La Regla de la Cadena

Consideremos un ejemplo muy particular, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^2. Con las reglas de derivación que conocemos actualmente, la estrategia intuitiva es expandir la expresión aplicando el producto notable para obtener f(x) = x^2 + 6x +9 y posteriormente derivar cada sumando para obtener que

f'(x) = 2x + 6

Consideremos ahora una función levemente distinta, supongamos que queremos calcular la derivada de la función f(x) = (x+3)^{20}. Pudiéramos pensar en expandir la expresión con alguna técnica como el triángulo de pascal pero este proceso es sumamente engorroso, más aún si consideramos un exponente más grande como f(x) = (x+3)^{200}. Entonces, debemos desarrollar otra regla que nos permita calcular la derivada de este tipo de funciones.

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Si f(x) y g(x) son dos funciones tales que (g \circ f)(x) es su composición, entonces definimos la derivada de esta composición de la siguiente forma:

Esta regla para calcular la derivada de una función compuesta se conoce como la Regla de la Cadena y nos permite calcular las derivada de funciones que no están expresadas como operaciones básicas entre funciones elementales. A partir de ella consideraremos algunos casos específicos para facilitar su comprensión.

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Regla de la Potencia

Si g(x) = x^n, entonces la composición (g \circ f)(x) está expresada de la forma = \big[ f(x) \big]^n, es decir, la función f(x) está elevada a la n-ésima potencia. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \big( f(x) \big)^n \right]' = n \big( f(x) \big)^{n-1} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla de la potencia y nos presenta una generalización de la derivada (x^n)' = nx^{n-1}.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x) = (x+3)^2, notamos que la función (x+3) está elevada a la segunda potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 2(x+3)^{2-1} \cdot (x+3)' = 2(x+3)^{1} \cdot (1+0) = 2(x+3)

Que a su vez, será igual a 2x+6 tal como vimos al inicio de esta lección.

Ejemplo 2

Considerando la función f(x) = (x+3)^2, notamos que la función (x+3) está elevada a la vigésima potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 20(x+3)^{20-1} \cdot (x+3)' = 20(x+3)^{19} \cdot (1+0) = 20(x+3)^{19}

Ejemplo 3

Considerando la función f(x) = (-5x+1)^{13}, notamos que la función (-5x+1) está elevada a la décima tercera potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) = 13(-5x+1)^{13-1} \cdot (-5x+1)' = 13(-5x+1)^{12} \cdot (-1) = -13(-5x+1)^{12}

Ejemplo 4

Considerando la función f(x) = (3x^2-7)^{8}, notamos que la función (3x^2-7) está elevada a la octava potencia, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la potencia de la siguiente forma:

f'(x) =  8(3x^2-7)^{8-1} \cdot (3x^2-7)' = 8(3x^2-7)^{7} \cdot (6x) = 48x(3x^2-7)^{7}

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Regla de la Exponencial

Si g(x) = \textit{\Large e}^x, entonces (g \circ f)(x) = \textit{\large e}^{f(x)}. De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left( \textit{\huge e}^{f(x)} \right)' = \textit{\huge e}^{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla de la exponencial y nos presenta una generalización de la derivada (\textit{\Large e}^x)' = \textit{\Large e}^x.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{x+3}, notamos que la función (x+3) está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (x+3)' = \textit{\Large e}^{x+3} \cdot (1) = \textit{\Large e}^{x+3}

Ejemplo 6

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1}, notamos que la función -5x+1 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5x+1)' = \textit{\Large e}^{-5x+1} \cdot (-5) = -5\textit{\Large e}^{-5x+1}

Ejemplo 7

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7}, notamos que la función 3x^2-7 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)' = \textit{\Large e}^{3x^2-7} \cdot (6x) = 6x\textit{\Large e}^{3x^2-7}

Ejemplo 8

Considerando la función f(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2}, notamos que la función (x+3)^2 está en el exponente de la función exponencial, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla de la exponencial de la siguiente forma:

f'(x) = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot \big[ (x+3)^2 \big]' = \textit{\Large e}^{(x+3)^2} \cdot 2(x+3) = 2(x+3)\textit{\Large e}^{(x+3)^2}

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de (x+3)^2.

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Regla del Logaritmo

Si g(x) = \ln(x), entonces (g \circ f)(x) = \ln(f(x)). De esta forma, al aplicar la regla de la cadena para calcular la derivada de esta composición obtenemos que

\left[ \ln\big( f(x) \big) \right]' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)

A esta regla la llamamos regla del logaritmo y nos presenta una generalización de la derivada (\ln(x))' = \frac{1}{x}.

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función f(x) = \ln(x+3), notamos que la función (x+3) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{x+3} \cdot (x+3)' = \frac{1}{x+3} \cdot (1) = \frac{1}{x+3}

Ejemplo 10

Considerando la función f(x) = \ln(-5x+1), notamos que la función (-5x+1) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5x+1)' = \frac{1}{-5x+1} \cdot (-5) = \frac{-5}{-5x+1}

Ejemplo 11

Considerando la función f(x) = \ln(3x^2-7), notamos que la función (3x^2-7) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (3x^2-7)' = \frac{1}{3x^2-7} \cdot (6x) = \frac{6x}{3x^2-7}

Ejemplo 12

Considerando la función f(x) = \ln((x+3)^2), notamos que la función ((x+3)^2) está en el argumento de la función logaritmo neperiano, por lo tanto, podemos calcular su derivada aplicando la regla del logaritmo de la siguiente forma:

f'(x) = \frac{1}{(x+3)^2} \cdot ((x+3)^2)' = \frac{1}{(x+3)^2} \cdot \big[ 2(x+3) \big] = \frac{2(x+3)}{(x+3)^2}

Notemos que este último ejemplo, debimos usar la regla de la potencia para calcular la derivada de (x+3)^2.

2 comentarios en “La Regla de la Cadena

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