Cómo dividir 630÷24

10.06.202113.12.2022 Anthonny Arias García1 comentario

Se ha levantado revuelo en Twitter por un tweet de una persona que no entiende cómo ha sido el procedimiento que ha llevado a cabo su hija para efectuar la operación 630÷24. A mi parecer, ambos procedimientos son iguales, salvo que en el primero se han hecho algunas cuentas mentales y en el segundo ha sido más detallado.

Considerando que en muchas de las respuestas indican que no saben efectuar esa división y aunque no veo ningún problema con eso, para los curiosos, comparto con detalle cual fue el procedimiento que ha usado la hija y veremos que ambos procedimientos expuestos son el mismo.

Mi hija divide restando. O sea, no divide. Resta.
¿Cómo dividen ustedes?
1 yo.
2.mi hija. pic.twitter.com/TuhjJQZWMv
— Loplau (@loplau) June 9, 2021

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Para empezar, debemos notar que la división 630÷24 se conoce como una división entre dos cifras, esto se debe a que el número 24 cuenta con dos cifras. Antes de empezar con el procedimiento para efectuar esta división, veamos con algunos ejemplos como dividir por un número de una cifra.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea exactamente igual a $13$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $13$ .

Particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto $3$ es menor que el divisor $5$ , ha concluido el procedimiento y decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 2

Si dividimos $125$ entre $9$ , pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por $9$ el resultado sea exactamente igual a $125$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $125$ .

Sin embargo, al ser $125$ un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de $125$ .

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $9$ el resultado sea exactamente igual a $12$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $12$ .

Particularmente el número que estamos buscando es $1$ pues $1 \cdot 9 = 9$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $12 - 9 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número $5$ y lo escribimos del lado derecho del $3$ .

Como $35$ es mayor que $9$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $9$ el resultado sea exactamente igual a $35$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $35$ .

Particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 9 = 27$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $35-27 = 8$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Como el resto $8$ es menor que el divisor $9$ , ha concluido el procedimiento y decimos que $125 = 13 \cdot 9 + 8$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

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Visto un ejemplo de una cifra y teniendo clara la idea de como efectuar una división, veamos qué es lo que ocurre al efectuar la división 630÷24:

630÷24

Si dividimos $630$ entre $24$ , debemos considerar que el número $24$ tiene dos cifras. Pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por $24$ el resultado sea exactamente igual a $630$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $630$ .

Sin embargo, al ser $630$ un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de $630$ .

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $24$ el resultado sea exactamente igual a $63$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $63$ .

Particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 24 = 48$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $63 - 48 = 15$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número $0$ y lo escribimos del lado derecho del $15$ .

Como $150$ es mayor que $24$ , buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $24$ el resultado sea exactamente igual a $150$ , pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que $150$ .

Notemos que $150$ es un número de tres cifras, pero si consideramos sólo las primeras dos cifras, no podemos continuar con el procedimiento pues $15$ es menor que $24$ .

Particularmente el número que estamos buscando es $6$ pues $6 \cdot 24 = 144$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $150-144 = 6$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Como el resto $6$ es menor que el divisor $24$ , ha concluido el procedimiento y decimos que $125 = 13 \cdot 9 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejercicios Propuestos – Operaciones básicas entre números reales

31.05.202107.12.2022 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Calcule el resultado de las siguientes expresiones matemáticas tomando en cuenta la jerarquía de las operaciones básicas y los signos de agrupación.

$90 + 58 \cdot 13$
$-54 + 3 \cdot 48$
$8 - 10 \cdot 12$
$-25 - 78 \cdot 34$

$( 11 + 52) \cdot 13$
$( -72 + 19) \cdot 88$
$( 56 - 65) \cdot 39$
$( -51 - 33) \cdot 4$

$78 + ( 50 + 54) \cdot 72$
$5 + ( 73 - 84) \cdot 37$
$95 - ( 64 + 53) \cdot 39$
$87 - ( 64 - 27) \cdot 30$

$4^2 + ( 2 + 7) \cdot 4$
$2^3 + ( 6 - 3) \cdot 7$
$5^2 - ( 9 + 2) \cdot 4$
$4^3 - ( 9 - 10) \cdot 9$

$53 + [ 9^3 + ( 4 + 8) \cdot 2 ]$
$62 - [ 4^2 + ( 9 + 6) \cdot 6 ]$
$95 + [ 3^2 - ( 1 + 7) \cdot 6 ]$
$86 - [ 2^2 + ( 2 - 9) \cdot 9 ]$

$7 \cdot [ 4^3 + ( 7 + 1) \cdot 2 ] + 17$
$8 \cdot [ 2^2 - ( 1 + 3) \cdot 5 ] - 25$
$2 \cdot [ 4^2 - ( 3 - 8) \cdot 3 ] + 93$
$8 \cdot [ 4^2 - ( 1 - 2) \cdot 7 ] - 15$

$(7^2 + 56 ) \cdot {6 + [ 6^2 + ( 5 + 6) \cdot 7 ] + 24}$
$(2^2 - 69 ) \cdot {2 + [ 3^2 + ( 7 + 6) \cdot 7 ] - 71}$
$(8^2 + 55 ) \cdot {8 - [ 10^2 + ( 9 - 9) \cdot 5 ] + 58}$
$(2^2 - 99 ) \cdot {10 + [ 10^2 - ( 2 - 3) \cdot 1 ] + 81}$

$\dfrac{ 68 + 96 \cdot 61 }{ 49 + 13 \cdot 78 }$
$\dfrac{ 98 + 10 \cdot 28 }{ 11 - 82 \cdot 73 }$
$\dfrac{ 53 - 93 \cdot 64 }{ 93 + 88 \cdot 92 }$
$\dfrac{ 71 - 7 \cdot 77 }{ 43 - 62 \cdot 79 }$

$73 + 84 \cdot \dfrac{ 42 }{ 78 + 29 \cdot 69 }$
$8 + 85 \cdot \dfrac{ 1 }{ 11 - 39 \cdot 59 }$
$70 - 44 \cdot \dfrac{ 2 }{ 19 + 96 \cdot 38 }$
$35 - 86 \cdot \dfrac{ 62 }{ 68 - 40 \cdot 64 }$

$\dfrac{ 32 + [ 8^2 + ( 10 + 1) \cdot 6 ] }{ 19 + [ 4^3 + ( 4 + 4) \cdot 5 ] }$
$\dfrac{ 62 - [ 8^3 + ( 5 + 9) \cdot 2 ] }{ 54 - [ 10^3 - ( 2 + 4) \cdot 7 ] }$
$\dfrac{ 76 - [ 5^2 - ( 4 + 7) \cdot 10 ] }{ 11 + [ 7^2 + ( 7 - 9) \cdot 2 ] }$
$\dfrac{ 44 - [ 10^2 - ( 1 - 4) \cdot 8 ] }{ 49 - [ 5^3 - ( 1 - 1) \cdot 7 ] }$

$81 + 8^2 + \dfrac{ ( 1 - 8) \cdot 8 ] }{ 6 - [ 8^2 - ( 6 + 4) \cdot 8 ] }$
$89 + 7^3 + \dfrac{ ( 4 - 3) \cdot 8 ] }{ 88 - [ 8^3 - ( 7 + 3) \cdot 1 ] }$
$54 + 10^3 + \dfrac{ ( 3 - 4) \cdot 5 ] }{ 93 - [ 4^3 - ( 4 + 9) \cdot 9 ] }$
$52 + 4^3 + \dfrac{ ( 3 - 7) \cdot 10 ] }{ 70 - [ 5^2 - ( 7 + 8) \cdot 9 ] }$

$\dfrac{ (4^3 - 68 ) \cdot {7 + [ 5^3 - ( 1 - 9) \cdot 6 ] + 52} }{ (2^3 - 91 ) \cdot {4 + [ 3^3 - ( 5 - 5) \cdot 10 ] + 19} }$
$\dfrac{ (10^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^2 - ( 10 - 4) \cdot 5 ] + 89} }{ (4^2 - 37 ) \cdot {10 + [ 9^3 - ( 4 - 10) \cdot 8 ] + 49} }$
$\dfrac{ (7^3 - 38 ) \cdot {1 + [ 6^3 - ( 3 - 6) \cdot 6 ] + 93} }{ (9^3 - 61 ) \cdot {1 + [ 6^2 - ( 4 - 8) \cdot 2 ] + 17} }$
$\dfrac{ (2^2 - 39 ) \cdot {1 + [ 3^2 - ( 3 - 1) \cdot 4 ] + 38} }{ (4^3 - 44 ) \cdot {10 + [ 6^3 - ( 10 - 2) \cdot 10 ] + 79} }$

$(5^3 + 98 ) + \dfrac{ 3\cdot{5 + [ 9^2 + ( 2 + 10) \cdot 9 ] + 20} }{ (9^3 + 48 ) \cdot {2 + [ 6^3 + ( 1 + 4) \cdot 10 ] + 95} }$
$(3^2 + 42 ) - \dfrac{ 7\cdot{3 + [ 2^3 + ( 1 + 7) \cdot 3 ] + 90} }{ (8^3 + 32 ) \cdot {8 + [ 3^2 + ( 1 + 10) \cdot 9 ] + 82} }$
$-(2^2 + 5 ) + \dfrac{ 4\cdot{8 + [ 4^3 + ( 6 + 10) \cdot 7 ] + 21} }{ (8^2 + 81 ) \cdot {7 + [ 2^3 + ( 4 + 3) \cdot 2 ] + 26} }$
$-(6^3 + 63 ) - \dfrac{ 6\cdot{5 + [ 8^2 + ( 5 + 2) \cdot 6 ] + 37} }{ (10^2 + 5 ) \cdot {1 + [ 6^2 + ( 3 + 1) \cdot 7 ] + 51} }$

Ley de los Signos

18.03.202117.12.2022 Anthonny Arias García3 comentarios

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales $a$ y $b$ ; y para ser enfáticos, los denotaremos con $+a$ y $+b$ . En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con $-a$ y $-b$ , entonces tenemos que:

$(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)$

$(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)$

$(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

$(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)$

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto $3 \cdot 3$ , el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$3 \cdot 3 = 9$

Ejemplo 2

Para efectuar el producto $2 \cdot \sqrt(5)$ , el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$

Ejemplo 3

Para efectuar el producto $(-2) \cdot 5$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10$

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto $(-3) \cdot \frac{1}{3}$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$(-3) \cdot \frac{1}{3} = - ( 3 \cdot \frac{1}{3} ) = -1$

Ejemplo 5

Para efectuar el producto $6 \cdot (-3)$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18$

Ejemplo 6

Para efectuar el producto $10 \cdot (-\sqrt{7})$ , el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

$10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}$

Ejemplo 7

Para efectuar el producto $(-4) \cdot (-8)$ , el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32$

Ejemplo 8

Para efectuar el producto $(-x) \cdot (-x)$ , donde $x$ es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

$(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2$

Operaciones entre polinomios

16.01.202107.12.2022 Anthonny Arias García2 comentarios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de $x$ como factor, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , donde el grado de $P(x)$ es mayor que el grado de $Q(x)$ , es decir, $m \geq n$ ; definimos la suma $P(x)+Q(x)$ de la siguiente forma:

De igual forma, definimos la resta $P(x)-Q(x)$ de la siguiente forma:

Notando que si el grado de $P(x)$ es estrictamente mayor que el grado de $Q(x)$ , entonces completamos el polinomio $Q(x)$ con coeficientes ceros, es decir, $b_i = 0$ para todo $i > n$ .

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = 7x + 1$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3$ .

Ejemplo 2

Considerando los polinomios $P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12$ y $Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3$ , calcule la suma $P(x) + Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15$ .

Ejemplo 3

Considerando los polinomios $P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4$ y $Q(x) = 2x + 3$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7$ .

Ejemplo 4

Considerando los polinomios $P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5$ y $Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x$ , calcule la resta $P(x) - Q(x)$ .

Por lo tanto, $P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5$ .

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Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios $P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0$ y $Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0$ , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

Producto o Multiplicación de Polinomios | totumat.com

Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}$

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios $P(x) = 4 x + 3$ y $Q(x) = - 10 x - 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 40 x^{2} - 46 x - 12$

Ejemplo 6

Considerando los polinomios $P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2$ y $Q(x) = x^{2} + 5 x + 6$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12$

Ejemplo 7

Considerando los polinomios $P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ y $Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42$

Ejemplo 9

Considerando los polinomios $P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2$ y $Q(x) = 9 x^{2} - x + 4$ . Calcule el producto $P(x) \cdot Q(X)$ , es decir,

$\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)$

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

Por lo tanto el producto de los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ es igual a

$- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8$

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División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando $p$ y $q$ dos números enteros, al dividir $p$ entre $q$ , buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ el resultado sea exactamente $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por $q$ , el resultado sea mayor de los enteros menores que $p$ , es decir, un número entero $c$ tal que

$p = c \cdot q + r$

Donde $0 < r < a$ . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número $r$ lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como $r = p - c \cdot q$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $r=0$ . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos $8$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $8$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 4 = 8$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $8 - 8 = 0$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $8 = 2 \cdot 4 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos $13$ entre $5$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $5$ el resultado sea o que está cerca de $13$ , particularmente el número que estamos buscando es $2$ pues $2 \cdot 5 = 10$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $13 - 10 = 3$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $13 = 2 \cdot 5 + 3$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos $21$ entre $4$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $4$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $5$ pues $5 \cdot 4 = 20$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 20 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 5 \cdot 4 + 1$ . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos $21$ entre $7$ , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por $7$ el resultado sea o que está cerca de $21$ , particularmente el número que estamos buscando es $3$ pues $3 \cdot 7 = 21$ y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a $21 - 21 = 1$ , esto lo expresamos de la siguiente forma:

Por lo tanto decimos que $21 = 3 \cdot 7 + 0$ . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos $P(x)$ y $Q(x)$ dos polinomios tales que el grado de $Q(x)$ es menor o igual que el grado de $P(x)$ , al dividir $P(x)$ entre $Q(x)$ , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el resultado sea exactamente $P(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x)$

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por $Q(x)$ el polinomio resultante tenga el mismo grado que $P(x)$ y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de $Q(x)$ , es decir, un polinomio $C(x)$ tal que

$P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Donde $gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right)$ . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, $R(x) = 0$ . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ entre el polinomio $Q(x) = x + 1$ , entonces los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = x + 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = x + 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = x^2 + x + 3$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3$

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ entre el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ , en este caso el polinomio que estamos buscando es $4x$ y lo escribimos de la siguiente forma

El siguiente paso será multiplicar el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ por $x$ y el resultado se lo restamos al polinomio $P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio $-10x^2 + 4x$ .

En este caso el polinomio que estamos buscando es $-5$ y lo multiplicamos por el polinomio $Q(x) = 2x^2 + x - 1$ ; el resultado se lo restamos al polinomio $-10x^2 + 4x$ de la siguiente forma

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio $Q(x)$ , Por lo tanto, concluimos que

$8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7$

El Método de Ruffini

16.11.201919.12.2022 Anthonny Arias García19 comentarios

Al dividir números enteros, podemos usar un método conocido como la división larga y esta se generaliza para definir un método que permite efectuar la división entre polinomios. Sin embargo, este no es el único método.

Si consideramos de forma particular un polinomio $P(x)$ de grado $n$ y un polinomio $Q(x)=(x-r)$ de grado uno, presentaremos en esta sección, un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

$\frac{P(x)}{(x-r)}$

Este método se conoce como el Método de Ruffini y permite de forma directa efectuar este tipo de divisiones. Ya que el caso general considerando constantes arbitrarias puede resultar confuso para aquellas personas en niveles básicos de matemáticas, veremos con algunos ejemplos cómo se desarrolla este método.

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Método de Ruffini: División de Polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean $P(x)=4x^3+x^2-3x+5$ y $Q(x)=(x-1)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 4, 1, -3 y 5.

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=1$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & & & \\ \hline & 4 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=1$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así: uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & & \\ \hline & 4 & 5 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente: uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al término independiente. uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & 2 \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \multicolumn{1}{|c}{7} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio $C(x)$ (que será un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (4x^2 + 5x + 2) \cdot (x-1) + 7$

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Ejemplo 2

Sean $P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24$ y $Q(x)=(x-2)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 0, -15, 10 y 42. Si hay sumandos faltantes, es necesario completar el polinomio. Es decir,

$P(x)=x^4 + 0x^3 - 15x^2 + 10x + 24$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=2$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=2$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & & & \\ \hline & 1 & 2 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2) + 0 = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2)$

Notemos que si al dividir un polinomio $P(x)$ por un polinomio $Q(x)=(x-r)$ , la división es exacta, se concluye inmediatamente que $r$ es una raíz del polinomio $P(x)$ , por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio $P(x)$ dividiendo a este por polinomios de la forma $(x-r)$ y verificado para cuáles casos esta división es exacta.

Ejemplo 3: Propuesto por un usuario de totumat

Sean $P(x)=- x^2 + x^4 + x^3 - 2x- 2$ y $Q(x)=x+\sqrt{2}$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 1, -1, -2 y -2. Si los sumandos no están ordenados desde el mayor exponente hasta el menor exponente, es necesario reordenar el polinomio, es decir,

$P(x)=x^4 + x^3 - x^2 - 2x- 2$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=-\sqrt{2}$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio $P(x)$ por $r=-\sqrt{2}$ y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & 2 \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})$

De esta última expresión podemos concluir que $r=2$ es una raíz del polinomio $P(x)$ .

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Método de Ruffini: Cálculo de Raíces Enteras

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado $n$ que cuenta con $n$ raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos $P(x) = (x-2)(x+3)$ , éste se puede expandir como $P(x) = x^2 +x - 6$ . Las raíces de este polinomio son $2$ y $-3$ , que son algunos de los divisores de $-6$ .

Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

los divisores del término independiente $a_0$ serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio $P(x)$ , pues al dividir por $(x-r)$ , si esta división es exacta, concluimos que $r$ es una raíz de $P(x)$ . Considerando de forma particular, $r$ como los divisores del término independiente del polinomio $P(x)$ ).

Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Sea $P(x)=x^3+4x^2-x-4$ , consideremos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Tomemos el primero de estos divisores que es $1$ y apliquemos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Como el resto de la división es cero, concluimos que $1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $1$ es también raíz de este polinomio:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 1 & & 1 & 5 \\ \cline{1-4} & 1 & 6 & \multicolumn{1}{|c}{10} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será $-1$ .

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} -1 & & -1 & -4 \\ \cline{1-4} & 1 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que $-1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $-1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $-1$ es también raíz de este polinomio.

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $-1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces.

Si continuamos haciendo el mismo procedimiento con $2$ , $-2$ y $4$ concluimos que ninguno de estos es raíz del polinomio $P(x)$ , sin embargo, al verificar con $-4$ obtenemos que:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $1$ , $-1$ y $4$ . Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

$P(x)=x^3+4x^2-x-4 = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x-4)$

Ejemplo 5

Sea $P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ , consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ y $\pm 12$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -9 \ & \ 4 \ & \ 12 \ \\ -1 & & -1 & 1 & 8 & -12 \\ \cline{1-6} & 1 & -1 & -8 & 12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 2 & & 2 & 2 & -12 \\ \cline{1-5} & 1 & 1 & -6 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 2 & & 2 & 6 & \\ \cline{1-4} & 1 & 3 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} -3 & & -3 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $-1$ , $2$ , $2$ y $-3$ . Notamos que el número dos se repite dos veces al desarrollar el Método de Ruffini, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+3)$

Que a su vez, multiplicando $(x-2) \cdot (x-2)$ obtenemos lo siguiente:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2)^2 \cdot (x+3)$

Ejemplo 6

Sea $P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768$ . Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener $P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256)$ consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , $\pm 16$ , $\pm 32$ , $\pm 64$ , $\pm 128$ y $\pm 256$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ -16 \ & \ 96 \ & \ -256 \ & \ 256 \ \\ 4 & & 4 & -48 & 192 & -256 \\ \cline{1-6} & 1 & -12 & 48 & -64 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 4 & & 4 & -32 & 64 \\ \cline{1-5} & 1 & -8 & 16 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 4 & & 4 & -16 & \\ \cline{1-4} & 1 & -4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} 4 & & 4 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $latex4$, $latex4$, $latex4$ y $latex4$. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x) = 3 \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) = (x-4)^4$

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente para no extender la lectura, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada los casos en que el resto es igual a cero.

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

630÷24

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Ejemplo

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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Suma de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Producto de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Ejemplo 9

División de polinomios

Ejemplos

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Ejemplos

Ejemplo 13

Ejemplo 14

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Método de Ruffini: División de Polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3: Propuesto por un usuario de totumat

Método de Ruffini: Cálculo de Raíces Enteras

Ejemplos

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Ejercicios propuestos por los usuarios de totumat

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