Derivadas de orden superior

El cálculo de derivadas es vital para estudiar el comportamiento de una función pues podemos obtener información valiosa a partir de su derivada, más aún, es posible obtener más información derivando su derivada.

Es por esto que resulta necesario definir las derivadas de orden superior. Formalmente, si f(x) es una función, dependiendo del contexto, diremos que f'(x) es la primera derivada de f(x) o derivada de orden uno de f(x).

De esta forma, definimos la segunda derivada de f(x) o derivada de orden dos de f(x) como la derivada de f'(x) y la denotamos con f''(x), formalmente

f''(x) = \left( f'(x) \right)'

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la segunda derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

\frac{d^2 f}{dx^2}(x)

De igual forma definimos la tercera derivada de f(x) o derivada de orden tres de f(x) como la derivada de f''(x) y la denotamos con f'''(x), formalmente

f'''(x) = \left( f''(x) \right)'

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la tercera derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

\frac{d^3 f}{dx^3}(x)

Podemos continuar definiendo derivadas de mayor orden considerando que a partir de la cuarta derivada, no usaremos apóstrofes para denotar el orden de la derivada pues denotaremos la n-ésima derivada de la función f(x) o la derivada de orden n como f^{(n)}(x), formalmente

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la n-ésima derivada de la función f(x) de la siguiente manera:

Veamos con algunos ejemplos, como calcular este tipo de derivadas de orden superior.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la cuarta derivada de f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 20. Ya que las derivadas de orden superior están definidas de forma recursiva, es necesario calcular las primeras tres derivadas antes de calcular la cuarta.

f'(x) = 12x^3+4x
f''(x) = 36x^2+4
f'''(x) = 72x
f^{(4)}(x) = 72

Notemos que la cuarta derivada de esta función es 72, entonces la quinta derivada es 0 y a partir de ahí, todas las demás derivadas también son iguales a cero. ¿Será esto una regla general? Veamos en el siguiente ejemplo que no necesariamente es así.

Ejemplo 2

Calcule la tercera derivada f(x) = \sqrt{-9x + 15\ln(x)}. Es necesario calcular las primeras dos derivadas antes de calcular la tercera.

f'(x) = -9 + \frac{15}{x}
f''(x) = -\frac{15}{x^2}
f'''(x) = \frac{30}{x^3}

Si seguimos calculando más derivadas de orden superior, el exponente en el denominador seguirán incrementándose, así que podemos intuir con certeza que en ningún momento se anularán las derivadas.

Ejemplo 3

Calcule la 1000-ésima derivada de f(x) = \textit{\Large e}^{2x+1}. ¡¿La derivada de orden 1000?! El cálculo de esta derivada no es tan complicada como parece, calculemos las primeras derivadas para ver si podemos encontrar una formal general

f'(x) = \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2 \textit{\Large e}^{2x+1}
f''(x) = 2 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}
f'''(x) = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}\cdot 2 = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1}
f^{(4)}(x) = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1}
f^{(5)}(x) = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^5 \textit{\Large e}^{2x+1}

Observando las derivadas de orden superior de f(x) podemos notar que de forma general, la n-ésima derivada, estará expresada de la forma

f^{(n)} = 2^n \textit{\Large e}^{2x+1}

Así, la derivada de orden 1000 de f(x) será igual a 2^{1000} \textit{\Large e}^{2x+1}.

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