Funciones en Varias Variables

Hemos estudiado funciones que de forma explícita, dependen de sólo una variable y aunque también hemos estudiado funciones que definidas de forma implícita relacionan dos variables, no hemos estudiado formalmente funciones que dependan de dos o más variables.

Para ir más allá, recurrimos a una nueva variable $z$ que dependerá enteramente de las variables $x$ y $y$ . Notando que al definir una tercera variable, podemos hacer la representación gráfica de este tipo de funciones tomando en cuenta que hasta ahora hemos construido nuestros espacios intersectando ejes coordenados de forma perpendicular.

Esta vez no será diferente, así que considerando el plano cartesiano, intersectaremos a este en el origen con un eje perpendicular a los Ejes $Y$ y $X$ generando así el espacio cartesiano que consta de tres ejes coordenados $X$ , $Y$ y $Z$ :

En este espacio podemos identificar tres planos principales, que se definen de la siguiente manera: El plano $XY$ que contiene todos los puntos de la forma $(x,y,0)$ , el plano $XZ$ que contiene todos los puntos de la forma $(x,0,z)$ y el plano $YZ$ que contiene todos los puntos de la forma $(0,y,z)$ .

De esta forma, podemos generalizar la definición de función que hasta ahora conocemos. Formalmente, si $R$ una región en el plano $XY$ , entonces definimos una función $f : R \to \mathbb{R}$ como una regla de correspondencia que corresponde a cada par ordenado de la región $R$ con un único número real $z = f(x,y)$ .

A este tipo de funciones las llamaremos funciones de dos variables. Evaluamos este tipo de funciones sustituyendo los valores de $x$ y $y$ por sus valores correspondientes, y así, calculamos sus imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender como calcular imágenes.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Evalúe la función $f(x,y) = x^2 + y^2$ en el punto $(3,-1)$ . Entonces sustituimos $x$ por $3$ y $y$ por $-1$ de la siguiente forma:

$f(3,-1) = (3)^2 + (-1)^2= 9 + 1= 10$

Ejemplo 2

Evalúe la función $f(x,y) = \sqrt{x+20} + \textit{\Large e}^{2x-8} + 20$ en el punto $(-13,4)$ . Entonces sustituimos $x$ por $-13$ y $y$ por $4$ de la siguiente forma:

$f(-13,4) = \sqrt{-13+20} + \textit{\Large e}^{2(4)-8} + 20 = \sqrt{9} + \textit{\Large e}^{0} + 20 = 3 + 1 + 20 = 24$

Ejemplo 3

Evalúe la función $f(x,y) = \frac{7}{x+y}$ en el punto $(18,10)$ . Entonces sustituimos $x$ por $18$ y $y$ por $10$ de la siguiente forma:

$f(18,10) = \frac{7}{18+10} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias variables, una de ellas es proyectar la superficie que esta define en cada plano.

Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función $f(x,y)=x^2+y^2$ , podemos ver su proyección en el plano $XZ$ tomando $y=0$ y de esta forma la función se convierte en $Z=f(x,0)=x^2+0^2 \Rightarrow z=x^2$ ; también podemos ver su proyección en el plano $YZ$ tomando $x=0$ y de esta forma la función se convierte en $Z=f(0,y)=0^2+y^2 \Rightarrow z=y^2$ . Sus gráficas respectivas serán