Reglas de Derivación

Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida $f(x)$ , usamos la notación que hemos definido, $f'(x)$ pero en otras ocasiones, puede resultar la siguiente notación dependiendo de como esté expresada la función

Podemos notar que de la forma en que hemos definido formalmente la derivada de una función es como una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X, pero al calcular el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por $dy$ ; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por $dx$ . Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera

Esta notación se lee la derivada de $y$ respecto a $x$ . Particularmente, si $y$ está definida por una función $f(x)$ entonces usamos la notación

Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones; y $c$ es un número real, definimos

Regla de la suma

Regla del producto (por un escalar)

Regla del producto

Regla de la división

Considerando estas reglas de derivación para las operaciones entre funciones, podemos calcular de derivada de funciones más complejas, veamos en los siguientes ejemplos como hacer eso.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la derivada de $f(x) = x^2 + x$ . Debemos notar que esta función está definida como la suma de dos funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x) = (x^2 + x)' = (x^2)' + (x)'$

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 2x + 1$

Ejemplo 2

Calcule la derivada de $f(x) = 3x^5 - 2x + 9$ . Debemos notar que esta función está definida como la suma de tres funciones, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas tomando en cuenta que algunas de ellas están siendo multiplicadas por escalares

$f'(x) = (3x^5 - 2x + 9)' = (3x^5)' - (2x)' + (9)' = 3(x^5)' - 2(x)' + (9)'$ latex $

Una vez que hemos separado cada uno de los sumandos, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 3(5x^4) - 2(1) + 0 = 15x^4 - 2$

Ejemplo 3

Calcule la derivada de $f(x) = (12x + 3)\textit{\Large e}^x$ . Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, entonces usamos la regla del producto

$f'(x) = (12x + 3)\textit{\Large e}^x = (12x + 3)'\textit{\Large e}^x + (12x + 3) \left( \textit{\Large e}^x \right)'$

consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = (12 + 0)'\textit{\Large e}^x + (12x + 3) \textit{\Large e}^x = 12\textit{\Large e}^x + (12x + 3) \textit{\Large e}^x$

Finalmente, podemos simplificar sacando la función exponencial como un factor común,

$f'(x) = (12 + 12x + 3)\textit{\Large e}^x = (12x + 15)\textit{\Large e}^x$

Ejemplo 4

Calcule la derivada de $f(x) = \frac{9x^7 - 5x^2}{6x+14}$ . Debemos notar que esta función está definida como una división entre dos funciones, entonces usamos la regla de la división

$f'(x) = \frac{(9x^7 - 5x^2)'(6x+14) - (9x^7 - 5x^2)(6x+14)'}{(6x+14)^2}$

consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \frac{(9(7x^6) - 5(2x))(6x+14) - (9x^7 - 5x^2)(6+0)}{(6x+14)^2}$

Finalmente, podemos simplificar la función aplicando las operaciones expresadas en el numerador

$f'(x) = \frac{(63x^6 - 10x)(6x+14) - (9x^7 - 5x^2)(6)}{(6x+14)^2}$
$= \frac{(378x^7 + 882x^6 -60x^2 - 140x) - (54x^7 - 30x^2)}{(6x+14)^2}$
$= \frac{378x^7 + 882x^6 -60x^2 - 140x - 54x^7 + 30x^2}{(6x+14)^2}$
$= \frac{324x^7 + 882x^6 -30x^2 - 140x}{(6x+14)^2}$
$= \frac{x(324x^6 + 882x^5 -30x - 140)}{(6x+14)^2}$