1} = x

\Rightarrow x = \sqrt{y-1}

Finalmente definimos f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función cuadrática a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 2

Sea f: (5,+\infty) \longrightarrow (-2,+\infty) una función definida de la siguiente manera: f(x)=\dfrac{1}{x-5}-2. Calcule f^{-1}(x).

y = \frac{1}{x-5}-2

\Rightarrow y+2 = \frac{1}{x-5}

\Rightarrow \frac{1}{y+2} = x-5

\Rightarrow \frac{1}{y+2} + 5 = x

\Rightarrow x = \frac{1}{y+2} + 5

\Rightarrow f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \frac{1}{y+2} + 5. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \frac{1}{x+2} + 5

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función de proporcionalidad inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 3

Sea f: (-6,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} una función definida de la siguiente manera: f(x)=\ln(x+6) - 3. Calcule f^{-1}(x).

y = \ln(x+6) - 3

\Rightarrow y+3 = \ln(x+6)

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} = \textit{\large e}^{\ln(x+6)}

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} = (x+6)

\Rightarrow \textit{\large e}^{y+3} - 6 = x

\Rightarrow x = \textit{\large e}^{y+3} - 6

\Rightarrow f^{-1}(y) = \textit{\large e}^{y+3} - 6

Finalmente definimos f^{-1}(y) = \textit{\large e}^{y+3} - 6. Como y es una variable real, podemos sustituirla por x nuevamente para expresarla como hemos acostumbrado: f^{-1}(x) = \textit{\large e}^{x+3} - 6

Notemos que en el tercer paso, aplicamos la función inversa de la función logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación.

Queda como tarea para el lector, verificar si en efecto las funciones calculadas son las funciones inversas, es decir, verificar que \big( f \circ f^{-1} \big)(x) = \big( f^{-1} \circ f \big)(x) = x .

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Anthonny Arias García10 comentarios
  1. Función Inyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1: Función inyectiva
    2. Ejemplos
      1. Ejemplo 2: Función inyectiva
      2. Ejemplo 3: Función no inyectiva
      3. Ejemplo 4: Función inyectiva
  2. Función Sobreyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 5: Función sobreyectiva
      2. Ejemplo 6: Función no sobreyectiva
      3. Ejemplo 7: Función sobreyectiva
  3. Función Biyectiva
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva
      2. Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Antes de profundizar sobre la composición de funciones, debemos estudiar primero las relaciones que una función f: A \longrightarrow B establece entre los elementos de A y B. Consideremos entonces algunas funciones que establecen relaciones muy particulares entre los elementos de conjuntos.

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Función Inyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de A y de B, es decir que cada elemento de Dom(f) está correspondido con único elemento de Rgo(f) y cada elemento de Rgo(f) está correspondido con un único elemento de Dom(f).

Formalmente, decimos que la función f es inyectiva si para todo a,b \in A se cumple lo siguiente:

a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b

Ejemplos

Ejemplo 1: Función inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2, esta función no es inyectiva, esto se debe a que al tomar de forma muy particular, los elementos 2 y -2 de su dominio, al ser estos dos elementos distintos de su dominio, también deberían ser distintas sus imágenes, pero sus imágenes son diferentes pues,

f(-2) = (-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4

f(2) = (2)^2 = (2) \cdot (2) = 4

Sin embargo, podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función f en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 2: Función inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 3: Función no inyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto (0,4), notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 4: Función inyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^2,

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

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Función Sobreyectiva

Sea f : A \longrightarrow B una función, entonces f es una función sobreyectiva si todo elemento de B tiene una preimagen, es decir que Rgo(f)=B. Formalmente, f es sobreyectiva si:

Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplos

Ejemplo 5: Función sobreyectiva

Si consideramos la función f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=x^3,

Ella sí es sobreyectiva pues Rgo(f) = \mathbb{R}.

Ejemplo 6: Función no sobreyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella no es sobreyectiva, ya que Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}.

Ejemplo 7: Función sobreyectiva

Si consideramos la función f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty] definida como f(x)=\sqrt{x},

Ella sí es sobreyectiva pues Rgo(f) = [0,+\infty].

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

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Función Biyectiva

Diremos que la función f : A \longrightarrow B es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejemplos

Ejemplo 8: Función inyectiva y sobreyectiva

Si consideramos la función f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R} definida como f(x) = \ln(x),

Ella sí es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un solo punto y además, sí es sobreyectiva ya que Rgo(f) = \mathbb{R}, por lo tanto, concluimos que esta función sí es biyectiva.

Ejemplo 9: Función no inyectiva y no sobreyectiva

Si consideramos la función f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida como

Función por partes | totumat.com

A partir del valor absoluto involucrado en la función, debemos notar que esta función está definida de la siguiente forma:

  • Si x>0 entonces f(x) = \frac{x}{x} = 1.
  • Si x<0 entonces f(x) = \frac{-x}{x} = -1.
  • Si x=0 entonces f(x) = 0.

Esta función no es inyectiva, pues si consideramos dos elementos mayores que cero, digamos, 5 y 7, sus imágenes son iguales pues f(5)=1 y f(7)=1. Además, esta función no es sobreyectiva, pues el conjunto de llegada es igual a \mathbb{R} y su rango es igual a \{ -1,0,1 \}.

Por lo tanto, concluimos que esta función no es biyectiva.

Esto se puede apreciar gráficamente:

Función por partes | totumat.com

Composición de Funciones y Dominio de Funciones Compuestas

Anthonny Arias García13 comentarios
  1. Composición de Funciones
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 1
      2. Ejemplo 2
      3. Ejemplo 3
  2. Dominio de una Función compuesta
    1. Ejemplos
      1. Ejemplo 4
      2. Ejemplo 5
      3. Ejemplo 6

Una vez que hemos definido las funciones elementales, podemos aplicar entre ellas, las operaciones básicas para definir nuevas funciones, esto es, suma, resta, multiplicación y división entre funciones. Sin embargo, es posible definir funciones sin recurrir a las operaciones básicas.

Veremos en esta sección, que podemos meter a una función dentro de otra para definir una nueva función, sin embargo, debemos ser cuidadosos pues el dominio y el rango de las funciones involucradas deben cumplir con ciertas condiciones.

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Composición de Funciones

Existen funciones que no se pueden expresar como operaciones básicas de funciones elementales. Consideremos g : A \longrightarrow B y f: C \longrightarrow D dos funciones, definimos la composición de g con f como una nueva función que corresponde a cada imagen de un elemento a \in A un único elemento c \in C, la denotamos como f \circ g : A \longrightarrow D y la definimos de la siguiente forma:

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big)

Veamos con algunos ejemplos como calcular la composición de funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean f(x)=x^2-2 y g(x)=x+1, calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \big( g(x) \big)^2-2 = (x+1)^2-2

Ejemplo 2

Sean f(x)=\dfrac{3}{x+2} y g(x)=\ln(x-1), calcule \Big(f \circ g \Big) (x).

\Big(f \circ g \Big) (x) = f \Big( g(x) \Big) = \dfrac{3}{g(x)+2} = \dfrac{3}{\ln(x-1)+2}

Ejemplo 3

Sean f(x)={\rm e}^{2x+5} y g(x)=\sqrt{1-x}, calcule \Big(g \circ f \Big) (x).

\Big(g \circ f \Big) (x) = g \Big( f(x) \Big) = \sqrt{1 - f(x)} = \sqrt{1 - {\rm e}^{2x+5}}

Básicamente al componer la función g con la función f, estamos sustituyendo el argumento de la función f con la función g.

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Dominio de una Función compuesta

El dominio de este tipo de funciones viene dado por todos los elementos que están en el dominio de g : A \longrightarrow B cuyas imágenes están en el dominio de f: C \longrightarrow D, es decir,

Dom(f \circ g ) = \{ x \in Dom(g) : g(x) \in Dom(f) \}

Consideremos un Diagrama Sagital para ilustrar la composición de funciones.

En este Diagrama Sagital, el dominio de la función (f \circ g ) será el conjunto formado por a_1 y a_2. Notemos que si el rango de la función g está enteramente contenido en el dominio de la función f, entonces

Dom\Big(f \circ g \Big) = dom(f)

Determinar el dominio de una función compuesta (f \circ g ) no es tan simple como intersectar o unir conjuntos, hay que tomar en cuenta la naturaleza de ambas funciones con detenimiento y calcular los valores de x para los cuales g(x) satisface las condiciones impuestas por el dominio de f. Veamos con algunos ejemplos cual es la técnica para hacer esto.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Para calcular el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1), debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-1 compuesta con la función logaritmo neperiano y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales mayores que cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales

x^2-1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0

Por lo tanto, debemos calcular la solución de esta inecuación cuadrática para determinar la solución. Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones:

x-1 > 0 y x+1 > 0
ó
x-1 < 0 y x+1 < 0

Despejando cada una de las ecuaciones, tenemos lo siguiente:

x > 1 y x > -1 (1)
ó
x < 1 y x < -1 (2)

Por lo tanto, podemos plantear las soluciones involucradas

Solución (1):
(1,+\infty) \cap (-1,+\infty) = (1,+\infty)

Solución (2):
(-\infty,1) \cap (-\infty,-1) = (-\infty,-1)

Por lo tanto, la solución general es (1,+\infty) \cup (-\infty,-1) que a su vez, es el dominio de la función f(x) = \ln(x^2-1).

Nota: Consulte la publicación de inecuaciones cuadráticas para ver con más detalle el cálculo de esta solución.

Ejemplo 5

Para calcular el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}}, debemos notar que esta función es el resultado de la función \sqrt{x+1} compuesta con la función exponencial y sabiendo que el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales, basta con determinar el dominio de \sqrt{x+1}, es decir, todos los números reales para los cuales x+1 \geq 0.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \text{\large \rm e}^{\sqrt{x+1}} es [-1,+\infty).

Ejemplo 6

Para calcular el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9}, debemos notar que esta función es el resultado de la función x^2-9 compuesta con la función de proporcionalidad inversa y sabiendo que el dominio de ésta viene dado por todos los números reales distintos de cero, debemos determinar cuales son los valores de x para los cuales x^2-9 = 0 y los excluimos.

Por lo tanto, el dominio de la función f(x) = \frac{1}{x^2-9} es \mathbb{R} - \{ -3,3\}.

Operaciones entre Funciones y su Dominio

Anthonny Arias García5 comentarios
  1. Dominio de Operaciones entre Funciones
    1. Dominio de la suma de dos funciones
    2. Dominio de la resta de dos funciones
    3. Dominio del producto entre dos funciones
    4. Dominio del cociente entre dos funciones
  2. Ejemplos
    1. Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones
    2. Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones
    3. Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones
    4. Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones f : A \longrightarrow B y g : C \longrightarrow D. Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

Dominio de Operaciones entre Funciones

Dominio de la suma de dos funciones

La imagen de x a través de la suma de las funciones f y g es la suma de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f + g \big)(x) = f(x) + g(x)

Dom\big( f + g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio de la resta de dos funciones

La imagen de x a través de la resta de las funciones f y g es la resta de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f - g \big)(x) = f(x) - g(x)

Dom\big( f - g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del producto entre dos funciones

La imagen de x a través del producto de las funciones f y g es el producto de las imágenes de cada una respectivamente, formalmente,

\big( f \cdot g \big)(x) = f(x) \cdot g(x)

Dom\big( f \cdot g \big) = Dom(f) \cap Dom(g)

Dominio del cociente entre dos funciones

La imagen de x a través del cociente de las funciones f entre g es el cociente de las imágenes respectivas, formalmente,

\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

Dom \left( \frac{f}{g} \right) = Dom(f) \cap Dom(g) - \{x : g(x) = 0 \}

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Veamos con algunos ejemplos como determinar el dominio de algunas funciones definidas como el resultado de la operación entre funciones.

Ejemplos

Ejemplo 1: Dominio de la suma de dos funciones

Sean f(x)=x^2 y g(x)=5x definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}

Ejemplo 2: Dominio de la resta de dos funciones

Sean f(x)=\sqrt{x} y g(x)=7x+1 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)

Considerando que Dom(f) = [0,+\infty) y que Dom(g) = \mathbb{R}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)

Ejemplo 3: Dominio del producto entre dos funciones

Sean f(x)=-\text{\rm e}^{x-7} y g(x)=\frac{1}{x+2}+2 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( -\text{\rm e}^{x-7} \big) \cdot \left( \frac{1}{x+2}+2 \right)

Considerando que Dom(f) = \mathbb{R} y que Dom(g) = \mathbb{R}-\{-2\}, entonces concluimos que

Dom(f - g) = \mathbb{R} \cap \left ( \mathbb{R}-\{-2\} \right) = \mathbb{R} - \{-2\}

Ejemplo 4: Dominio del cociente entre dos funciones

Sean f(x)=\ln(x+3)-5 y g(x)=\sqrt[4]{-x+6}+10 definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

\big( f \cdot g \big)(x) = \big( 4\ln(x+3)-5 \big) \cdot \left( \sqrt[4]{-x+6}+10 \right)

Considerando que Dom(f) = (-3,+\infty) y que Dom(g) = [-\infty,6] , entonces concluimos que

Dom(f - g) = (-3,+\infty) \cap [-\infty,6] - { 6 } = (-3,6] - {6} = (-3,6)