Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por ejemplo, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida , usamos la notación que hemos definido,
pero en otras ocasiones, puede resultar la siguiente notación dependiendo de como esté expresada la función

Podemos notar que de la forma en que hemos definido formalmente la derivada de una función es como una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X, pero al calcular el límite cuando tiende a
estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por
; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por
. Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera

Esta notación se lee la derivada de respecto a
. Particularmente, si
está definida por una función
entonces usamos la notación

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Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si y
son dos funciones; y
es un número real, definimos las siguientes reglas:
Regla de la suma
Si y
son dos funciones, definimos

Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 2
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 3
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 4
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Regla del producto por un escalar
Si es una función y
es un número real, definimos

Ejemplos
Ejemplo 5
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 6
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 7
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Ejemplo 8
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar.
Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas
Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos
Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Regla del producto
Si y
son dos funciones, definimos

Ejemplos
Ejemplo 9
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.
Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 10
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.
Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 11
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.
Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 12
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto.
Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos al regla del producto y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Nota: En este último caso hemos generalizado la regla del producto, y es que si tenemos tres funciones ,
y
, es posible deducir que

Regla de la división
Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, definimos

Ejemplos
Ejemplo 13
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.
Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 14
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.
Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 15
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.
Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
Ejemplo 16
Considerando la función , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división.
Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas
Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que
Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado
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