Curvas de Nivel

Hemos visto de forma muy superficial uno de los métodos para graficar funciones en varias variables, otro de los métodos para entender el comportamiento gráfico de este tipo de funciones es conocido como las curvas de nivel y se basa en el método que usan los cartógrafos para diseñar mapas de la superficie terrestre (y de otros cuerpos celestes). Este método consiste en dibujar los contornos que unen los puntos del mapa que representan las posiciones del terreno con la misma altitud sobre el nivel del mar, por ejemplo, el contorno de todos los puntos que se encuentran a 100 metros por encima del nivel del mar. Cuando estas curvas están muy juntas, esto indica que las pendientes están muy pronunciadas.

Veamos en la siguiente imagen tomada del mapa del relieve del Monte Everest que provee Google Maps, en las regiones donde las pendientes son menos empinadas es notorio que las curvas de nivel están bastante separadas en comparación con los alrededores de la cima del Monte Everest.

Recordemos que al definir las derivadas parciales, fijamos los valores de las variables x y y para generar curvas en planos paralelos a los planos YZ y XZ respectivamente. De esta forma, podemos representar geométricamente en una función fijando valores para la variable z para generar curvas en planos paralelos al plano XY.

Formalmente, si fijamos la variable z en un valor c, entonces la curva de nivel en c estará expresada de la forma z = f(x,y) = c.

Particularmente podemos cortar la gráfica de la función f(x,y) = x^2 + y^2 con el plano generado en z = 1 e incluso podemos estudiar sus curvas de nivel en distintos valores de z, por ejemplo, los valores enteros z=2,3,4,5,6 \ldots de la siguiente forma

Notando que a medida que crece el valor fijo de z las circunferencias están mas juntas, esto indica que a medida cada vez las pendientes están más pronunciadas y ya hemos comprobado que es así al calcular las derivadas parciales de estas funciones.


Referencias

Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (1998). Matemáticas para el Análisis Económico (1st ed.; A. Otero, ed.). Prentice Hall.

2 comentarios en “Curvas de Nivel

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