Productos Complementarios y Suplementarios

En ocasiones, dos productos pudieran estar relacionados de modo que los cambios en el precio de uno afecten la demanda del otro, el uso de derivas parciales permite determinar qué tipo de cambios se generan. Para ser más precisos, veamos algunos ejemplos:

Si consideramos la Cocacola y la Pepsi, al ser estos dos productos muy similares, es natural que al no poder adquirir uno, los consumidores opten por adquirir el otro. De forma particular, si sube el precio de uno, los consumidores se verán mas dispuestos a adquirir el otro. A este tipo de productos los llamamos Productos Suplementarios, Competitivos o Sustitutivos.

Por otra parte, si consideramos la cebolla y el tomate, usualmente estos dos productos son usados como ingredientes se encuentran combinados en una gran cantidad de platos de la cocina venezolana, por lo tanto si una persona no se encuentra en disposición de adquirir uno de ellos, no estará tentada a adquirir el otro. De forma particular, si aumenta el precio de uno los consumidores se verán menos dispuestos a comprar el otro. A este tipo de productos los llamaremos Productos Complementarios.

Conociendo las ecuaciones de demanda de dos productos es posible determinar si estos son suplementarios y complementarios haciendo un análisis marginal. Para ser más precisos si q_A(P_A,P_B) y q_B(P_A,P_B) son las ecuaciones de demanda de dos productos A y B, entonces

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0

Diremos que estos A y B son Productos Suplementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

\text{Si } \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0

Diremos que estos A y B son Productos Complementarios, pues cuando aumenta el precio de uno, disminuye la demanda del otro.

En otro caso, concluiremos que no son ni complementarios ni suplementarios.

Ejemplo

Supongamos que las funciones de demanda para los plátano chips y papa chips vienen dadas por

q_A(P_A,P_B) = \dfrac{50 \cdot \sqrt[3]{P_B}}{\sqrt{P_A}} y q_B(P_A,P_B) = \dfrac{75 \cdot P_A}{\sqrt[3]{P_B^2}}

respectivamente.

Para esto, determinaremos si estos productos son complementarios o suplementarios calculando las funciones marginales de la demanda de uno respecto al precio del otro.

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} = \dfrac{50}{\sqrt{P_A}} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot P_B^{-2/3} > 0

\dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} = \dfrac{75}{\sqrt[3]{P_B^2}} > 0

Estas expresiones son positivas, ya que al representar precios, P_A y P_B son valores positivos. Por lo tanto concluimos que estos dos productos son suplementarios ya que cuando aumenta el precio de uno, aumenta la demanda del otro.

Derivadas Parciales Implícitas

No todas las funciones se expresan de forma explícita, esto es, como una variable que depende enteramente de otras. Al considerar más de dos variables, encontramos nuevamente funciones expresadas forma implícita, es decir, como una relación entre tres o más variables que depende una de la otra a través de una igualdad. Por ejemplo, si consideramos la ecuación

x^2+y^2+z^2=1

esta es la función implícita que define una esfera en el espacio centrada en el origen y de radio igual a 1.

Es posible hacer un análisis marginal de este tipo de funciones usando derivadas parciales, sin embargo, al no poder estudiar la función como un todo será necesario estudiar las variables una a una como si éstas fueran variables dependientes y calcular su derivada respecto a una sola variable, esto implica que se debe fijar el resto de las variables. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable x, debemos fijar la variable y. Veamos con algunas ejemplos como calcular este tipo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea x^2+y^2+z^2=1 una función implícita. Calcule la derivada de la variable y respecto a la variable x, es decir, calcule \frac{\partial y}{\partial x}.

De la misma forma que con la derivación implícita, derivamos a ambos lados de la ecuación, en este caso derivamos respecto a la variable x:

\dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Posteriormente, al derivar una suma podemos separar cada uno de los sumandos para calcular la deriva de cada uno

\dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial x} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial x} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial x}

Derivamos la función x^2 respecto a x usando la propiedad del exponente tal como la hemos aprendido, sin embargo, al derivar y^2 debemos tomar en cuenta que la variable y se está comportando como una variable dependiente De esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, z se comporta como una constante así que la derivada de z^2 y de 1 es igual a 0.

2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + 0 = 0

Finalmente, despejamos \frac{\partial y}{\partial x} para expresar esta derivada de forma explícita.

\Rightarrow \; 2x + 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = 0

\Rightarrow \; 2y \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = -2x

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{-2x}{2y}

\Rightarrow \; \frac{\partial y}{\partial x} = -\dfrac{x}{y}

Nota: La regla de la cadena indica que si tenemos una función compuesta de la forma f^n, entonces la derivada de esta viene dada por n \cdot f^{n-1} \cdot f'.

Supongamos ahora que queremos calcular la derivada de la variable z respecto a la variable y, es decir, calcule \frac{\partial z}{\partial y}.

x^2+y^2+z^2=1 \; \Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( x^2+y^2+z^2 \right) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( x^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( y^2 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( z^2 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 1 ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 + 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2y + 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0

\Rightarrow \; 2z \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -2y

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{-2y}{2z}

\Rightarrow \; \frac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{y}{z}

Para simplificar la escritura de este tipo de ejercicios, podemos usar la notación que planteamos para derivadas parciales usando un subíndice sobre la variable dependiente para indicar cuales la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma se pueden ilustrar este tipo de ejercicios con mayor claridad, siempre que se tenga claro el papel que juega cada una de las variables.

Ejemplo 2

Sea 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz una función implícita. Calcule la derivada de la variable x respecto a la variable z, es decir, calcule \frac{\partial x}{\partial z} = x_z.

7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8=8yz

\Rightarrow \; \dfrac{\partial \left( 7\sqrt[3]{y^2}-5xy^5+4xz^8 \right) }{\partial z} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial z}

\Rightarrow \; \dfrac{\partial ( 7\sqrt[3]{y^2} ) }{\partial z} - \dfrac{\partial ( 5xy^5 ) }{\partial y} + \dfrac{\partial ( 4xz^8 ) }{\partial y} = \dfrac{\partial ( 8yz ) }{\partial y}

\Rightarrow \; 0 - 5 x_z y^5 + 4 x_z (8z^8) = 8y

\Rightarrow \; - 5 y^5 \cdot x_z + 32 z^8 \cdot x_z = 8y

\Rightarrow \; x_z(- 5 y^5 + 32 z^8) = 8y

\Rightarrow \; x_z = \dfrac{8y}{(- 5 y^5 + 32 z^8) }

Ejemplo 3

Sea \ln(-9xz + 4x^2yz) = 2x^7y^4 una función implícita. Para facilitar la escritura de las derivadas de esta función, podemos identificar el argumento del logaritmo con una variable auxiliar, digamos $a$, para obtener \ln(a) = 2x^7y^4.

Calcule y_z.

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} ) = 2y^4x^7 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9x + 4x^2(y_z \cdot z + y) \big) = 2x^7(4y^3 \cdot y_z)

\Rightarrow \; -9x + 4x^2(z \cdot y_z + y) = 8x^7y^3 \cdot y_z \cdot a

\Rightarrow \; -9x + 4x^2 z \cdot y_z + 4x^2y = 8x^7y^3 a \cdot y_z

\Rightarrow \; 4x^2 z \cdot y_z - 8x^7y^3 a \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; (4x^2 z - 8x^7y^3 a ) \cdot y_z = 9x - 4x^2y

\Rightarrow \; y_z = \dfrac{9x - 4x^2y}{4x^2 z - 8x^7y^3 a }

Calcule z_x

\ln( \underbrace{-9xz + 4x^2yz}_\text{a} ) = 2x^7y^4 \; \Rightarrow \; \frac{1}{a} \cdot \big(-9(z + x \cdot z_x) + 4y(2xz + x^2 \cdot z_x) \big) = 14x^6y^4

\Rightarrow \; -9z -9 x \cdot z_x + 8xyz + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a

\Rightarrow \; -9 x \cdot z_x + 4x^2y \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; (-9 x + 4x^2y) \cdot z_x = 14x^6y^4 a + 9z - 8xyz

\Rightarrow \; z_x = \dfrac{14x^6y^4 a + 9z - 8xyz}{(-9 x + 4x^2y)}


Finalmente, siempre recordemos que al calcular derivadas de funciones en varias variables tendremos una variable dependiente, una independiente y las demás se fijan. La nota siguiente nos ayudará a recordar:

Note que en el numerador siempre tendremos la variable dependiente y en el denominador la variable independiente.

Optimización (en varias variables)

Al estudiar funciones de una sola variable pudimos determinar los puntos en los cuales estas alcanzaban sus extremos locales, podremos encontrar extremos locales para funciones de varias variables generalizando el método que usamos para una variable tomando en cuenta que ya no trabajaremos con intervalos si no con regiones muy particulares en el plano XY.

Diremos que una función alcanza un máximo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \leq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por debajo de la imagen de (x_0,y_0).

Diremos que una función alcanza un mínimo local en un punto (x_0,y_0, si f(x,y) \geq f(x_0,y_0) para todos los puntos (x,y) cercanos a (x_0,y_0). Gráficamente, las imágenes de todos los puntos cercanos a (x_0,y_0) están por encima de la imagen de (x_0,y_0).

Los máximos y mínimos de una función, serán llamados extremos locales, y estarán íntimamente relacionados con la primera derivada parcial de la función. En estos puntos, las rectas tangentes a la curvas que se definen al fijar las variables son horizontales, es decir, su pendiente es igual a cero. Así, definimos un Punto Crítico de una función, como un punto en el que las derivadas parciales se anulan al mismo tiempo (o donde no existe su derivada). Formalmente, decimos que (x_0,y_0) es un punto crítico de f(x,y) si

La importancia de los puntos críticos radica en que, debido a su naturaleza, son los perfectos candidatos para ser extremos locales de una función. Debemos tomar en cuenta que son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa.

Para determinar si un punto crítico (x_0,y_0) es un máximo o mínimo relativo debemos calcular las derivadas de orden superior de la función f(x,y) para definir una función auxiliar D(x,y) de la siguiente forma

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2

en todos los puntos cercanos al punto (x_0,y_0) y posteriormente considerar los siguientes criterios:

  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}<0, entonces f alcanza un máximo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)>0 y f_{xx}>0, entonces f alcanza un mínimo relativo en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)<0, entonces f alcanza un punto de silla en el punto (x_0,y_0).
  • Si D(x_0,y_0)=0, no hay información suficiente para concluir el comportamiento de f en el punto (x_0,y_0).

A este criterio lo llamamos Criterio de la Segunda Derivada para funciones de dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular los extremos relativos de una función en varias variables.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea f(x,y)=3x^2+5y^2-12x-30y+200, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (2,3). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=6, \, f_{yy}(x,y)=10, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = 6 \cdot 10 - 0 = 60

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) = 60

Finalmente, como D(2,3)>0 y f_{xx}(2,3)>0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un mínimo relativo en el punto (2,3).

Ejemplo 2

Sea f(x,y)=y^2-x^2, determine los extremos relativos de esta función.

Para empezar calculamos las derivadas parciales de primer orden y planteamos un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

Así el punto crítico de esta función es (0,0). Para verificar si este punto crítico es un extremo relativo, debemos calcular las derivadas de orden superior:

f_{xx}(x,y)=-2, \, f_{yy}(x,y)=2, \, f_{xy}(x,y)=0

Una vez calculadas las derivadas de orden superior, recurrimos a la función auxiliar D(x,y) que estará definida como

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - \big( f_{xy}(x,y) \big)^2 = -2 \cdot 2 - 0 = -4

Evaluamos esta función en el punto crítico (2,3) para obtener

D(2,3) =-4

Finalmente, como D(2,3)<0 entonces por el criterio de la segunda derivada concluimos que la función f alcanza un punto de silla en el punto (0,0). Para entender exactamente por qué se llama punto de silla, observemos el gráfico de esta función y veamos su comportamiento en los puntos cercanos a (0,0).


Función de Producción

La cantidad de unidades fabricadas de un producto depende de muchos factores de producción. Entre estos se encuentran la mano de obra, el capital, el terreno, la maquinaria, etcétera. Por simplicidad, se supondrá que la producción sólo depende del trabajo y del capital. Si la función P(L,K) proporciona la producción P cuando el productor emplea L unidades de trabajo (que usualmente la expresaremos como horas de trabajo semanal) y K unidades de capital, entonces esta función se llama Función de Producción.

Una vez fijadas las unidades de capital K invertidas, podemos calcular la variación de la producción respecto a la cantidad horas de trabajo, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable L

\dfrac{\partial P}{\partial L}

Por ejemplo, si \frac{\partial P}{\partial L} = 10, entonces al aumentar en una hora la cantidad de horas de trabajo L cuando se fija el capital invertido en K, la producción aumentará en 10 unidades.

Por otra parte, una vez fijada la cantidad de horas a trabajar en una semana, podemos calcular la variación de la producción respecto al capital, es decir, la función de producción marginal respecto a la variable K

\dfrac{\partial P}{\partial K}

Por ejemplo, si \frac{\partial P}{\partial K} = 50, entonces al aumentar en una unidad el capital K cuando se fija la cantidad de horas trabajadas en L, la producción aumentará en 50 unidades.

Ejemplo

Considerando una fábrica de plátano chips, ésta ha determinado que la función de producción es P(L,K)=\sqrt{L \cdot K}, donde L es el número de horas de trabajo por semana y K es el capital (expresado en miles de perolitos por semana) requerido para la producción semanal de P gruesas de plátano chips (Una gruesa es una cantidad de artículos equivalente a doce docenas, es decir, 144 artículos). Determine las funciones de producción marginal respecto a L y respecto a K; evalúelas en (400,16) e interprete los resultados.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Para esto, debemos notar que P(L,K)=\sqrt{L\cdot K} = (L \cdot K)^{1/2}, por lo tanto

\dfrac{\partial P}{\partial L} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot K = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot K = \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}}

Luego,

\left. \dfrac{\partial P}{\partial L} \right|_{(400,16)} = \dfrac{16}{12\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{1}{10}

Así, si mantenemos el capital en 16 mil bolívares y aumentamos la cantidad de horas de trabajo de 400 a 401 horas semanales, la producción aumentará en \dfrac{1}{10} gruesas, es decir, en 14,4 empaques de plátano chips.

Por otra parte,

\dfrac{\partial P}{\partial K} = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{1/2-1} \cdot L = \dfrac{1}{2}\cdot (L \cdot K)^{-1/2} \cdot L = \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}

Luego,

\left. \dfrac{\partial P}{\partial K} \right|_{(400,16)} = \dfrac{400}{2\sqrt{(400)\cdot(16)}} = \dfrac{5}{2}

Así, si fijamos la cantidad de horas de trabajo semanales en 400 y aumentamos el capital de 16 mil a 17 mil bolívares, la producción aumentará en \dfrac{5}{2} gruesas, es decir, en 360 empaques de plátano chips.


Un grupo importante de funciones de producción, son las Funciones de Producción Cobb-Douglas que se expresan como

P(L,K) = A \cdot L^{\alpha} \cdot K^{\beta}

La suma (\alpha + \beta) da información sobre los rendimientos a escala, es decir, la respuesta de la producción a un cambio proporcional en los insumos.

  • Si esta suma es 1, existen rendimientos constantes a escala, es decir, la duplicación de los insumos duplica la producción, la triplicación de los insumos la triplica, y así sucesivamente.
  • Si la suma es menor que 1, existen rendimientos decrecientes a escala: al duplicar los insumos, la producción crece en menos del doble.
  • Si la suma es mayor que 1, hay rendimientos crecientes a escala; la duplicación de los insumos aumenta la producción en más del doble.

Particularmente nos interesará el caso \alpha + \beta = 1. La importancia de este radica en que la función se expresar en función sus incrementos de la siguiente forma:

P(L,K) = L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}

Si consideramos la función de producción de nuestro ejemplo, tendremos que sus derivadas parciales son \frac{\partial P}{\partial L} = \frac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} y \frac{\partial P}{\partial K} = \frac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}, por lo tanto

L \cdot \dfrac{\partial P}{\partial L} + K \cdot \dfrac{\partial P}{\partial K}

\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L\cdot K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L\cdot K}}

\; = \; L \dfrac{K}{2\sqrt{L} \sqrt{K}} + K \dfrac{L}{2\sqrt{L} \sqrt{K}}

\; = \; \dfrac{1}{2} \dfrac{L}{\sqrt{L}} \dfrac{K}{\sqrt{K}} + \dfrac{1}{2} \dfrac{K}{\sqrt{K}} \dfrac{L}{\sqrt{L}}

\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{K}\sqrt{L}

\; = \; \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K} + \dfrac{1}{2} \sqrt{L}\sqrt{K}

\; = \; \sqrt{L}\sqrt{K}

\; = \; \sqrt{LK}

Notamos que esta última expresión es precisamente nuestra función de producción.

Función de Costos Conjuntos

Suponga que un fabricante produce x unidades de un artículo X y y unidades de un artículo Y, entonces el costo total de producir esas unidades se puede expresar como una función c que depende de las variables x y y, que llamaremos Función de Costos Conjuntos y la denotaremos de la siguiente forma

c(x,y)

Una vez que fijamos la producción del producto Y, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto X calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a x, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable x

\dfrac{\partial c}{\partial x}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial x} = 1500, entonces el costo de producir una unidad adicional de X cuando el nivel de producción de Y es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

En cambio, si fijamos la producción del producto X, podemos calcular la razón de cambio de los costos conjuntos respecto al producto Y calculando la derivada parcial de la función c(x,y) respecto a y, es decir, la función de costo marginal respecto a la variable y

\dfrac{\partial c}{\partial y}

Por ejemplo, si c se expresa en perolitos y \frac{\partial c}{\partial y} = 2000, entonces el costo de producir una unidad adicional de Y cuando el nivel de producción de X es fijo, es aproximadamente de 1500 perolitos.

Aunque durante este clase nos limitaremos a dos variables, pero de forma general si un fabricante produce n artículos entonces la función de costos conjuntos constará de n variables y habrá n funciones de costo marginal.

Ejemplo

Una empresa produce Plátano Chips de dos sabores: salado y natural. Suponga que la función de costos conjuntos de producir x empaques de plátano chips salados y y empaques de plátano chips naturales es:

c(x,y)=0.07x^2 +75x+85y+600

Donde c se expresa en perolitos.

Determine los costos marginales de c respecto a x y y cuando x=100 y y=50, finalmente interprete los resultados.

Para esto, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a x.

\dfrac{\partial c}{\partial x} = 0.14x+75

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial x} \right|_{(100,50)} = 0.14(100)+75 = 89

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips saladas de 100 a 101 mientras se mantiene fija la producción de chips naturales en 50, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 89 Ps.

Por otra parte, calculamos la derivada parcial de la función c respecto a y.

\dfrac{\partial c}{\partial y} = 85

y evaluando esta función en el punto (100,50) obtenemos:

\left. \dfrac{\partial c}{\partial y} \right|_{(100,50)} = 85

Por lo tanto, al aumentar la producción de plátano chips naturales de 50 a 51 mientras se mantiene fija la producción de chips saladas en 100, los costos conjuntos aumentan aproximadamente en 85 Ps.