La Regla de la Cadena

Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular la derivada de la función $f(x) = (x+3)^2$ . Conociendo solamente las reglas de derivación de suma, resta, multiplicación y división, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable para obtener $f(x) = x^2 + 6x +9$ y posteriormente derivar cada sumando para obtener que

$f'(x) = 2x + 6$

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la derivada de la función $f(x) = (x+3)^{20}$ . Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso es sumamente engorroso, más aún si consideramos un exponente más grande como $f(x) = (x+3)^{200}$ . Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita calcular la derivada de este tipo de funciones.

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Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones tales que $(g \circ f)(x)$ es su composición, entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:

$(g \circ f)'(x) = g'\big( f(x) \big) \cdot f'(x)$

Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce como la Regla de la Cadena y nos permite calcular las derivada de funciones que no están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales. A partir de ella consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.

Regla de la Potencia

Si $g(x) = x^n$ , entonces la composición $(g \circ f)(x)$ está expresada de la forma $= \big[ f(x) \big]^n$ , es decir, la función $f(x)$ está elevada a la n-ésima potencia. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left[ \big( f(x) \big)^n \right]' = n \big( f(x) \big)^{n-1} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla de la potencia y nos presenta una generalización de la derivada $(x^n)' = nx^{n-1}$ .

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x) = (x+3)^2$ , notamos que la función $(x+3)$ está elevada a la segunda potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 2(x+3)^{2-1} \cdot (x+3)' = 2(x+3)^{1} \cdot (1+0) = 2(x+3)$

Que a su vez, será igual a $2x+6$ tal como vimos al inicio de esta lección.

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x) = (x+3)^2$ , notamos que la función $(x+3)$ está elevada a la vigésima potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 20(x+3)^{20-1} \cdot (x+3)' = 20(x+3)^{19} \cdot (1+0) = 20(x+3)^{19}$

Ejemplo 3

Considerando la función $f(x) = (-5x+1)^{13}$ , notamos que la función $(-5x+1)$ está elevada a la décima tercera potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 13(-5x+1)^{13-1} \cdot (-5x+1)' = 13(-5x+1)^{12} \cdot (-1) = -13(-5x+1)^{12}$

Ejemplo 4

Considerando la función $f(x) = (3x^2-7)^{8}$ , notamos que la función $(3x^2-7)$ está elevada a la octava potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

$f'(x) = 8(3x^2-7)^{8-1} \cdot (3x^2-7)' = 8(3x^2-7)^{7} \cdot (6x) = 48x(3x^2-7)^{7}$

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Regla de la Exponencial

Si $g(x) = \textit{\Large e}^x$ , entonces $(g \circ f)(x) = \textit{\large e}^{f(x)}$ . De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left( \textit{\huge e}^{f(x)} \right)' = \textit{\huge e}^{f(x)} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una generalización de la derivada $(\textit{\Large e}^x)' = \textit{\Large e}^x$ .

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x+3}$ , notamos que la función $(x+3)$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (x+3)' = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (1) = \textit{\Large e}^{x+3}$

Ejemplo 6

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1}$ , notamos que la función $-5x+1$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5x+1)' = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5) = -5\textit{\Large e}^{-5x+1}$

Ejemplo 7

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7}$ , notamos que la función $3x^2-7$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)' = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (6x) = 6x\textit{\Large e}^{3x^2-7}$

Ejemplo 8

Considerando la función $f(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2}$ , notamos que la función $(x+3)^2$ está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

$f'(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot \big[ (x+3)^2 \big]' = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot 2(x+3) = 2(x+3)\textit{\Large e}^{(x+3)^2}$

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de $(x+3)^2$ .

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Regla del Logaritmo

Si $g(x) = \ln(x)$ , entonces $(g \circ f)(x) = \ln(f(x))$ . De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

$\left[ \ln\big( f(x) \big) \right]' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$

A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización de la derivada $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ .

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función $f(x) = \ln(x+3)$ , notamos que la función $(x+3)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)' = \frac{1}{x+3} \cdot (1) = \frac{1}{x+3}$

Ejemplo 10

Considerando la función $f(x) = \ln(-5x+1)$ , notamos que la función $(-5x+1)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5x+1)' = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5) = \frac{-5}{-5x+1}$

Ejemplo 11

Considerando la función $f(x) = \ln(3x^2-7)$ , notamos que la función $(3x^2-7)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)' = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (6x) = \frac{6x}{3x^2-7}$

Ejemplo 12

Considerando la función $f(x) = \ln((x+3)^2)$ , notamos que la función $((x+3)^2)$ está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

$f'(x) = \frac{1}{(x+3)^2} \cdot ((x+3)^2)' = \frac{1}{(x+3)^2} \cdot \big[ 2(x+3) \big] = \frac{2(x+3)}{(x+3)^2}$

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de $(x+3)^2$ .

2 comentarios en “La Regla de la Cadena”

Método de Sustitución de Variable – totumat dice:

30.04.2020 a las 3:01 pm

[…] y son dos funciones, entonces a partir de la Regla de la Cadena para la derivada de funciones compuestas podemos concluir lo […]

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Derivación Implícita – totumat dice:

30.03.2020 a las 3:10 pm

[…] la variable se está comportando como una variable dependiente, de esta forma, debemos aplicar la regla de la cadena tal como si estuviéramos derivando una función. Por último, la derivada de es igual a por ser […]

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Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena)

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