Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Optimización (en varias variables)

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Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y determine si estos representan máximos, mínimos o puntos de silla. Utilice el Criterio de la Segunda Derivada, recordando que debe usar la función auxiliar

D(x,y) = f_{xx}(x,y) \cdot f_{yy}(x,y) - [f_{xy}(x,y)]^2

  1. f(x,y) = 0.04x^2 + 63x + 73y + 950
  2. f(x,y) = 2x^2 - 15x + 10y + 4.5xy
  3. f(x,y) = 0.8x^2 + 5x - 7y + 10xy+898
  4. f(x,y) = 20x - 2y^2 + 30y - 32xy-575

  1. f(x,y) = 0.3x^2 + 3.5y^2 + 455
  2. f(x,y) = 1.8x^2 - 0.8y^2 + 2.34xy
  3. f(x,y) = -5x^2 + 9y^2 + 18.1xy+21
  4. f(x,y) = -2x^2 - 2.7y^2 - 3.7xy-525

  1. f(x,y) = 0.2x^2 + 22x + 35y^2 + 763
  2. f(x,y) = 16x^2 - 10x + 5y^2 + 6xy
  3. f(x,y) = 5x^2 + 9y^2 + 10y + 0.11xy+724
  4. f(x,y) = 2x^2 + 20x + 30y^2 - 3.22xy-815

  1. f(x,y) = 0.1x^2 + 5x + 0.2y^2 + 3y + 57
  2. f(x,y) = -0.5x^2 + 22x + 0.65y^2 + 30y + 6.1xy
  3. f(x,y) = x^2 + 10x - 1.5y^2 + 12y + 7xy+619
  4. f(x,y) = -x^2 + 5x - 5y^2 + 2.5y - 0.97xy-313
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Solución

Ejercicio 8

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Productos Complementarios y Suplementarios

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Para cada una de las siguientes funciones de demanda para los productos A y B. Calcule \dfrac{\partial q_A}{\partial p_A}, \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B}, \dfrac{\partial q_B}{\partial p_B} y \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A}; Determine si estas ecuaciones son de demanda y en caso de serlo, determine si los productos A y B son complementarios, suplementarios o ninguna de las dos. Recordando que

Dos productos A y B son Suplementarios si

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0

Dos productos A y B son Complementarios si

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0

  1. q_A = 200 - 30p_A + 5p_B
    q_B = 320 + 12p_A - 60 p_B
  2. q_A = 1000 - 68p_A + 15p_B
    q_B = 250 + 9p_A - 50 p_B
  3. q_A = 5 - 20p_A + 30p_B
    q_B = 10 + 31p_A - 31 p_B
  4. q_A = 10 - 0.2p_A + 0.3p_B
    q_B = 12 + 0.4p_A - 0.95p_B

  1. q_A = 3.5 - 5p_A - 6p_B
    q_B = 4.2 - 7p_A - 7 p_B
  2. q_A = 4.2 - 7.8p_A - 9p_B
    q_B = 13 - 3.7p_A - 2.6 p_B
  3. q_A = 7 - 5.4p_A - 9.6p_B
    q_B = 10 - 2.3 p_A - 4 p_B
  4. q_A = 1.9 - 8.1p_A - 4p_B
    q_B = 2.8 - 5.3p_A - 5.5 p_B

  1. q_A = 10\sqrt[3]{p_B} \cdot \sqrt[3]{p_A^2}
    q_B = 9.2\sqrt[3]{p_A} \cdot \sqrt[3]{p_B^2}
  2. q_A = 7\sqrt[4]{p_B} \cdot \sqrt[5]{p_A^4}
    q_B = 8\sqrt{p_A^3} \cdot \sqrt[4]{p_B^3}
  3. q_A = 5.5\sqrt{p_B^5} \cdot \sqrt[5]{p_A^3}
    q_B = 6.8\sqrt[7]{p_A^8} \cdot \sqrt[9]{p_B^7}
  4. q_A = 4\sqrt[3]{p_B^6} \cdot \sqrt[10]{p_A^2}
    q_B = 7.3\sqrt[5]{p_A^2} \cdot \sqrt[4]{p_B^6}
  1. q_A = 10\frac{\sqrt[3]{p_A} }{ \sqrt[3]{p_B^2}}
    q_B = 9.2\frac{\sqrt[3]{p_A} }{ \sqrt[3]{p_B^2}}
  2. q_A = 7\frac{\sqrt[4]{p_A} }{ \sqrt[5]{p_B^4}}
    q_B = 8\frac{\sqrt{p_B^3} }{ \sqrt[4]{p_A^3}}
  3. q_A = 5.5\frac{\sqrt{p_B^5} }{ \sqrt[5]{p_A^3}}
    q_B = 6.8\frac{\sqrt[7]{p_A^8} }{ \sqrt[9]{p_B^7}}
  4. q_A = 4\frac{\sqrt[3]{p_B^6} }{ \sqrt[10]{p_A^2}}
    q_B = 7.3\frac{\sqrt[5]{p_B^2} }{ \sqrt[4]{p_A^6}}

  1. q_A = \frac{11}{ \sqrt[3]{p_B} \cdot \sqrt[3]{p_A^2}}
    q_B = \frac{8.2}{ \sqrt[3]{p_A} \cdot \sqrt[3]{p_B^2}}
  2. q_A = \frac{8}{ \sqrt[4]{p_B} \cdot \sqrt[5]{p_A^4}}
    q_B = \frac{7}{ \sqrt{p_A^3} \cdot \sqrt[4]{p_B^3}}
  3. q_A = \frac{6.5}{ \sqrt{p_B^5} \cdot \sqrt[5]{p_A^3}}
    q_B = \frac{5.8}{ \sqrt[7]{p_A^8} \cdot \sqrt[9]{p_B^7}}
  4. q_A = \frac{5}{ \sqrt[3]{p_B^6} \cdot \sqrt[10]{p_A^2}}
    q_B = \frac{6.3}{ \sqrt[5]{p_A^2} \cdot \sqrt[4]{p_B^6}}

  1. q_A = {\rm e}^{3p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
    q_B = {\rm e}^{5p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
  2. q_A = {\rm e}^{10p_A} \cdot {\rm e}^{-7p_B}
    q_B = {\rm e}^{-5p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
  3. q_A = {\rm e}^{-4p_A} \cdot {\rm e}^{3p_B}
    q_B = {\rm e}^{9p_A} \cdot {\rm e}^{-6p_B}
  4. q_A = {\rm e}^{-7p_A} \cdot {\rm e}^{-8p_B}
    q_B = {\rm e}^{-12p_A} \cdot {\rm e}^{-p_B}

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Solución

Ejercicio 20

Ejercicio 23

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Tasa Técnica de Sustitución y Tasa Marginal de Sustitución

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Tasa Técnica de Sustitución (TTS)

1.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

2.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

3.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

4.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

5.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{119}{22} \cdot \sqrt[ 44 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{39} }-\sqrt[ 44 ]{ l^{49} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{83} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

6.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{315}{59} \cdot \sqrt[ 77 ]{ l^{52} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{25} }-\sqrt[ 77 ]{ l^{129} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{102} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

7.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{219}{33} \cdot \sqrt[ 15 ]{ l } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{14} }-\sqrt[ 15 ]{ l^{16} } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{29} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

8.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{158}{95} \cdot \sqrt[ 32 ]{ l^{3} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{29} }-\sqrt[ 32 ]{ l^{35} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{61} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

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Tasa Marginal de Sustitución

Reduzcamos una situación en la que un individuo de la sociedad sólo puede dedicar su tiempo a dos usos respecto al mercado: horas de trabajo y horas de no trabajo.

Denotaremos las horas de trabajo con la variable l (labor en inglés) y si por cada hora de trabajo obtiene un ingreso de w, entonces, considerando que este individuo puede adquirir bienes si trabaja, definimos la variable consumo c = l \cdot w.

Definiremos las horas de no trabajo como horas de ocio y las denotaremos con la variable h, estas representan las horas que dedica a trabajar en casa (no en el mercado), ver televisión o navegar en las redes sociales.

9.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{83} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{18} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{37} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

10.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{38} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{27} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{28} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

11.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{31} \cdot \sqrt[ 97 ]{ c^{40} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ h^{57} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

12.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{74} \cdot \sqrt[ 31 ]{ c^{22} } \cdot \sqrt[ 31 ]{ h^{9} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

13.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{18}{89} \cdot \sqrt[ 43 ]{ c^{9} } \cdot \sqrt[ 43 ]{ h^{63} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

14.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{54}{77} \cdot \sqrt[ 83 ]{ c^{89} } \cdot \sqrt[ 83 ]{ h^{4} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

15.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{82}{85} \cdot \sqrt[ 33 ]{ c^{47} } \cdot \sqrt[ 48 ]{ h }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

16.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{21}{88} \cdot \sqrt[ 9 ]{ c^{41} } \cdot \sqrt[ 91 ]{ h^{50} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

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Solución

Ejercicio 1

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Análisis Marginal: Costos Conjuntos y Producción

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Funciones de Costos Conjuntos

1.- Una compañía fabrica celulares en dos presentaciones: Pixel, cuya cantidad producida se presenta con x y Pixel XL, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.1 x^{3} + 2.3 x^{2} - 65.0 x + 0.2 y^{3} - 2.2 y^{2} - 51.4 y + 5953

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 63 , 35 ) e interprete los resultados.

2.- Una compañía fabrica neveras en dos presentaciones: con congelador, cuya cantidad producida se presenta con x y sin congelador, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.2 x^{3} + 4.0 x^{2} - 199.8 x + 0.12 y^{3} + 3.72 y^{2} - 103.92 y + 5893

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 75 , 95 ) e interprete los resultados.

3.- Una compañía fabrica cristales en dos presentaciones: con anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con x y sin anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.33 x^{3} - 1.6 x^{2} - 68.32 x + 0.2 y^{3} + 3.8 y^{2} - 150.0 y + 5296

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 32 , 22 ) e interprete los resultados.

4.- Una compañía fabrica trajes de baño en dos presentaciones: para damas, cuya cantidad producida se presenta con x y para caballeros, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.14 x^{3} + 2.36 x^{2} - 134.58 x + 0.1 y^{3} + 0.8 y^{2} - 55.5 y + 5810

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 39 , 43 ) e interprete los resultados.

5.- Una compañía fabrica metras/canicas en tres presentaciones: ojo de gato, cuya cantidad producida se presenta con x, coquito, cuya cantidad producida se presenta con y y bolondrones, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.5 x^{3} - 7.0 x^{2} - 96.0 x + 0.11 y^{3} + 0.47 y^{2} - 55.8 y + 0.33 z^{3} - 3.61 z^{2} - 16.84 z + 8878

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 92 , 59 , 98 ) e interprete los resultados.

6.- Una compañía fabrica helados en tres presentaciones: mantecado, cuya cantidad producida se presenta con x, chocolate, cuya cantidad producida se presenta con y y fresa, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.25 x^{3} + 1.25 x^{2} - 105.5 x + 0.1 y^{3} + 0.6 y^{2} - 24.7 y + 0.12 z^{3} - 0.88 z^{2} - 35.04 z + 8303

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 83 , 94 , 92 ) e interprete los resultados.

7.- Una compañía fabrica jabones de baño en tres presentaciones: finas esencias, cuya cantidad producida se presenta con x, flor primaveral, cuya cantidad producida se presenta con y y perro mojado, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.1 x^{3} + 8.0 x^{2} - 192.5 x + 0.17 y^{3} + 5.6 y^{2} - 173.88 y + 0.33 z^{3} + 0.07 z^{2} - 124.56 z + 9163

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 80 , 46 , 24 ) e interprete los resultados.

8.- Una compañía fabrica jugos empaquetados en tres presentaciones: manzana, cuya cantidad producida se presenta con x, pera, cuya cantidad producida se presenta con y y durazno, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.14 x^{3} + 3.22 x^{2} - 169.4 x + 0.12 y^{3} + 2.48 y^{2} - 95.4 y + 0.2 z^{3} + 6.4 z^{2} - 173.6 z + 8464

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 105 , 85 , 83 ) e interprete los resultados.

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Funciones de Producción

9.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 659 ) e interprete los resultados.

10.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 100 , 295 ) e interprete los resultados.

11.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Evalúe las funciones que \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 909 ) e interprete los resultados.

12.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 60 , 372 ) e interprete los resultados.

13.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{9}{13} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{31} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{66} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 807 ) e interprete los resultados.

14.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{86} \cdot \sqrt[ 24 ]{ l^{7} } \cdot \sqrt[ 24 ]{ k^{17} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 20 , 1091 ) e interprete los resultados.

15.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{15}{68} \cdot \sqrt[ 90 ]{ l^{17} } \cdot \sqrt[ 90 ]{ k^{73} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 70 , 389 ) e interprete los resultados.

16.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{13}{24} \cdot \sqrt[ 82 ]{ l^{61} } \cdot \sqrt[ 82 ]{ k^{21} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 661 ) e interprete los resultados.

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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Derivadas Parciales

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Dadas las siguientes funciones definidas en varias variables.

Calcule las siguientes derivadas parciales:

\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}

Posteriormente, calcule las siguientes derivadas parciales de orden superior:

\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.

  1. f(x,y)=x
  2. f(x,y)=-2y
  3. f(x,y)=13xy
  4. f(x,y)=5 x^2 y^2

  1. f(x,y)=x+y
  2. f(x,y)=2y-x
  3. f(x,y)=3xy+8\frac{x}{y}+3
  4. f(x,y)=5x^2 - 2y^2+xy

  1. f(x,y)=\frac{1}{x}
  2. f(x,y)=-\frac{3}{y}
  3. f(x,y)=\frac{7}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{15}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2y}{x}
  2. f(x,y)=\frac{x}{5y}
  3. f(x,y)=\frac{7x+y}{2xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-4y}{x+y}

  1. f(x,y)=\frac{2x}{\sqrt{y}}
  2. f(x,y)=\frac{7\sqrt{x}}{y}
  3. f(x,y)=-\frac{x+5y}{xy}
  4. f(x,y)=\frac{x-y}{9x+y}

  1. f(x,y)=\sqrt{x}y
  2. f(x,y)=-x\sqrt{y}
  3. f(x,y)=4\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + x^2y^2+20
  1. f(x,y)=x^2+5x^4+y-2y^3+6
  2. f(x,y)=5x\sqrt{y}+2x^3-y^2
  3. f(x,y)=10\sqrt{x}\sqrt{y}
  4. f(x,y)=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + x^2+y^2-15

  1. f(x,y)=\ln(x)
  2. f(x,y)=\ln(5y)
  3. f(x,y)=-\ln(3xy)
  4. f(x,y)=\ln(3x+10y)

  1. f(x,y)=2\ln(x) \ln(y)
  2. f(x,y)=3\ln(y)-x^2
  3. f(x,y)=4\ln(xy)-y^3
  4. f(x,y)=5\ln(x+y)+8x^3+y^2

  1. f(x,y)={\rm e}^{x}
  2. f(x,y)=-{\rm e}^{y}
  3. f(x,y)=19{\rm e}^{xy}
  4. f(x,y)=-12{\rm e}^{x+y}

  1. f(x,y)={\rm e}^{2x^2+5x+y-2y^3+6}
  2. f(x,y)={\rm e}^{x\sqrt{y}+x^3+y^2}
  3. f(x,y)={\rm e}^{\frac{x-y}{x+y}}
  4. f(x,y)={\rm e}^{\ln(x+y)+x^3+y^2}