Criterio de la Segunda Derivada

Estudiando la concavidad de una función es posible determinar si un punto crítico es un extremo local de dicha función. Intuitivamente, lo que ocurre es que al fijar un punto crítico de una función, si la función se dobla hacia abajo, entonces esta alcanza un punto máximo; por otra parte, si la función se dobla hacia arriba, entonces esta alcanza un punto mínimo.

A partir de estas observaciones podemos establecer un criterio que nos permita como determinar los máximos y mínimos de una función usando su segunda derivada. Formalmente, si x_0 es un punto crítico en un intervalo (a,b) tal que

  • f''(x_0) < 0, entonces f(x) alcanza un máximo local en x_0.
  • f''(x_0) > 0, entonces f(x) alcanza un mínimo local en x_0.

Este criterio se conoce como el criterio de la segunda derivada y será de utilidad para determinar extremos locales en el caso que trabajar con la primera derivada sea muy laborioso. Veamos en los siguientes ejemplos como determinar máximos y mínimos locales usando la segunda derivada.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Determine los extremos locales de la función f(x) = -9x^2 + 15.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=-18x, notando que -18x=0 \Rightarrow x=0. Por lo tanto x_0=0 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos f''(x)=-18 y como -18 siempre es negativo, entonces concluimos que la función f(x) = -9x^2 + 15 alcanza un máximo local en x_0=0.

Ejemplo 2

Determine los extremos locales de la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2}.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=2x\textit{\Large e}^{x^2}, notando que 2x\textit{\Large e}^{x^2}=0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0. Por lo tanto x_0=0 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y obtenemos f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1) y como la expresión 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1) siempre es positiva, entonces concluimos que la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2} alcanza un mínimo local en x_0=0.

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Ejemplo 3

Determine los extremos locales de la función f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=x^2 - 12x=x(x-12), notando que x(x-12)=0 si x = 0 o x=12. Por lo tanto x_1= 0 o x_2=12 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de f(x) y obtenemos que f''(x) = 2x-12. Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

  • f''(0) = 2(0) - 12 = -12 < 0, entonces f(x) alcanza un máximo local en x_1=0.
  • f''(12) = 2(12) - 12 = 12 > 0, entonces f(x) alcanza un mínimo en x_2=12.

Ejemplo 4 (Sugerido por una usuaria de totumat)

Determine los extremos locales de la función f(x) = 4x-x^4.

El primer paso es determinar los puntos críticos. Calculamos la primera derivada de esta función y obtenemos que f'(x)=4-4x^3, notando que

4-4x^3=0 si x = 1.

Por lo tanto x_1= 1 es el punto crítico de esta función.

El segundo paso es aplicar el criterio de la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de f(x) y obtenemos que f''(x) = -12x^2. Evaluamos esta segunda derivada en los puntos críticos y verificamos con el criterio.

  • f''(1) = -12(1)^2 = -12 < 0, entonces f(x) alcanza un máximo local en x_1=1.

Concavidad

Al estudiar el comportamiento de una función, más allá de determinar como crece o decrece, también es importante determinar la forma en que esta crece, particularmente la forma en que se dobla, esto lo haremos comparando la función la recta que uno cualquiera de sus puntos.

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Funciones convexas

Definimos una función convexa (cóncava hacia arriba) como una función que siempre está por debajo de las rectas que unen cualesquiera dos puntos de ella. Formalmente, diremos que una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo (a,b) si para todo x_1,x_2 \in (a,b)

f(x) < \left( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \right) (x-x_1)+f(x_1) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} < \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}

Definidas de esta forma, podemos notar además, que las funciones convexas siempre estarán por encima de cualquier recta tangente a la curva que definen. Formalmente, si x_0 es un punto del intervalo (a,b), entonces

f(x) \geq f'(x)(x-x_0) - f(x_0) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq f'(x)

Es notable que la pendiente de las rectas tangentes a las funciones convexas tienen una tendencia creciente, al menos en el gráfico que hemos expuesto se puede observar con claridad que a medida que crece el valor de x, estas pendientes pasan de ser negativas (inclinadas hacia abajo) a ser positivas (inclinadas hacia arriba).

Funciones cóncavas

Definimos una función cóncava (cóncava hacia abajo) como una función que siempre está por encima de las rectas que unen cualesquiera dos puntos de ella. Formalmente, diremos que una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo (a,b) si para todo x_1,x_2 \in (a,b)

f(x) > \left( \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \right) (x-x_1)+f(x_1) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_1)}{x-x_1} > \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}

Definidas de esta forma, podemos notar además, que las funciones cóncavas siempre estarán por debajo de cualquier recta tangente a la curva que definen. Formalmente, si x_0 es un punto del intervalo (a,b), entonces

f(x) \geq f'(x)(x-x_0) - f(x_0) \Longleftrightarrow \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \geq f'(x)

Es notable que la pendiente de las rectas tangentes a las funciones cóncavas tienen una tendencia decreciente, al menos en el gráfico que hemos expuesto se puede observar con claridad que a medida que crece el valor de x, estas pendientes pasan de ser positivas (inclinadas hacia arriba) a ser negativas (inclinadas hacia abajo).

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Criterio de Concavidad

Si una función es convexa, entonces las pendientes de las rectas tangentes tienen una tendencia creciente, es decir, la función f'(x) es creciente. De igual forma, si una función es cóncava, entonces las pendientes de las rectas tangentes tienen una tendencia decreciente, es decir, la función f'(x) es decreciente.

Estas caracterizaciones que hemos notado se pueden usar para determinar criterios sobre la concavidad de una función de la siguiente forma: Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b), si para todo x \in (a,b)

  • f''(x) > 0, entonces f(x) es convexa.
  • f''(x) < 0, entonces f(x) es cóncava.

Esto se debe a que si la segunda derivada de una función es positiva, eso implica que la primera derivada es creciente y así, la función es convexa. Por otra parte, si la segunda derivada de una función es negativa, eso implica que la primera derivada es decreciente y así, la función es cóncava. Sin embargo, encontramos puntos en los que la función deja de ser convexa para ser cóncava o; deja de ser cóncava para empezar a ser convexa, entonces nos preguntamos, ¿qué ocurre en estos puntos?

Puntos de Inflexión

Los puntos en el que una función cambia de concavidad, serán llamados puntos de inflexión y estarán íntimamente relacionados con la segunda derivada de la función pues en estos puntos, la derivada de la función no es creciente ni decreciente. Los candidatos perfectos son los puntos x_0 tales que f''(x_0) = 0.

Sin embargo, son tan solo candidatos pues no podemos asegurar su papel hasta no determinarlo de forma precisa. Para esto, debemos estudiar el comportamiento de la función en los lados del punto en cuestión. Formalmente, x_0 es un punto de inflexión de f(x) en un intervalo (a,b) si para todo x \in (a,b)

  • f''(x) > 0 cuando x < x_0 y f''(x) < 0 cuando x > x_0.
  • f''(x) < 0 cuando x < x_0 y f''(x) > 0 cuando x > x_0.

Veamos en los siguientes ejemplos como determinar concavidad de una función usando la segunda derivada.

Ejemplos

Ejemplo 1

Determine la concavidad de la función f(x) = 3x^2 - 5 en todo su dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f»(x) = 6$. Notamos inmediatamente que f'(x) = 6 > 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es convexa en todo su dominio.

Ejemplo 2

Determine la concavidad de la función f(x) = -\frac{10}{x^4} en el intervalo (3,10).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f'(x) = -\frac{200}{x^6}$. Notamos inmediatamente que 200 es un número positivo y la expresión x^6 siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = -\frac{200}{x^2} < 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es cóncava en el intervalo (3,10), e incluso podemos afirmar que es cóncava en todo su dominio.

Ejemplo 3

Determine la concavidad de la función f(x) = \textit{\Large e}^{x^2} en el intervalo (-5,12).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que f''(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1). Notamos inmediatamente que la expresión 2x^2+1 siempre es un número positivo y la expresión 2\textit{\Large e}^{x^2} siempre es un número positivo, por lo tanto, f'(x) = 2\textit{\Large e}^{x^2}(2x^2+1)> 0 para todo número real x. Entonces, tomando en cuenta el criterio de concavidad, concluimos que la función es convexa en el intervalo (-5,12), e incluso podemos afirmar que es convexa en todo su dominio.

Ejemplo 4

Determine la concavidad de la función f(x) = \frac{x^3}{3} - 6x^2 en su todo dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty).

Para esto calculamos la segunda derivada de f(x) y obtener que $f»(x) = 2x-12$. Nos preguntamos, ¿esta expresión es positiva o es negativa? La respuesta depende del valor de x, es por esto que tenemos que segmentar nuestra respuesta.

f'(x) < 0 si x<6, entonces f(x) es cóncava si x \in (-\infty,6). f'(x) > 0 si x>6, entonces f(x) es convexa si x \in (6,+\infty).

Notemos que la solución se parte en el punto donde la derivada de la función es igual a cero.

Ejemplo 5

Determine la concavidad de la función f(x) = -\frac{7x^4}{12} + \frac{28x^2}{2} - 5\frac{x}{2} + 11 latex en su todo dominio, es decir, en el intervalo (-\infty,+\infty). Considerando que esta función requiere un poco más de esfuerzo, veamos como hacer esto siguiendo dos pasos.

El primer paso es calcular la segunda derivada de f(x) y calcular los puntos en que esta se anula. Entonces, f''(x) = -7x^2 + 14 = -7(x-2)(x+2) y esta función se anula cuando -7(x-2)(x+2). Así que x_1 = 2 y x_2 = -2 son los candidatos a ser puntos de inflexión de esta función.

El segundo paso es estudiar el signo de la segunda derivada para determinar la concavidad de la función, para esto usamos la tabla de análisis de signo.

De esta forma, concluimos que la función f(x)=-\frac{7x^4}{12} + \frac{28x^2}{2} - 5\frac{x}{2} + 11 es cóncava en los intervalos (-\infty,-2) y (-2,+\infty); y es convexa en el intervalo (-2,2), por lo tanto f(x) alcanza puntos de inflexión en x_1=-2 y x_2=2.


«Cóncavo y Convexo» de Roberto Carlos