Curvas de Indiferencia y TMS

En la economía, la utilidad estudia el nivel de satisfacción de un individuo respecto a la forma en que este clasifica distintas situaciones, sin embargo, este tipo de funciones no se pueden cuantificar de forma rigurosa pues la satisfacción es algo muy subjetivo ya que la utilidad de una persona no sólo depende de los bienes materiales que consume, sino también de sus actitudes psicológicas, de las presiones de su grupo social, de sus experiencias personales y del entorno cultural en general según Walter Nicholson en su libro de Teoría Microeconómica, Principios básicos y ampliaciones, es por esto que se restringe el estudio de este tipo de funciones a variables que se puedan medir como las cantidades relativas de alimento, horas de trabajo semanales o tasas fiscales, las variables que no podemos medir se suponen como constantes, esto se le llama en los libros de texto económicos ceteris paribus.

Consideremos el caso particular en que una vez presentados n bienes distintos, un individuo debe escoger cantidades x_1, x_2, \ldots, x_n de dichos bienes. Entonces, representaremos la forma en que este individuo clasifica estos bienes definiendo una función de utilidad de la siguiente forma:

U(x_1, x_2, \ldots, x_n)

Cuando sólo se toman en consideración dos bienes, entonces la función de utilidad se expresa sólo para la cantidad de estos dos bienes x y y:

U(x,y)

La curva de nivel U(x,y) = U_0 representa todas las combinaciones de x y y que proveen al individuo un nivel de satisfacción igual a U_0. Esta curva de nivel se llama curva de indiferencia pues al ellas representar todas las combinaciones de las canastas del mercado que proveen al individuo el mismo nivel de satisfacción, este se mostrará indiferente entre una canasta y otra. De forma general, si la función U(x,y) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará representada de la siguiente forma:

La curva de indiferencia además de mostrar las combinaciones de los bienes x y y, nos permiten observar que en que medida un individuo está dispuesto a intercambiar los bienes para obtener el mismo nivel de satisfacción. De forma que si tiene las cantidades x_0 y y_0 de un bien, la cantidad de unidades de y que intercambia para obtener una unidad de x está definida como la tasa marginal de sustitución (TMS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva U_0 en el punto (x_0,y_0), es decir,

TMS = -\frac{dy}{dx}

Calculada a partir de la función implícita U(x,y)=U_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dU = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy, entonces el diferencial de la curva de nivel U_0 será

\frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial U}{\partial y} dy = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial U}{\partial y} dy = -\frac{\partial U}{\partial x} dx

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dy}{dx} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de x y y de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = -\frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\dfrac{\partial U}{\partial x}}{\dfrac{\partial U}{\partial y}}


Curva Isocuanta y TTS

Si una empresa decide fijar su producción en una cantidad P_0, una vez que ha determinado que su función de producción está dada de la forma P(L,K), podemos representar mediante una curva de nivel todas las combinaciones posibles de trabajo y capital que mantendrán la producción fija en P_0. Esta curva de nivel será llamada Curva Isocuanta (igual cantidad) y de forma general, si la función P(L,K) es una función de Cobb-Douglas, su gráfica estará definida de la siguiente forma:

La curva isocuanta además de mostrar las combinaciones de los bienes L y K, nos permiten observar que en que medida se puede intercambiar capital por trabajo manteniendo el mismo nivel de producción. De forma que si se trabajan L_0 horas semanales y se invierten K_0 unidades de capital, la cantidad de unidades de K que se intercambian por unidades de trabajo L está definida como la tasa técnica de sustitución (TTS) y está determinada por la pendiente negativa de la curva P_0 en el punto (L_0,K_0), es decir,

TMS = -\frac{dL}{dK}

Calculada a partir de la función implícita P(L,K)=P_0.

Es posible determinar la tasa marginal de sustitución calculando derivadas parciales pues si tomamos en cuenta que el diferencial de la función de utilidad está dada por dP = \frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK, entonces el diferencial de la curva de nivel P_0 será

\frac{\partial P}{\partial L} dL + \frac{\partial P}{\partial K} dK = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{\partial P}{\partial K} dK = -\frac{\partial P}{\partial L} dL

A partir de esta igualdad, podemos obtener la derivada \frac{dK}{dL} haciendo un abuso del lenguaje para despejar los diferenciales de L y K de la siguiente forma

\frac{dK}{dL} = -\frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ -\frac{dK}{dL} = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}} \ \Longrightarrow \ TMS = \frac{\frac{\partial P}{\partial L}}{\frac{\partial P}{\partial K}}


Curvas de Nivel

Hemos visto de forma muy superficial uno de los métodos para graficar funciones en varias variables, otro de los métodos para entender el comportamiento gráfico de este tipo de funciones es conocido como las curvas de nivel y se basa en el método que usan los cartógrafos para diseñar mapas de la superficie terrestre (y de otros cuerpos celestes). Este método consiste en dibujar los contornos que unen los puntos del mapa que representan las posiciones del terreno con la misma altitud sobre el nivel del mar, por ejemplo, el contorno de todos los puntos que se encuentran a 100 metros por encima del nivel del mar. Cuando estas curvas están muy juntas, esto indica que las pendientes están muy pronunciadas.

Veamos en la siguiente imagen tomada del mapa del relieve del Monte Everest que provee Google Maps, en las regiones donde las pendientes son menos empinadas es notorio que las curvas de nivel están bastante separadas en comparación con los alrededores de la cima del Monte Everest.

Recordemos que al definir las derivadas parciales, fijamos los valores de las variables x y y para generar curvas en planos paralelos a los planos YZ y XZ respectivamente. De esta forma, podemos representar geométricamente en una función fijando valores para la variable z para generar curvas en planos paralelos al plano XY.

Formalmente, si fijamos la variable z en un valor c, entonces la curva de nivel en c estará expresada de la forma z = f(x,y) = c.

Particularmente podemos cortar la gráfica de la función f(x,y) = x^2 + y^2 con el plano generado en z = 1 e incluso podemos estudiar sus curvas de nivel en distintos valores de z, por ejemplo, los valores enteros z=2,3,4,5,6 \ldots de la siguiente forma

Notando que a medida que crece el valor fijo de z las circunferencias están mas juntas, esto indica que a medida cada vez las pendientes están más pronunciadas y ya hemos comprobado que es así al calcular las derivadas parciales de estas funciones.


Referencias

Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (1998). Matemáticas para el Análisis Económico (1st ed.; A. Otero, ed.). Prentice Hall.

Optimización con restricciones con Multiplicadores de Lagrange

En ocasiones se encontrarán restricciones sobre las variables que estamos considerando, por ejemplo, pudiéramos considerar una función de costos conjuntos de una empresa que produce dos artículos A y B pero la cantidad total de unidades producidas debe ser igual a 200, en este caso tendríamos que

x+y=200

suponiendo que x es la cantidad de unidades producidas del artículo A y y la cantidad de unidades producidas del artículo B.

Al encontrar restricciones sobre las variables, debemos ser cautelosos en el cálculo de los extremos relativos ya que debemos tomar consideraciones adicionales. Debemos entonces establecer un nuevo método que nos permita calcular estos extremos relativos. De esta forma definimos el Método de los Multiplicadores de Lagrange de la siguiente forma:

Sea f(x,y) una función en varias variables, donde g(x,y)=0 es una restricción sobre estas variables. Consideramos una variable auxiliar \lambda y definimos una función auxiliar F como sigue

F(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)

Nuestro propósito será el de calcular los puntos críticos de esta función auxiliar F, pues si (x_0,y_0,\lambda_0) es un punto crítico de F, entonces (x_0,y_0) es punto crítico de f sujeta a la restricción indicada. Para esto debemos calcular la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

Finalmente aplicamos el criterio de la segunda derivada para determinar si este punto crítico es un extremo relativo de la función f(x,y). Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de funciones con restricción sobre sus variables.

Ejemplo

Sea f(x,y) = 3x^2 + 2y^2 + 80 una función, cuyas variables están restringidas a x+y=30. Determine los extremos relativos de esta función considerando la restricción indicada.

Para empezar, debemos reescribir la restricción como una función g(x,y) de la siguiente forma g(x,y)=x+y-30=0

Obteniendo la función g(x,y), definimos nuestra función auxiliar F(x,y,\lambda) como

F(x,y,\lambda) \; = \; f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)
\; = \; 3x^2 + 2y^2 + 80-\lambda \cdot (x+y-30)

Y planteamos el sistema de ecuaciones siguiente para calcular los puntos críticos de esta función:

Sustituimos x = \dfrac{\lambda}{6} y y = \dfrac{\lambda}{4} en la última ecuación para hallar el valor de \lambda

x+y = 30

\Rightarrow \; \dfrac{\lambda}{6} + \dfrac{\lambda}{4} = 30

\Rightarrow \; \dfrac{10}{24} \lambda = 30

\Rightarrow \; \lambda = 30 \dfrac{24}{10}

\Rightarrow \; \lambda = 72

Ahora sustituimos \lambda = 72 latex en x y y

Concluimos entonces que el punto (12,18,72) es un punto crítico de la función F(x,y,\lambda) y en consecuencia, el punto (12,18) es un punto crítico de la función f(x,y). Calculamos ahora las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir D(x,y).

f_x(x,y) = 6x \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 6

f_y(x,y) = 4y \Rightarrow f_{xx}(x,y)= 4

f_{xy}(x,y) = 0

D(x,y)= f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 4 - 0 = 24

Finalmente, como D(12,18) = 24 > 0 y f_{xx}(12,18) = 6 > 0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).


Optimización (en varias variables)

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0).