Derivadas Parciales

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas pero estas funciones definen superficies en el espacio, así que en un punto de ellas existen infinitas rectas tangentes. Entonces, ¿cuál de todas las rectas tangentes será la que define la derivada?

Para hacer este estudio será necesario fijar una variable y variar la otra. Gráficamente lo que ocurre es al fijar una de las variables, estaremos cortando nuestra superficie con un plano y sobre este plano se proyectará una curva sobre la cual sí podremos hacer un estudio tal como lo hemos hecho antes.

Para entender lo que ocurre veamos un caso particular, consideremos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2. Si fijamos la variable y, digamos que y=1, entonces la función se expresará de la forma

f(x,1) = f(x) = x^2 + 1

Notando que depende de sólo una variable, esta función estará definida en un plano paralelo al plano XZ que pasa por el punto (0,1,0) y corta a la superficie como se ve a continuación:

Tomando en cuenta esto, definimos de forma general la Derivada Parcial de una función f(x,y) respecto a la variable x como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable y y la denotamos con

De igual forma, definimos de forma general la derivada parcial de una función f(x,y) respecto a la variable y como la derivada de la función f(x,y) una vez que se ha fijado la variable x y la denotamos con

Definiendo las derivadas parciales de esta forma, podemos usar todas las reglas de derivación que se han establecido para el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=x^2+y^2 una función definida en varias variables, calcule la derivada parcial respecto la variable x, es decir, \frac{\partial f}{\partial x}.

Primero debemos tomar en cuenta que si estamos derivando respecto a x, entonces estamos fijando la variable y, por lo tanto esta se comportará como una constante. Así,

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x}
= \; 2x + 0
= \; 2x

Si queremos calcular la derivada parcial respecto la variable y, es decir, \frac{\partial f}{\partial y}. Debemos notar que en este caso es la variable x la que estamos fijando y en consecuencia será ésta la que se comporte como una constante.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (x^2)}{\partial y} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y}
= \; 0 + 2y
= \; 2y

Ejemplo 2

Sea f(x,y)= 5x^8-2y^4 + 6xy. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial x} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial x} + \frac{\partial (6xy)}{\partial x}
= \; 40x^7 - 0 + 6y
= \; 40x^7 + 6y

Recordemos que la derivada de c\cdot x es igual a c, donde c es una constante. De esta forma, al comportarse y como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6y.

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial y} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial y} + \frac{\partial (6xy)}{\partial y}
= \; 0 - 8y^3 + 6x
= \; - 8y^3 + 6x

En este caso x se comporta como una constante, entonces la derivada del producto 6xy será 6x.

Ejemplo 3

Sea f(x,y)= \ln(5x+7y) + 10x^3y^5. Calcule \frac{\partial f}{\partial x} y \frac{\partial f}{\partial y}.

\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial x} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial x}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 5 + 30x^2y^5
= \; \frac{5}{5x+7y} + 30x^2y^5

Por otra parte,

\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial y} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial y}
= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 7 + 50x^3y^4
= \; \frac{7}{5x+7y} + 50x^3y^4


Funciones en Varias Variables | totumat.com

Funciones en Varias Variables

Hemos estudiado funciones que de forma explícita, dependen de sólo una variable y aunque también hemos estudiado funciones que definidas de forma implícita relacionan dos variables, no hemos estudiado formalmente funciones que dependan de dos o más variables.

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Para ir más allá, recurrimos a una nueva variable z que dependerá enteramente de las variables x y y. Notando que al definir una tercera variable, podemos hacer la representación gráfica de este tipo de funciones tomando en cuenta que hasta ahora hemos construido nuestros espacios intersectando ejes coordenados de forma perpendicular.

Esta vez no será diferente, así que considerando el plano cartesiano, intersectaremos a este en el origen con un eje perpendicular a los Ejes Y y X generando así el espacio cartesiano que consta de tres ejes coordenados X, Y y Z:

En este espacio podemos identificar tres planos principales, que se definen de la siguiente manera: El plano XY que contiene todos los puntos de la forma (x,y,0), el plano XZ que contiene todos los puntos de la forma (x,0,z) y el plano YZ que contiene todos los puntos de la forma (0,y,z).

De esta forma, podemos generalizar la definición de función que hasta ahora conocemos. Formalmente, si R una región en el plano XY, entonces definimos una función f : R \to \mathbb{R} como una regla de correspondencia que corresponde a cada par ordenado de la región R con un único número real z = f(x,y).

A este tipo de funciones las llamaremos funciones de dos variables. Evaluamos este tipo de funciones sustituyendo los valores de x y y por sus valores correspondientes, y así, calculamos sus imágenes. Veamos algunos ejemplos para entender como calcular imágenes.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Evalúe la función f(x,y) = x^2 + y^2 en el punto (3,-1). Entonces sustituimos x por 3 y y por -1 de la siguiente forma:

f(3,-1) = (3)^2 + (-1)^2= 9 + 1= 10

Ejemplo 2

Evalúe la función f(x,y) = \sqrt{x+20} + \textit{\Large e}^{2x-8} + 20 en el punto (-13,4). Entonces sustituimos x por -13 y y por 4 de la siguiente forma:

f(-13,4) = \sqrt{-13+20} + \textit{\Large e}^{2(4)-8} + 20 = \sqrt{9} + \textit{\Large e}^{0} + 20 = 3 + 1 + 20 = 24

Ejemplo 3

Evalúe la función f(x,y) = \frac{7}{x+y} en el punto (18,10). Entonces sustituimos x por 18 y y por 10 de la siguiente forma:

f(18,10) = \frac{7}{18+10} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}


Existen diversas técnicas para graficar este tipo de funciones definidas en varias variables, una de ellas es proyectar la superficie que esta define en cada plano.

Por ejemplo, si consideramos nuevamente la función f(x,y)=x^2+y^2, podemos ver su proyección en el plano XZ tomando y=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(x,0)=x^2+0^2 \Rightarrow z=x^2; también podemos ver su proyección en el plano YZ tomando x=0 y de esta forma la función se convierte en Z=f(0,y)=0^2+y^2 \Rightarrow z=y^2. Sus gráficas respectivas serán

Finalmente, se completa la superficie uniendo las curvas trazadas