Derivadas Parciales Implícitas

No todas las funciones se expresan de forma explícita, esto es, como una variable que depende enteramente de otras. Al considerar más de dos variables, encontramos nuevamente funciones expresadas forma implícita, es decir, como una relación entre tres o más variables que depende una de la otra a través de una igualdad. Por ejemplo, si consideramos la ecuación

$x^2+y^2+z^2=1$

esta es la función implícita que define una esfera en el espacio centrada en el origen y de radio igual a 1.

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas parciales, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo, será necesario estudiar las variables una a una como si éstas fueran variables dependientes, de forma que calculamos la derivada de una variable derivada respecto a otra variable, esto implica que se deben fijar las variables no involucradas. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de la variable $z$ respecto a la variable $x$ , debemos fijar la variable $y$ . Veamos con algunos ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea $x^2+y^2+z^2=1$ una función implícita. Calcule la derivada de la variable $y$ respecto a la variable $x$ , es decir, calcule $\frac{\partial y}{\partial x}$ .

De la misma forma que con la derivación implícita, derivamos a ambos lados de la ecuación, en este caso derivamos respecto a la variable $x$ :

$\dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}$

Posteriormente, al derivar una suma podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

$\dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}$

Derivamos la función $x^2$ respecto a $x$ usando la propiedad del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar $y^2$ debemos tomar en cuenta que la variable $y$ se está comportando como una variable dependiente De esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, $z$ se comporta como una constante así que la derivada de $z^2$ y de $1$ es igual a $0$ .

$2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + 0 = 0$

Finalmente, despejamos $\frac{\partial y}{\partial x}$ para expresar esta derivada de forma explícita.

$\Rightarrow \; 2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = 0$

$\Rightarrow \; 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = -2x$

$\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{-2x}{2y}$

$\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = -\dfrac{x}{y}$

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma $f^n$ , entonces la derivada de esta viene dada por $n \cdot f^{n-1} \cdot f'$ .

Supongamos ahora que queremos calcular la derivada de la variable $z$ respecto a la variable $y$ , es decir, calcule $\frac{\partial z}{\partial y}$ .

$x^2+y^2+z^2=1$

$\; \Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}$

$\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}$

$\Rightarrow \; 0 + 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

$\Rightarrow \; 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

$\Rightarrow \; 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -2y$

$\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-2y}{2z}$

$\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}$

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación que planteamos para derivadas parciales usando un subíndice sobre la variable dependiente para indicar cuales la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables.

Ejemplo 2

Sea $7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz$ una función implícita. Calcule la derivada de la variable $x$ respecto a la variable $z$ , es decir, calcule $\frac{\partial x}{\partial z} = x_z$ .

$7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz$

$\Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8 \right) }{\partial z} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial z}$

$\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( 7\sqrt[3]{y^2} ) }{\partial z} - \dfrac{\partial ( 5xy^5 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( 4xz^8 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial y}$

$\Rightarrow \; 0 - 5 x_z y^5 + 4 x_z (8z^8) = 8y$

$\Rightarrow \; - 5 y^5 \cdot x_z + 32 z^8 \cdot x_z = 8y$

$\Rightarrow \; x_z(- 5 y^5 + 32 z^8) = 8y$

$\Rightarrow \; x_z = \dfrac{8y}{(- 5 y^5 + 32 z^8) }$

Ejemplo 3

Sea $\ln(-9xz + 4x^2yz) = 2x^7y^4$ una función implícita. Para facilitar la escritura de las derivadas de esta función, podemos identificar el argumento del logaritmo con una variable auxiliar, digamos $a$, para obtener $\ln(a) = 2x^7y^4$ .

Calcule $y_z$ .

$\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} )$

$= 2y^4x^7 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9x + 4x^2(y_z \cdot z + y) \big) = 2x^7(4y^3 \cdot y_z)$

$\Rightarrow \; -9x + 4x^2(z \cdot y_z + y) = 8x^7y^3 \cdot y_z \cdot a$

$\Rightarrow \; -9x + 4x^2 z \cdot y_z + 4x^2y = 8x^7y^3 a \cdot y_z$

$\Rightarrow \; 4x^2 z \cdot y_z - 8x^7y^3 a \cdot y_z = 9x - 4x^2y$

$\Rightarrow \; (4x^2 z - 8x^7y^3 a ) \cdot y_z = 9x - 4x^2y$

$\Rightarrow \; y_z = \dfrac{9x - 4x^2y}{4x^2 z - 8x^7y^3 a }$

Calcule $z_x$

$\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} )$

$= 2x^7y^4 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9(z + x \cdot z_x) + 4y(2xz + x^2 \cdot z_x) \big) = 14x^6y^4$

$\Rightarrow \; -9z -9 x \cdot z_x + 8xyz + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a$

$\Rightarrow \; -9 x \cdot z_x + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz$

$\Rightarrow \; (-9 x + 4x^2y) \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz$

$\Rightarrow \; z_x = \dfrac{14x^6y^4 a + 9z - 8xyz}{(-9 x + 4x^2y)}$

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Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas de funciones en varias variables tendremos una variable dependiente, una independiente y las demás se fijan. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

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