Función de Costos Conjuntos

Suponga que un fabricante produce x unidades de un artículo X y y unidades de un artículo Y, entonces el costo total de producir esas unidades se puede expresar como una función c que depende de las variables x y y, que llamaremos Función de Costos Conjuntos y la denotaremos de la siguiente forma

c(x,y)

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Una vez que fijamos la producción del producto Y, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto X calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a x, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable x

\dfrac{\partial c}{\partial x}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial x} = 1500, entonces el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.


Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.


En cambio, si fijamos la producción del producto X, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto Y calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a y, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable y

\dfrac{\partial c}{\partial y}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial y} = 2000, entonces el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Aunque durante este clase nos limitaremos a dos variables, pero de forma general si un fabricante produce n artículos entonces la función de costos conjuntos constará de n variables y habrá n funciones de costo marginal.

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Ejemplo

Una empresa produce Plátano Chips de dos sabores: salado y natural. Suponga que la función de costos conjuntos de producir x empaques de plátano chips salados y y empaques de plátano chips naturales es:

c(x,y)=0.07x^2 +75x+85y+600

Donde c se expresa en perolitos.

Determine los costos marginales de c respecto a x y y cuando x=100 y y=50, finalmente interprete los resultados.

Para esto, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a x.

\dfrac{\partial c}{\partial x} = 0.14x+75

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial x} \right|_{(100,50)} = 0.14(100)+75 = 89

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips saladas de 100 a 101 mientras se mantiene fija la producción de chips naturales en 50, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 89 Ps.

Por otra parte, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a y.

\dfrac{\partial c}{\partial y} = 85

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial y} \right|_{(100,50)} = 85

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips naturales de 50 a 51 mientras se mantiene fija la producción de chips saladas en 100, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 85 Ps.


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