Reglas de Derivación

Notación

Dependiendo del contexto, es necesario usar diferentes notaciones para la derivada. Por defecto, si queremos calcular la derivada de una función explícitamente definida como $f(x)$ , usamos la notación $f'(x)$ .

Sin embargo, al derivar la expresión que define a la función, puede resultar necesario usar otro tipo de notación como sigue:

$\big( f(x) \big)'$

También podemos recurrir a la definición propiamente de lo que es una derivada para denotarla. Recordemos que formalmente la derivada de una función es una razón de cambio puntual, es decir, el cambio en el Eje Y entre el cambio en el Eje X.

Pero al calcular el límite cuando $x$ tiende a $x_0$ estos cambios se hacen infinitamente pequeños, a estos cambios los llamamos diferenciales, al cambio infinitamente pequeño en el Eje Y lo llamamos diferencial de y y lo denotamos por $dy$ ; al cambio infinitamente pequeño en el Eje X lo llamamos diferencial de x y lo denotamos por $dx$ .

Es por esto, que la derivada de una función se expresa como un cociente de diferenciales de la siguiente manera:

$\dfrac{dy}{dx}$

Esta notación se lee la derivada de $y$ respecto a $x$ .

Particularmente, si la variable $y$ está definida de forma pendiente a través de una función $f(x)$ entonces usamos la notación

$\dfrac{df}{dx} (x)$

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Una vez que hemos determinado la derivada de las funciones elementales, considerando la definición de derivada, es posible deducir la derivada de las operaciones básicas entre funciones. Formalmente, si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones; y $c$ es un número real, definimos las siguientes reglas:

Regla de la suma

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, definimos la derivada de la suma, como la suma de las derivadas, es decir,

$\big( f(x) \pm g(x) \big)' = f'(x) \pm g'(x)$

Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando la función $f(x)=x - x^{7}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( x - x^{7} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=( x )' - \left( x^{7} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 1 - 7 x^{6}$

Ejemplo 2

Considerando la función $f(x)=\textit{\Large e}^{x} - x^{10}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} - x^{10} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( x^{10} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \textit{\Large e}^{x} - 10 x^{9}$

Ejemplo 3

Considerando la función $f(x)=\frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} - \ln{\left(x \right)} - x^{10} - \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' - \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( x^{10} \right)' - \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x} - 10 x^{9} - \textit{\Large e}^{x}$

Ejemplo 4

Considerando la función $f(x)=\frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la suma. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} + \ln{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{1}{x} \right)' + \left( \ln{\left(x \right)} \right)' - \left( \frac{1}{x^{\frac{17}{3}}} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{17}{3 x^{\frac{20}{3}}}$

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Regla del producto por un escalar

Si $f(x)$ es una función y si $a$ es un escalar, definimos la derivada de un escalar multiplicado por una función como dicho escalar multiplicado por la derivada de la función, es decir,

$\big( a \cdot f(x) \big)' = a \cdot f'(x)$

Nota: Diremos que un número real $a$ es un escalar, porque cambia la escala de la función, pues dependiendo de su valor, puede contraerla o expandirla.

Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando la función $f(x)=4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} + 7 \sqrt{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( 4 \textit{\Large e}^{x} \right)' + \left( 7 \sqrt{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' + 7 \left( \sqrt{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 4 \textit{\Large e}^{x} + \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

Ejemplo 6

Considerando la función $f(x)=\frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{8}{x} + 9 \textit{\Large e}^{x} - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{8}{x} \right)' + \left( 9 \textit{\Large e}^{x} \right)' - \left( 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=8 \left( \frac{1}{x} \right)' + 9 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)' - 9 \left( \ln{\left(x \right)} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{8}{x^{2}} + 9 \textit{\Large e}^{x} - \frac{9}{x}$

Ejemplo 7

Considerando la función $f(x)=5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( 5 x - 9 x^{2} - 5 \sqrt{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( 5 x \right)' - \left( 9 x^{2} \right)' - \left( 5 \sqrt{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=5 \left( x \right)' - 9 \left( x^{2} \right)' - 5 \left( \sqrt{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = 5 - 18 x - \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

Ejemplo 8

Considerando la función $f(x)=\frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto por un escalar. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left( \frac{9}{x} - 8 \sqrt[9]{x} - 6 \sqrt{x} - 4\textit{\Large e}^{x} \right)'$

Debemos notar que esta función está definida como la suma funciones elementales, entonces podemos separar cada uno de los sumandos y expresar sus derivadas

$f'(x)=\left( \frac{9}{x} \right)' - \left( 8 \sqrt[9]{x} \right)' - \left( 6 \sqrt{x} \right)' - \left( 4\textit{\Large e}^{x} \right)'$

Una vez que hemos separado los sumandos, podemos sacar los escalares de cada uno de estos sumandos

$f'(x)=9 \left( \frac{1}{x} \right)' - 8 \left( \sqrt[9]{x} \right)' - 6 \left( \sqrt{x} \right)' - 4 \left( \textit{\Large e}^{x} \right)'$

Finalmente, consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = - \frac{9}{x^{2}} - \frac{8}{9 x^{\frac{8}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{x}} - 4\textit{\Large e}^{x}$

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Regla del producto

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, considerando ambos factores, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del primero, por el segundo sin derivar, más, el primero sin derivar, por la derivada del segundo

$\big( f(x) \cdot g(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Ejemplos

Ejemplo 9

Considerando la función $f(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( - 5 \sqrt{x} \right)' \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( - \frac{5}{2 \sqrt{x}} \right) \cdot \left( - 3 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( - 5 \sqrt{x} \right) \cdot \left( - \frac{3}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = \frac{15 \ln(x)}{2 \sqrt{x}} + \frac{15 \sqrt{x}}{x}$

Ejemplo 10

Considerando la función $f(x)=6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ 6 x \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( 6 \right) \cdot \left( - 9 \ln{\left(x \right)} \right) + \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{9}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = -54 \cdot \ln(x) - 54$

Ejemplo 11

Considerando la función $f(x)=- 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4}$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ - 3 \textit{\Large e}^{x} \cdot 6 x^{4} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x)=\left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) = \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 6 x^{4} \right) + \left( - 3 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( 24 x^{3} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - 18 x^{4} \textit{\Large e}^{x} - 72 x^{3} \textit{\Large e}^{x}$

Ejemplo 12

Considerando la función $f(x)=8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para el producto. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ -8 \textit{\Large e}^{x} \cdot \frac{6}{x} \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right) \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como el producto de dos funciones, aplicamos la regla del producto y expresamos las derivadas

$f'(x) =$

$\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right)' \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right)' \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)'$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x) =$

$\left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( - \frac{6}{x^{2}} \right) \cdot \left( - 5 \ln{\left(x \right)} \right)$
$+ \left( 8 \textit{\Large e}^{x} \right) \cdot \left( \frac{6}{x} \right) \cdot \left( - \frac{5}{x} \right)$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x} + \frac{240 \textit{\Large e}^{x} \ln{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{240 \textit{\Large e}^{x}}{x^{2}}$

Nota: En este último caso hemos generalizado la regla del producto, y es que si tenemos tres funciones $f(x)$ , $g(x)$ y $h(x)$ , es posible deducir que

$\big( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \big)' = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x)$

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Regla de la división

Si $f(x)$ y $g(x)$ son dos funciones, considerando el numerador y el denominador, definimos la derivada de la siguiente forma:

la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos, el numerador sin derivar, por la derivada del denominador. Todo eso dividido entre el denominador elevado al cuadrado

$\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right)' = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)}{\big( g(x) \big )^2}$

Ejemplos

Ejemplo 13

Considerando la función $f(x)= \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ 6 x }{ - 2 \ln{\left(x \right)}} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( 6 x \right)' \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)'}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( 6 \right) \cdot \left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right) - \left( 6 x \right) \cdot \left( - \frac{2}{x} \right)}{\left( - 2 \ln{\left(x \right)} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{3}{\ln{\left(x \right)}} + \frac{3}{\ln{\left(x \right)}^{2}}$

Ejemplo 14

Considerando la función $f(x)= \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ \frac{7}{x} }{ \sqrt[6]{x}} \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( \frac{7}{x} \right)' \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right)'}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( - \frac{7}{x^{2}} \right) \cdot \left( \sqrt[6]{x} \right) - \left( \frac{7}{x} \right) \cdot \left( \frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}} \right)}{\left( \sqrt[6]{x} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{49}{6 x^{\frac{13}{6}}}$

Ejemplo 15

Considerando la función $f(x)= \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ - 8 x }{ - 5 \textit{\Large e}^{x} } \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( - 8 x \right)' \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)'}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( -8 \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right) - \left( - 8 x \right) \cdot \left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)}{\left( - 5 \textit{\Large e}^{x} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = - \frac{8 x e^{- x}}{5} + \frac{8 e^{- x}}{5}$

Ejemplo 16

Considerando la función $f(x)= \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} }$ , calcule su derivada aplicando la regla de derivación para la división. Para esto, denotamos primero la derivada:

$f'(x)=\left[ \frac{ \sqrt[10]{x} }{ - 3 x^{5} } \right]'$

Debemos notar que esta función está definida como la división dos funciones, aplicamos al regla de la división y expresamos las derivadas

$f'(x)= \frac{\left( \sqrt[10]{x} \right)' \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right)'}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}$

Consultamos la tabla de derivadas y calculamos las derivadas respectivas para obtener que

$f'(x)= \frac{\left( \frac{1}{10 x^{\frac{9}{10}}} \right) \cdot \left( - 3 x^{5} \right) - \left( \sqrt[10]{x} \right) \cdot \left( - 15 x^{4} \right)}{\left( - 3 x^{5} \right)^2}$

Finalmente, simplificamos para obtener el siguiente el resultado

$f'(x) = \frac{49}{30 x^{\frac{59}{10}}}$

2 comentarios en “Reglas de Derivación”

Memes Matemáticos – Febrero 2021 – totumat dice:

03.03.2021 a las 8:00 am

[…] de ideas, derivar funciones puede resultar sencillo porque en muchos casos basta con aprender las reglas de derivación cuando nos topamos con operaciones básicas entre funciones, pero no pasa con los mismo al integrar […]

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Método de Integración por Partes – totumat dice:

03.05.2020 a las 3:00 pm

[…] y son dos funciones, entonces a partir de la Regla del Producto para la derivada de funciones, podemos concluir lo […]

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Notación

Regla de la suma

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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Regla del producto por un escalar

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Regla del producto

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Regla de la división

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

Ejemplo 15

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