La Regla de la Cadena

Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^2. Con las reglas de derivación que conocemos actualmente, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable para obtener f(x) = x^2 + 6x +9 y posteriormente derivar cada sumando para obtener que

f'(x) = 2x + 6

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^{20}. Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este procesos pudiera ser engorroso, más aún si consideramos una función expresada como f(x) = (x+3)^{200}. Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita calcular la derivada de este tipo de funciones.

Si f(x) y g(x) son dos funciones tales que (g \circ f)(x) es su composición, entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:

Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce como la Regla de la Cadena, nos permite calcular las derivada de funciones que no están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales y de ella consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.

Regla del Exponente

Si g(x) = x^n, entonces (g \circ f)(x) = \big( f(x) \big)^n. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \big( f(x) \big)^n \right]' = n \big( f(x) \big)^{n-1} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla del exponente y nos presenta una generalización de la derivada (x^n)' = nx^{n-1}. Sabiendo esto, al retomar nuestro último ejemplo, podemos notar que la función f(x) = (x+3)^{20} está expresada como una función compuesta, así que al aplicar la regla del exponente tenemos que

f'(x) = 20(x+3)^{20-1} \cdot (x+3)' = 20(x+3)^{19} \cdot (1+0) = 20(x+3)^{19}

Regla de la Exponencial

Si g(x) = \textit{\Large e}^x, entonces (g \circ f)(x) = \textit{\large e}^{f(x)}. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left( \textit{\huge e}^{f(x)} \right)' = \textit{\huge e}^{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una generalización de la derivada (\textit{\Large e}^x)' = \textit{\Large e}^x. Considerando un ejemplo concreto, si f(x) = \textit{\Large e}^{6x-11} entonces

f'(x) = \textit{\Large e}^{6x-11} \cdot (6x - 11)' = \textit{\Large e}^{6x-11} \cdot (6 - 0) = 6\textit{\Large e}^{6x-11}

Regla del Logaritmo

Si g(x) = \ln(x), entonces (g \circ f)(x) = \ln(f(x)). De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \ln\big( f(x) \big) \right]' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización de la derivada (\ln(x))' = \frac{1}{x}. Considerando un ejemplo concreto, si f(x) = \ln(5x^3+20x) entonces

f'(x) = \frac{1}{5x^3+20x} \cdot (5x^3+20x)' = \frac{1}{5x^3+20x} \cdot (15x^2+20) = \frac{15x^2+20}{5x^3+20x}

2 comentarios sobre “La Regla de la Cadena

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