Reglas de Derivación

Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida f(x), usamos la notación que hemos definido, f'(x) pero en otras ocasiones, puede resultar la siguiente notación dependiendo de como esté expresada la función

Podemos notar que de la forma en que hemos definido formalmente la derivada de una función es como una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X, pero al calcular el límite cuando x tiende a x_0 estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por dy; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por dx. Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera

Esta notación se lee la derivada de y respecto a x. Particularmente, si y está definida por una función f(x) entonces usamos la notación

Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si f(x) y g(x) son dos funciones; y c es un número real, definimos

Regla de la suma

Si f(x) y g(x) son dos funciones, definimos

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función f(x)=x - x^{7}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=( x )' - \left( x^{7} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 1 - 7 x^{6}

Ejemplo 2

Considerando la función f(x)=\textit{\Large e}^{x} - x^{10}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( x^{10} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \textit{\Large e}^{x} - 10 x^{9}

Ejemplo 3

Considerando la función f(x)=\frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' - \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( x^{10} \right)' - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} - 10 x^{9} - \textit{\Large e}^{x}

Ejemplo 4

Considerando la función f(x)=\frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' + \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{17}{3 x^{\frac{20}{3}}}


Regla del producto (por un escalar)

Si f(x) es una función y a es un número real, definimos

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función f(x)=4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} \right)' + \left( 7 \sqrt{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' + 7 \left( \sqrt{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 4 \textit{\Large e}^{x} + \frac{7}{2 \sqrt{x}}

Ejemplo 6

Considerando la función f(x)=\frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{8}{x} \right)' + \left( 9 \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( 9 \ln{\left(x \right)} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=8 \left( \frac{1}{x} \right)' + 9 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - 9 \left( \ln{\left(x \right)} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{8}{x^{2}} + 9 \textit{\Large e}^{x} - \frac{9}{x}

Ejemplo 7

Considerando la función f(x)=5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( 5 x \right)' - \left( 9 x^{2} \right)' - \left( 5 \sqrt{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=5 \left( x \right)' - 9 \left( x^{2} \right)' - 5 \left( \sqrt{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = 5 - 18 x - \frac{5}{2 \sqrt{x}}

Ejemplo 8

Considerando la función f(x)=\frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

f'(x)=\left( \frac{9}{x} \right)' - \left( 8 \sqrt[9]{x} \right)' - \left( 6 \sqrt{x} \right)' - \left( 4\textit{\Large e}^{x} \right)'

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

f'(x)=9 \left( \frac{1}{x} \right)' - 8 \left( \sqrt[9]{x} \right)' - 6 \left( \sqrt{x} \right)' - 4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = - \frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{9 x^{\frac{8}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{x}} - 4\textit{\Large e}^{x}


Regla del producto

Si f(x) y g(x) son dos funciones, definimos

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función f(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right)' \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( - \frac{5}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - \frac{3}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = \frac{15 \ln(x)}{2 \sqrt{x}} + \frac{15 \sqrt{x}}{x}

Ejemplo 10

Considerando la función f(x)=6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( 6 \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{9}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = -54 \cdot log(x) - 54

Ejemplo 11

Considerando la función f(x)=- 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4}, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x)=\left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) = \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 24 x^{3} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - 18 x^{4} \textit{\Large e}^{x} - 72 x^{3} \textit{\Large e}^{x}

Ejemplo 12

Considerando la función f(x)=8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right) , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas

f'(x) =

\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right)' \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)'

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x) =

\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( - \frac{6}{x^{2}} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)
+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - \frac{5}{x} \right)

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x} + \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{240 \textit{\Large e}^{x}}{x^{2}}

Nota: En este último caso hemos generalizado la regla del producto, y es que si tenemos tres funciones f(x), g(x) y h(x), es posible deducir que


Regla de la división

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, definimos

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la función f(x)= \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)'}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( 6 \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{2}{x} \right)}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{3}{\ln{\left(x \right)}} + \frac{3}{\ln{\left(x \right)}^{2}}

Ejemplo 14

Considerando la función f(x)= \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( \frac{7}{x} \right)' \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right)'}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( - \frac{7}{x^{2}} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}} \right)}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{49}{6 x^{\frac{13}{6}}}

Ejemplo 15

Considerando la función f(x)= \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( - 8 x \right)' \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)'}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( -8 \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = - \frac{8 x e^{- x}}{5} + \frac{8 e^{- x}}{5}

Ejemplo 16

Considerando la función f(x)= \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} }, calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

f'(x)= \frac{\left( \sqrt[10]{x} \right)' \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right)'}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

f'(x)= \frac{\left( \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 15 x^{4} \right)}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

f'(x) = \frac{49}{30 x^{\frac{59}{10}}}


Autor: Anthonny Arias

Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.

¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios .