Derivadas de Orden Superior

Podemos calcular derivadas parciales de orden superior teniendo en cuenta cual es la variable respecto a la cual estamos derivando. De esta forma, una vez que hemos calculado de la derivada de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $x$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial x}$ ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $x$ y para esto usamos la siguiente notación:

$\dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $y$ y usamos la siguiente notación:

$\dfrac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Una vez que hemos calculado de la derivada de una función $f(x,y)$ respecto a la variable $y$ , es decir, $\frac{\partial f}{\partial y}$ ; podemos calcular la segunda derivada respecto a la variable $x$ y para esto usamos la siguiente notación:

$\dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

De igual forma, podemos calcular la segunda derivada respecto a la varaible $y$ y usamos la siguiente notación:

$\dfrac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

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Cuando estamos aprendiendo a calcular derivadas parciales y más aún, de orden superior; es normal que uno se enrede con tantas variables. Con el diagrama que veremos a continuación se puede entender con un poco más de claridad que variables debemos considerar al derivar:

Diagrama Derivadas Parciales de Orden Superior | totumat.com

Otra notación que puede ser útil para aligerar la escritura de las derivadas parciales consiste en escribir la función y usar un subíndice sobre esta para indicar cual es la variable respecto a la cual estamos derivando de la siguiente forma:

$f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}$

Podemos así, denotar las derivadas de orden superior como sigue:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = (f_x)_x = f_{xx}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = (f_x)_y = f_{xy}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = (f_y)_y = f_{xx}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = (f_y)_x = f_{yx}$

En vista de esto, podemos replantear el diagrama visto anteriormente usando esta nueva notación:

Veamos con algunos ejemplos como calcular derivadas parciales de orden superior.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea $f(x,y)=2x^6+y^2 - 8$ una función definida en varias variables, calcule $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ .

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de $f$ respecto a la variable $x$ :

$\dfrac{\partial f}{\partial x} \; = \; \dfrac{\partial (2x^6+y^2 - 8)}{\partial x}$

$= \; \dfrac{\partial (2x^6)}{\partial x} + \dfrac{\partial (y^2)}{\partial x} - \dfrac{\partial (8)}{\partial x}$

$= \; 12x^5 + 0 - 0$

$= \; 12x^5$

Calculamos entonces la derivada de la función $\frac{\partial f}{\partial x}=2x^5$ respecto a la variable $x$ .

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial x} \; = \; 60x^4$

Supongamos que queremos calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ , entonces debemos calcular la derivada de la función $\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x^5$ respecto a la variable $y$ :

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \; = \; \dfrac{\partial (12x^5)}{\partial y} \; = \; 0$

Ejemplo 2

Sea $f(x,y)=5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2$ una función definida en varias variables, calcule $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ .

Para calcular esta derivada, debemos calcular primero la derivada de $f$ respecto a la variable $y$ :

$\dfrac{\partial f}{\partial y} \; = \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy} - x^3y + 6x + 2)}{\partial y}$

$= \; \dfrac{\partial (5\sqrt{xy})}{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3y)}{\partial y} + \dfrac{\partial (6x)}{\partial y} + \dfrac{\partial (2)}{\partial y}$

$= \; 5\dfrac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x - x^3 + 0 + 0$

$= \; \dfrac{5}{2}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$

Este último paso se debe a que $\frac{1}{\sqrt{xy}} \cdot x = \frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Calculamos entonces la derivada de la función $\frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$ respecto a la variable $y$ .

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial y}$

$= \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial y} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial y}$ *

$= \; \dfrac{5}{2}\sqrt{x} \left( \dfrac{-1}{2\sqrt{y^3}} \right) - 0$

$= \; -\dfrac{5\sqrt{x}}{4\sqrt{y^3}}$

*Note que al $x$ comportarse como una constante, es conveniente separarla de la variable $y$ , ya que de este modo es más fácil de derivar el producto.

Supongamos que queremos calcular $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ , entonces debemos calcular la derivada de la función $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3$ respecto a la variable $x$ :

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \; = \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} - x^3 \right) }{\partial x}$

$= \; \dfrac{\partial \left( \frac{5}{2}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} \right) }{\partial x} - \dfrac{\partial (x^3)}{\partial x}$

$= \; \frac{5}{2 \sqrt{y}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - 3x^2$

$= \; \frac{5}{4 \sqrt{y} \sqrt{x}} - 3x^2$

$= \; \frac{5}{4 \sqrt{xy}} - 3x^2$

El cálculo de derivadas es vital para estudiar el comportamiento de una función pues podemos obtener información valiosa a partir de su derivada, más aún, es posible obtener más información derivando su derivada.

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Es por esto que resulta necesario definir las derivadas de orden superior. Formalmente, si $f(x)$ es una función, dependiendo del contexto, diremos que $f'(x)$ es la primera derivada de f(x), derivada de primer orden de $f(x)$ o derivada de orden uno de $f(x)$ .

De esta forma, definimos la segunda derivada de $f(x)$ o derivada de segundo orden de $f(x)$ como la derivada de $f'(x)$ y la denotamos con $f''(x)$ , formalmente

$f''(x) = \left( f'(x) \right)'$

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la segunda derivada de la función $f(x)$ de la siguiente manera:

$\frac{d^2 f}{dx^2}(x)$

De igual forma definimos la tercera derivada de $f(x)$ o derivada de tercer orden de $f(x)$ como la derivada de $f''(x)$ y la denotamos con $f'''(x)$ , formalmente

$f'''(x) = \left( f''(x) \right)'$

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la tercera derivada de la función $f(x)$ de la siguiente manera:

$\frac{d^3 f}{dx^3}(x)$

Podemos continuar definiendo derivadas de mayor orden considerando que a partir de la cuarta derivada, no usaremos apóstrofes para denotar el orden de la derivada pues denotaremos la n-ésima derivada de la función $f(x)$ o la derivada de n-ésimo orden como $f^{(n)}(x)$ , formalmente

Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la n-ésima derivada de la función $f(x)$ de la siguiente manera:

Derivada de Orden Superior | totumat.com

Veamos con algunos ejemplos, como calcular este tipo de derivadas de orden superior.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la cuarta derivada de $f(x) = 3x^4 + 2x^2 - 20$ . Ya que las derivadas de orden superior están definidas de forma recursiva, es necesario calcular las primeras tres derivadas antes de calcular la cuarta.

$f'(x) = 12x^3+4x$

$f''(x) = 36x^2+4$

$f'''(x) = 72x$

$f^{(4)}(x) = 72$

Notemos que la cuarta derivada de esta función es 72, entonces la quinta derivada es 0 y a partir de ahí, todas las demás derivadas también son iguales a cero. ¿Será esto una regla general? Veamos en el siguiente ejemplo que no necesariamente es así.

Ejemplo 2

Calcule la tercera derivada $f(x) = -9x + 15\ln(x)$ . Es necesario calcular las primeras dos derivadas antes de calcular la tercera.

$f'(x) = -9 + \frac{15}{x}$

$f''(x) = -\frac{15}{x^2}$

$f'''(x) = \frac{30}{x^3}$

Si seguimos calculando más derivadas de orden superior, el exponente en el denominador seguirán incrementándose, así que podemos intuir con certeza que en ningún momento se anularán las derivadas.

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Ejemplo 3

Calcule la 1000-ésima derivada de $f(x) = \textit{\Large e}^{2x+1}$ . ¡¿La derivada de orden 1000?! El cálculo de esta derivada no es tan complicada como parece, calculemos las primeras derivadas para ver si podemos encontrar una formal general

$f'(x) = \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2 \textit{\Large e}^{2x+1}$

$f''(x) = 2 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}$

$f'''(x) = 2^2 \textit{\Large e}^{2x+1}\cdot 2 = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1}$

$f^{(4)}(x) = 2^3 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1}$

$f^{(5)}(x) = 2^4 \textit{\Large e}^{2x+1} \cdot 2 = 2^5 \textit{\Large e}^{2x+1}$

Observando las derivadas de orden superior de $f(x)$ podemos notar que de forma general, la n-ésima derivada, estará expresada de la forma

$f^{(n)} = 2^n \textit{\Large e}^{2x+1}$

Así, la derivada de orden 1000 de $f(x)$ será igual a $2^{1000} \textit{\Large e}^{2x+1}$ .

Ejemplo 4

Calcule la sétima derivada $f(x) = 2 x^{6} - 7 \sqrt{x} + 5$ . Es necesario calcular las primeras seis derivadas antes de calcular la séptima.

$f ' (x) = 12 x^{5} - \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

$f '' (x) = 60 x^{4} + \frac{7}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

$f ''' (x) = 240 x^{3} - \frac{21}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

$f^{( 4 )}(x) = 720 x^{2} + \frac{105}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

$f^{( 5 )}(x) = 1440 x - \frac{735}{32 x^{\frac{9}{2}}}$

$f^{( 6 )}(x) = 1440 + \frac{6615}{64 x^{\frac{11}{2}}}$