Criterio de la Segunda Derivada

Estudiando la concavidad de una función es posible determinar si un punto crítico es un extremo local de dicha función. Intuitivamente, lo que ocurre es que al fijar un punto crítico de una función, si la función se dobla hacia abajo, entonces esta alcanza un punto máximo; por otra parte, si la función se dobla hacia arriba, entonces esta alcanza un punto mínimo.

A partir de estas observaciones podemos establecer un criterio que nos permita como determinar los máximos y mínimos de una función usando su segunda derivada. Formalmente, si $x_0$ es un punto crítico en un intervalo $(a,b)$ tal que

$f''(x_0) < 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_0$ .
$f''(x_0) > 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un mínimo local en $x_0$ .

Este criterio se conoce como el criterio de la segunda derivada y será de utilidad para determinar extremos locales en el caso que trabajar con la primera derivada sea muy laborioso. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar máximos y mínimos locales usando la segunda derivada.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función $f(x) = -9x^2 + 15$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=-18x$ , notando que $-18x=0 \Rightarrow x=0$ . Por lo tanto $x_0=0$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos $f''(x)=-18$ y como $-18$ siempre es negativo, entonces concluimos que la función $f(x) = -9x^2 + 15$ alcanza un máximo local en $x_0=0$ .

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=2x\textit{\Large e}^{x^2}$ , notando que $2x\textit{\Large e}^{x^2}=0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0$ . Por lo tanto $x_0=0$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos $f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)$ y como la expresión $2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)$ siempre es positiva, entonces concluimos que la función $f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}$ alcanza un mínimo local en $x_0=0$ .

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Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función $f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=x^2 - 12x=x(x-12)$ , notando que $x(x-12)=0$ si $x = 0$ o $x=12$ . Por lo tanto $x_1= 0$ o $x_2=12$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de $f(x)$ y obtenemos que $f''(x) = 2x-12$ . Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

$f''(0) = 2(0) - 12 = -12 < 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un máximo local en $x_1=0$ .
$f''(12) = 2(12) - 12 = 12 > 0$ , entonces $f(x)$ alcanza un mínimo en $x_2=12$ .

Ejemplo 4 (Sugerido por una usuaria de totumat)

Determine los extremos locales de la función $f(x) = 4x-x^4$ .

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que $f'(x)=4-4x^3$ , notando que

$4-4x^3=0$ si $x = 1$ .

Por lo tanto $x_1= 1$ es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de $f(x)$ y obtenemos que $f''(x) = -12x^2$ . Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.