Optimización de funciones de ingreso, costo y utilidad

Uno de los propósitos de estudiar funciones de ingreso, costo y utilidad es de obtener los mejores resultados posibles, a esto se le conoce como optimización, sin embargo, debemos primero aclarar a qué nos referimos con los mejores resultados posibles.

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Al definir funciones de Ingreso I(q), Costo C(q) y Utilidad U(q); definamos cuales son los valores de q para los cuales estas funciones alcanzan su valor óptimo:

  • I(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor I(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los ingresos más altos.
  • C(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor C(q_0) es un mínimo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular los costos más bajos.
  • U(q) alcanza su valor óptimo en q_0 si el valor U(q_0) es un máximo absoluto de la función, esto se debe a que nos interesa calcular las utilidades más altas.

De esta forma, es posible optimizar usando las herramientas que nos proveen las derivadas para calcular máximos y mínimos. Veamos en los siguientes ejemplos como optimizar funciones de ingreso, costo y utilidad.

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando las funciones que miden el costo e ingreso por la producción venta de q lavadoras, definidas de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

U(q) = I(q) - C(q)

Suponiendo que la producción tiene un tope de 20 lavadoras. Determine los ingresos óptimos, los costos óptimos y las utilidades óptimas.

Tomando en cuenta que la producción tiene un tope de 20 lavadoras, dichas funciones están definidas en el intervalo [0,20]. Entonces, debemos calcular los extremos relativos y los valores de la función en los extremos del intervalo [0,20], para comparar y determinar los extremos absolutos.

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Empezando por la función de costos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

C'(q) = \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de costos C'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

C''(q) = \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de costos C''(q) en q=0 y obtenemos que

C''(0) = \frac{13800}{5833} \cdot (0) = 0

A partir de este resultado concluimos que la función no alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

C(0) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \approx 0.4626

C(20) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \approx 3154.92

En vista de que C(0) es el menor de ambos valores, concluimos que la función de costos alcanza un mínimo absoluto en q=0, es decir, los costos más bajos son de C(0) = 0.4626 que es precisamente cuando no hay producción.

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Continuamos con la función de ingresos, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

I'(q) = \frac{72}{13} \cdot q

La derivada de la función de ingresos I'(q) es igual a cero cuando q=0, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

I''(q) = \frac{72}{13}

Evaluamos la segunda derivada de la función de ingresos I''(q) en q=0 y obtenemos que

I''(0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0. Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

I(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 \approx 4.82

I(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 \approx 1112.52

En vista de que I(20) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de ingresos alcanza un máximo absoluto en q=20, es decir, los ingresos más altos son de I(20) = 1112.52 que es precisamente cuando se llega al tope de la producción.

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Finalizamos con la función de utilidades, calculamos puntos críticos de esta función usando la primera derivada:

U'(q) = \frac{72}{13} \cdot q - \frac{6900}{5833} \cdot q^2

La derivada de la función de utilidades U'(q) es igual a cero cuando q=0 o cuando q=4.68, por lo tanto, este será nuestro punto crítico. Para determinar si es un máximo o mínimo, debemos usar el criterio de la segunda derivada, entonces calculamos segunda derivada de esta función:

U''(q) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot q

Evaluamos la segunda derivada de la función de utilidades U''(q) en q=0 y en q=4.68, obtenemos que

U''(0) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (0) = \frac{72}{13}

Al ser \frac{72}{13} un valor positivo, concluimos que la función alcanza un mínimo relativo en q=0.

U''(4.68) = \frac{72}{13} - \frac{13800}{5833} \cdot (4.68) \approx -5.5337

Al ser -5.5337 un valor negativo, concluimos que la función alcanza un máximo relativo en q=4.68. Evaluamos la función de utilidades en este valor pues es de nuestro interés:

U(4.68) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (4.68)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (4.68)^3 \right) \approx 24.60

Continuamos evaluando la función en los extremos del intervalo [0,20]. Esto es,

U(0) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (0)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (0)^3 \right) \approx 4.3574

U(20) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot (20)^2 - \left( \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot (20)^3 \right) \approx -2042.4

En vista de que U(4.68) es el mayor de ambos valores, concluimos que la función de utilidades alcanza un máximo absoluto en q=4.68, es decir, las utilidades más altas son de U(4.68) = 24.60 que es cuando se producen y se venden aproximadamente 5 lavadoras.


Interpretación económica de la derivada

Cualquier investigación en el ámbito cuantitativo de la economía se basará en la comparación de datos y contraste de la información. Al definir modelos matemáticos en la economía a partir de funciones, una herramienta ampliamente usada para comparar datos es el estudio de incrementos.

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Incrementos

Consideremos un ejemplo particular para ilustrar esta idea, digamos que en una fábrica de lavadoras, durante la primera semana del año se produjeron 12 lavadoras y en la segunda semana del año se produjeron 18 lavadoras, es decir, hubo un incremento de 6 unidades en la producción de lavadoras. Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar 18 menos 12, esto es,

18 - 12 = 6

De forma general, si consideramos dos variables x_1 < x_2, determinamos el incremento entre estas dos variables calculando la siguiente resta:

x_2 - x_ 1

Así, medimos el incremento restando el mayor valor menos el menor valor y es importante notar que siempre los incrementos al ser una medida, son positivas. Sin embargo, al considerar incrementos de funciones, este no será necesariamente el caso.

Supongamos que al considerar una función C que mide el costo de producir lavadoras, esta función nos indica que el costo de producir 12 lavadoras es de 800 Ps. y el costo de producir 18 lavadoras es de 2300 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los costos de 1500 Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 2300; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 800; esto es

C(18) - C(12) = 2300 - 800 = 1500

Supongamos que al considerar una función I que mide el ingreso posterior a la venta lavadoras, esta función nos indica que los ingresos por la venta de 12 lavadoras es de 700 Ps. y los ingresos de producir 18 lavadoras es de 900 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los ingresos de 200 Ps.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 900; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 700; esto es

I(18) - I(12) = 700 - 900 = 200

Por otra parte, supongamos que al considerar una función U que mide la utilidad posterior a la producción y venta de lavadoras, esta función nos indica que la utilidad de producir y vender 12 lavadoras es de 1500 Ps. y el costo de producir y vender 18 lavadoras es de 1400 Ps., entonces hubo un incremento negativo en la utilidad de 100 Ps. Este valor negativo en el incremento de las utilidades se conoce como una pérdida.

Formalmente, para calcular este decremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 1400; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 1300; esto es

U(18) - U(12) = 1500 - 1400 = -100

Así, podemos ver que los incrementos de funciones pueden tomar valores tanto negativos como positivos y más aún, dada una función f(q), podemos determinar una forma general para calcular dichos incrementos, pues al considerar una cantidad q y si esta cantidad se incrementa a q+h, con h >0, entonces, podemos calcular el incremento de la función f(q) efectuando la siguiente operación:

f(q+h) - f(q)

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Análisis Marginal

Suponga que en una fábrica de lavadoras se ha determinado que el costo de producir q lavadoras está determinado por la función C(q), si la cantidad de lavadoras producidas se ha incrementado a q+h, podemos calcular el incremento de los costos usando la siguiente fórmula:

C(q+h) - C(q)

A partir de este incremento, es posible determinar la razón de cambio calculando el cociente entre el incremento de los costos y el incremento de las lavadoras producidas, es decir,

\frac{C(q+h) - C(q)}{(q+h) - q} = \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Pero esta forma de calcular la razón de cambio, resulta imprecisa si la función que define los costos no es una función lineal. Hemos visto que aplicando los resultados del cálculo infinitesimal, podemos refinar este resultado considerando el valor más pequeño posible para h, esto es,

\lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Y observando esta expresión, notamos inmediatamente que esta es justamente la derivada de la función C(q) respecto a la variable q, es decir,

\frac{dC}{dq}

Pero es importante que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿Cuál es es dicho valor de h más pequeño posible? En otras palabras, ¿Cuál es la menor cantidad de lavadoras adicionales se pueden fabricar? ¿Cinco lavadoras, dos lavadoras, media lavadora, un pedacito de lavadora? La respuesta es: una lavadora, pues la menor cantidad de lavadoras adicionales que se pueden producir es exactamente una.

De esta forma, si h=1, entonces el límite que define la razón de cambio se reduce a la siguiente expresión:

\frac{dC}{dq} = \lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h} \approx \frac{C(q+1) - C(q)}{1} = C(q+1) - C(q)

La derivada de la función de costos se conoce como la función de Costo Marginal y al ser esta aproximadamente igual C(q+1) - C(q), podemos concluir que mide el incremento en los costos cuando se produce una unidad adicional sobre q.

Este mismo razonamiento se puede llevar a cabo en el estudio de las funciones de Ingreso y Utilidad, y de esta forma, se pueden definir las funciones de Ingreso Marginal y Utilidad Marginal. Veamos en los siguientes ejemplos como utilizar estas funciones para hacer análisis marginal.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando una función que mide el costo por la producción de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de costo marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

C'(q) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

C'(18) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 = \frac{3312}{13} \approx 383.29

De esta forma, concluimos que si se están produciendo 18 lavadoras, entonces la producción de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los costos en aproximadamente 383.29 Ps.

Ejemplo 2

Considerando una función que mide el ingreso por la venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

Evalúe la función de ingreso marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

I'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

I'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) = \frac{1296}{13} \approx 100

De esta forma, concluimos que si se están vendiendo 18 lavadoras, entonces la venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los ingresos en aproximadamente 100 Ps.

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Ejemplo 3

Considerando una función que mide la utilidad por la producción y venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

U(q) = \frac{218860}{50141} + \frac{36}{13} \cdot q^2 - \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de utilidad marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

U'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

U'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 \approx -283.57

De esta forma, concluimos que si se están produciendo y vendiendo 18 lavadoras, entonces la producción y venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, generará una pérdida de aproximadamente 283.57 Ps.


Tabla de Derivadas Elementales

Es posible establecer fórmulas generales para la derivada de todas las funciones elementales de la misma forma que lo hemos hecho con la función cuadrática y aunque no desarrollaremos los cálculos de forma exhaustiva, podemos hacer una lista de estas derivadas, conocida como la Tabla de Derivadas Elementales.

Funciones
Algebraicas

Funciones
Trascendentales

Funciones
Trigonométricas

Elasticidad de Demanda

Al estudiar la demanda de un artículo respecto a su precio, es posible cuantificar la relación entre estos dos elementos definiendo la ecuación de demanda, tomando en cuenta que a menor precio mayor será la demanda y viceversa, sin embargo, es importante estudiar qué tan sensible es la demanda respecto a un cambio en el precio.

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Partiendo de los cambios porcentuales en el precio y la demanda, podemos estudiar la sensibilidad de la demanda respecto un cambio en el precio tal como lo veremos en los siguientes ejemplos:

Ejemplos

Ejemplo 1

Suponga que la demanda de Coca-Cola ha decrecido en un 5\% después de que el precio de esta aumentó en un 3\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es mayor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es elástica, pues un cambio en el precio ha tenido una alta incidencia en la demanda.

Ejemplo 2

Suponga que la demanda de Zanahoria ha decrecido en un 10\% después de que el precio de esta aumentó en un 10\%. En términos absolutos, notamos el cambio en la demanda igual que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda tiene elasticidad unitaria, pues el cambio en el precio y en la demanda tienen la misma magnitud.

Ejemplo 3

Suponga que la demanda de Gas Doméstico, usado para cocinar, ha decrecido en un 2\% después de que el precio de esta aumentó en un 7\%. En términos absolutos, notamos que el cambio en la demanda es menor que el cambio en el precio, en este caso decimos que la demanda es inelástica, pues un cambio en el precio ha tenido una baja incidencia en la demanda.


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Tomando en cuenta estos ejemplos, definimos un indicador que llamaremos Elasticidad de Demanda, que se calcula dividiendo el cambio porcentual en la demanda entre el cambio porcentual en el precio y podemos categorizar el valor de dicho indicador de la siguiente forma:

  • Si el cambio porcentual en la demanda es mayor que el cambio porcentual en el precio, entonces

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| > 1 \Longrightarrow La demanda es elástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Elástica | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es igual que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| = 1 \Longrightarrow La demanda tiene elasticidad unitaria

Elasticidad de Demanda, Elasticidad Unitaria | totumat.com
  • Si el cambio porcentual en la demanda es menor que el cambio porcentual en el precio, entonces, el siguiente cociente

\left| \frac{\text{Cambio porcentual en la demanda}}{\text{Cambio porcentual en el precio}} \right| < 1 \Longrightarrow La demanda es inelástica

Elasticidad de Demanda, Demanda Inelástica | totumat.com

La elasticidad de demanda también se puede calcular en el estudio de las ecuaciones de demanda, particularmente, cuando definimos funciones de demanda. Supongamos que definimos el precio p de un determinado artículo en función de las cantidades demandadas q para determinar una función de demanda, es decir,

p=f(q)

De esta forma, los consumidores demandarán q unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q), por otra parte, los consumidores demandarán q+h unidades de dicho artículo si el precio es fijado en f(q+h). Considerando estos valores, podemos calcular en cuanto se han incrementado la cantidad demandada y el precio.

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La diferencia (q+h) - q = h determina el incremento que hubo en la cantidad demandada y más aún, el cambio porcentual en la cantidad demandada es calculado de la siguiente forma:

\frac{h}{q} \cdot 100

La diferencia f(q+h) - f(q) determina el incremento que hubo en el precio y más aún, el cambio porcentual en el precio es calculado de la siguiente forma:

\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100

Considerando estos cambios porcentuales, calculamos el cociente entre estos dos cambios para determinar la elasticidad de demanda de las siguiente forma:

\dfrac{\frac{h}{q} \cdot 100}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)} \cdot 100} = \dfrac{\frac{h}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{f(q)}}

Considerando esta última división de fracciones, podemos notar que esta es equivalente a la siguiente división de fracciones

\dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

Esta última expresión resulta de vital importancia para estudiar la elasticidad de demanda al considerar el menor incremento posible, es decir, cuando h \to 0 entonces podemos definir la siguiente expresión

\lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(q)}{q}}{\frac{f(q+h) - f(q)}{h}}

De existir este límite, debemos notar que la fracción que se encuentra en el denominador es justamente la derivada de la función f(q) respecto a la variable q. Entonces, considerando que la función f(q) determina el precio p, definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(q) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{dp}{dq}}

Sin embargo, debemos tomar en cuenta que si se está estudiando como la variación del precio afecta a la demanda, conviene expresar la demanda en función del precio y en consecuencia. Entonces, partiendo del hecho de que la derivada de p respecto a q se puede expresar en función de la derivada de la función inversa de p, es decir,

\dfrac{dp}{dq} = \dfrac{1}{\dfrac{dq}{dp}}

Podemos concluir que si la función de demanda está expresada como q en función de p, entonces definimos la Elasticidad Puntual de la Demanda de la siguiente forma:

\eta(p) = \dfrac{ \ \ \dfrac{p}{q} \ \ }{\dfrac{1}{\frac{dp}{dq}}} = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}

Una vez que hemos calculado la elasticidad puntual de demanda usando esta definición, podemos categorizar este valor para indicar cual es el impacto que tiene el precio sobre la demanda de la siguiente manera:

  • Si \left| \eta \right| > 1, entonces la demanda es elástica.
  • Si \left| \eta \right| = 1, entonces la demanda tiene elasticidad unitaria.
  • Si \left| \eta \right| < 1, entonces la demanda es inelástica.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular la elasticidad puntual a partir de una función de demanda.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Suponga que la demanda semanal de kilos de zanahoria en una pequeña tienda de verduras de la ciudad está definida por la siguiente función:

q = -\frac{9}{5} \cdot p + 43

¿Cuál es la elasticidad puntual de demanda si se fija el precio del kilo de zanahoria en 17.5?

Para usar la fórmula de la elasticidad puntual de demanda debemos calcular la derivada de la función de demanda, de esta forma, tenemos que

\dfrac{dq}{dp} = -\frac{9}{5}

Una vez calculada la derivada de la función de demanda, sustituimos la derivada y la función en nuestra fórmula:

\eta(p) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp} = \frac{p}{-\frac{9}{5} \cdot p + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right)

Teniendo planteada la fórmula de la elasticidad puntual de demanda para la función q(p), evaluamos en p=17.5,

\eta(17.5) = \frac{17.5}{-\frac{9}{5} \cdot 17.5 + 43} \cdot \left( -\frac{9}{5} \right) = -2.7391

De esta forma, al ser |-2.7391| > 1, concluimos que la demanda puntual es elástica cuando se fija el precio en p=17.5, es decir, este precio tiene alta incidencia en la demanda del kilo de zanahoria.


Derivada de la función inversa

Al estudiar el comportamiento gráfico de una función y de su inversa, podemos notar que estas están reflejadas a través de la recta identidad, tomando esto en cuenta, pudiéramos determinar la derivada de la inversa de una función a partir de la derivada de la función original, pero, ¿de qué forma?

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Si estudiamos gráficamente la derivada de la función cuadrática, f(x)=x^2, en el punto x=1, sabemos que esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a 2.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Por otra parte, si estudiamos gráficamente la derivada de la función raíz cuadrada, f^{-1}(x)=\sqrt{x}, en el punto x=1, esta define la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,1). Esta pendiente es igual a \frac{1}{2}.

Derivada de la función inversa | totumat.com

Debemos notar que la función cuadrática y la función raíz cuadrada son funciones inversas, y el resultado de cada una de sus derivadas, 2 y \frac{1}{2}, son inversamente proporcionales. Más aún, las rectas tangentes a ambas funciones en el punto (1,1) parecieran ser una reflexión de la otra a través de la recta identidad, esto se puede apreciar mejor en el siguiente gráfico:

Derivada de la función inversa | totumat.com

Esto sugiere que sus derivadas son inversamente proporcionales, para ser más precisos, la derivada de la función inversa de f evaluada en y_0 es inversamente proporcional a la derivada de la función f en la preimagen de y_0. Esta idea se presenta formalmente con el siguiente teorema:

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Teorema (La derivada de la función inversa)

Sea f : (a,b) \longrightarrow \mathbb{R} una función inyectiva, derivable en un punto x_0=f^{-1}(y_0) del intervalo (a,b), tal que f'(f^{-1}(y_0)) \neq 0. Entonces, f^{-1} es derivable en y_0 y además,

(f^{-1})'(y_0) = \dfrac{1}{f'\big( f^{-1}(y_0) \big)}

Podemos presentar esta última expresión de una forma más amigable, y es que si consideramos una variable x=f^{-1}(y), podemos reescribir la derivada de la variable x respecto a la variable y como un cociente de diferenciales de la siguiente forma:

(f^{-1})'(y) = \frac{d}{dy} \left( f^{-1}(y) \right) = \frac{dx}{dy}

Por otra parte, también podemos reescribir la derivada f'\left( f^{-1}(y) \right) como un cociente de diferenciales, tomando en cuenta que f y f^{-1} son funciones inversas, de la siguiente forma:

f'\left( f^{-1}(y) \right) = \frac{d}{dx} \left( f\left( f^{-1}(y) \right) \right) = \frac{dy}{dx}

Entonces, aplicando el teorema para calcular la derivada de la función inversa, tenemos que

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{ \ \ 1 \ \ }{\dfrac{dy}{dx}}

Notemos que esta última expresión es equivalente a \frac{dy}{dx} = \frac{ \ \ 1 \ \ }{\frac{dx}{dy}} y aunque este teorema es potente para el desarrollo de las matemáticas, existen algunos casos en la práctica donde resulta útil. Veamos en los siguientes ejemplos, algunas funciones para entender como calcular la función inversa usando este el teorema.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x^2, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt{x}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=2x. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2 \cdot f^{-1}(x)

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{2f^{-1}(x)}

= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=(x+1)^3, calcule la derivada de su función inversa f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}-1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de la función f(x) es igual a f'(x)=3(x+1)^2. Al evaluar la derivada en f^{-1}(x), obtenemos la expresión

f' \left( f^{-1}(x) \right) = 3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2

Entonces, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}

= \dfrac{1}{3\left( f^{-1}(x) + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x}-1 + 1 \right)^2}

= \dfrac{1}{3\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}

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Ejemplo 3

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=-2x+5, calcule la derivada de su función inversa x=-\frac{1}{2}y + \frac{5}{2}.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=-2, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{-2}

= -\dfrac{1}{2}

Ejemplo 4

Expresando la derivada como un cociente de diferenciales también podemos llevar a cabo el procedimiento al estudiar variables dependientes, considerando la variable y=\textit{\Large e}^{x+1} + 7, calcule la derivada de su función inversa x= \ln(y-7) - 1.

Debemos tomar en cuenta que la derivada de y respecto a la variable x es igual a \frac{dy}{dx}=\textit{\Large e}^{x+1}, de esta forma, procedemos a calcular la derivada de la función inversa aplicando el teorema de la siguiente forma:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{x+1}}

Finalmente, sustituyendo la variable x = \ln(y-7) - 1 en este último resultado, obtenemos lo siguiente:

\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7) - 1+1}}

= \dfrac{1}{\textit{\Large e}^{\ln(y-7)}}

= \dfrac{1}{y-7}

Nota: Se mantiene que \textit{\Large e}^{\ln(y-7)} = y-7 pues la función exponencial y la función logaritmo neperiano son funciones inversas.