Derivadas Parciales

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas pero estas funciones definen superficies en el espacio, así que en un punto de ellas existen infinitas rectas tangentes. Entonces, ¿cuál de todas las rectas tangentes será la que define la derivada?

Para hacer este estudio será necesario fijar una variable y variar la otra. Gráficamente lo que ocurre es al fijar una de las variables, estaremos cortando nuestra superficie con un plano y sobre este plano se proyectará una curva sobre la cual sí podremos hacer un estudio tal como lo hemos hecho antes.

Para entender lo que ocurre veamos un caso particular, consideremos nuevamente la función $f(x,y)=x^2+y^2$ . Si fijamos la variable $y$ , digamos que $y=1$ , entonces la función se expresará de la forma

$f(x,1) = f(x) = x^2 + 1$

Notando que depende de sólo una variable, esta función estará definida en un plano paralelo al plano $XZ$ que pasa por el punto $(0,1,0)$ y corta a la superficie como se ve a continuación:

Tomando en cuenta esto, definimos de forma general la Derivada Parcial de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $x$ como la derivada de la función $f(x,y)$ una vez que se ha fijado la variable $y$ y la denotamos con

De igual forma, definimos de forma general la derivada parcial de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $y$ como la derivada de la función $f(x,y)$ una vez que se ha fijado la variable $x$ y la denotamos con

Definiendo las derivadas parciales de esta forma, podemos usar todas las reglas de derivación que se han establecido para el cálculo de derivadas de funciones de una variable. Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea $f(x,y)=x^2+y^2$ una función definida en varias variables, calcule la derivada parcial respecto la variable $x$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Primero debemos tomar en cuenta que si estamos derivando respecto a $x$ , entonces estamos fijando la variable $y$ , por lo tanto esta se comportará como una constante. Así,

$\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x}$
$= \; \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x}$
$= \; 2x + 0$
$= \; 2x$

Si queremos calcular la derivada parcial respecto la variable $y$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial y}$ . Debemos notar que en este caso es la variable $x$ la que estamos fijando y en consecuencia será ésta la que se comporte como una constante.

$\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (x^2)}{\partial y} + \frac{\partial (y^2)}{\partial y}$
$= \; 0 + 2y$
$= \; 2y$

Ejemplo 2

Sea $f(x,y)= 5x^8-2y^4 + 6xy$ . Calcule $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial x}$
$= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial x} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial x} + \frac{\partial (6xy)}{\partial x}$
$= \; 40x^7 - 0 + 6y$
$= \; 40x^7 + 6y$

Recordemos que la derivada de $c\cdot x$ es igual a $c$ , donde $c$ es una constante. De esta forma, al comportarse $y$ como una constante, entonces la derivada del producto $6xy$ será $6y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (5x^8-2y^4 + 6xy)}{\partial y}$
$= \; \frac{\partial (5x^8)}{\partial y} - \frac{\partial (2y^4)}{\partial y} + \frac{\partial (6xy)}{\partial y}$
$= \; 0 - 8y^3 + 6x$
$= \; - 8y^3 + 6x$

En este caso $x$ se comporta como una constante, entonces la derivada del producto $6xy$ será $6x$ .

Ejemplo 3

Sea $f(x,y)= \ln(5x+7y) + 10x^3y^5$ . Calcule $\frac{\partial f}{\partial x}$ y $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial x}$
$= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial x} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial x}$
$= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 5 + 30x^2y^5$
$= \; \frac{5}{5x+7y} + 30x^2y^5$

Por otra parte,

$\frac{\partial f}{\partial y} \; = \; \frac{\partial (\ln(5x+7y) + 10x^3y^5)}{\partial y}$
$= \; \frac{\partial (\ln(5x+7y))}{\partial y} + \frac{\partial (10x^3y^5)}{\partial y}$
$= \; \frac{1}{5x+7y} \cdot 7 + 50x^3y^4$
$= \; \frac{7}{5x+7y} + 50x^3y^4$