Derivación Implícita

Al considerar una función de la forma y=f(x), estamos definiendo a la función $f$ de forma explícita, recurriendo a y como una variable que depende enteramente de la variable x, sin embargo, este no siempre es el caso.

Definimos una función implícita como una relación entre dos variables a través de una igualdad. Si consideramos la ecuación general de la recta ax + by + c = 0, esta define una función implícita, aunque hay casos más interesantes pues al considerar la ecuación x^2+y^2=1 esta es la función implícita que define una circunferencia en el plano cartesiano centrada en el origen y de radio igual a 1.

Pudiéramos intentar definir esta circunferencia usando funciones explícitas como lo hemos hecho anteriormente pero no tendríamos éxito, a lo sumo pudiéramos definir semi-circunferencias con las expresiones

f(x) = \sqrt{1-x^2} ó f(x) = -\sqrt{1-x^2}

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo, es necesario considerar una variable como independiente y estudiar el comportamiento de la otra como si fuera una variable dependiente.

Para esto debemos adoptar la notación de la derivada como un cociente de diferenciales \frac{dy}{dx} ó \frac{dx}{dy} pues de esta forma podremos identificar las variables que estamos estudiando de forma clara. Veamos con algunas ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2=1 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

Empezaremos derivando respecto a la variable x en ambos lados de la ecuación x^2+y^2=1 para obtener

\frac{d(x^2+y^2)}{dx} = \frac{d(1)}{dx}

Notamos que al derivar una suma, podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\frac{d(x^2)}{dx} + \frac{d(y^2)}{dx}= \frac{d(1)}{dx}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la regla del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente, de esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, la derivada de 1 es igual a 0 por ser esta una constante.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx}= 0

Finalmente, despejamos \dfrac{dy}{dx} para expresar esta derivada de forma explícita.

2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0

\Rightarrow \; 2y \dfrac{dy}{dx} = -2x

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-2x}{2y }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y }

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Ejemplo 2

Sea 3x-2y+5xy=6 una función implícita. Calcule al derivada de la variable x respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

3x-2y+5xy=6

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x-2y+5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; \dfrac{d(3x)}{dy} - \dfrac{d(2y)}{dy} + \dfrac{d(5xy)}{dy} = \dfrac{d(6)}{dy}

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} - 2 + 5\dfrac{dx}{dy}y + 5x = 0

\Rightarrow \; 3\dfrac{dx}{dy} + 5\dfrac{dx}{dy}y = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy}(3+5y) = 2 - 5x

\Rightarrow \; \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{2 - 5x}{3+5y}

Ejemplo 3

Sea \ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3 una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

\ln(9x-4y) + 3x^6 = 3y^3

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y) + 3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{d(\ln(9x-4y))}{dy} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\dfrac{d(9x-4y)}{dx} + \dfrac{d(3x^6)}{dx} = \dfrac{d(3y^3)}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{1}{9x-4y}\left( 9-4\dfrac{dy}{dx} \right) + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{9}{9x-4y} - \dfrac{4}{9x-4y} \dfrac{dy}{dx} + 18x^5 = 9y^2\dfrac{dy}{dx}

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} \left( - \dfrac{4}{9x-4y} - 9y^2 \right) = - \dfrac{9}{9x-4y} - 18x^5

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{- \frac{9}{9x-4y} - 18x^5 }{- \frac{4}{9x-4y} - 9y^2 }

\Rightarrow \; \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ \frac{9}{9x-4y} + 18x^5 }{ \frac{4}{9x-4y} + 9y^2 }

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación y' para denotar \dfrac{dy}{dx} y la notación x' para denotar \dfrac{dx}{dy}. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables. Veamos como usar esta notación en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 4

Sea 9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dy}{dx}.

9y^4 - 2x^7 = 10 + 4\sqrt{xy}

\Rightarrow \; (9y^4 - 2x^7)' = (10 + 4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; (9y^4)' - (2x^7)' = (10)' + (4\sqrt{xy})'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = 0 + \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(xy)'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}}(1 \cdot y + x \cdot y')

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - 14x^6 = \dfrac{4}{\sqrt{xy}} y + \dfrac{4}{\sqrt{xy}} x \cdot y'

\Rightarrow \; 36y^3\cdot y' - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \cdot y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; \left( 36y^3 - \dfrac{4x}{\sqrt{xy}} \right) y' = \dfrac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6

\Rightarrow \; y' = \dfrac{\frac{4y}{\sqrt{xy}} + 14x^6}{36y^3 - \frac{4x}{\sqrt{xy}}}

También se puede recurrir a una variable auxiliar cuando nos topamos con una expresión engorrosa de escribir reiteradas veces.

Ejemplo 5

Sea \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20} - 8 = 10 + 6y^{11} una función implícita. Calcule al derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{dx}{dy}.

\underbrace{\text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}_\text{a} - 8 = 10 + 6y^{11}

\Rightarrow \; (a-8)' = (10 + 6y^{11})'

\Rightarrow \; (a)' - (8)' = (10)' + (6y^11)'

\Rightarrow \; a(50x^4 \cdot x'+16y + 0) - 0 = 0 + 66y^{10}

\Rightarrow \; a50x^4 \cdot x'+a16y = 66y^{10}

\Rightarrow \; 50x^4 a \cdot x' = 66y^{10} - 16y a

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16ya}{50x^4 a }

\Rightarrow \; x' = \dfrac{66y^{10} - 16y \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}{50x^4 \text{\Large e}^{10x^5+8y^2+20}}


Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas implícitas de funciones tendremos una variable dependiente y una independiente. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

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