Cómo dividir 630÷24

Se ha levantado revuelo en Twitter por un tweet de una persona que no entiende cómo ha sido el procedimiento que ha llevado a cabo su hija para efectuar la operación 630÷24. A mi parecer, ambos procedimientos son iguales, salvo que en el primero se han hecho algunas cuentas mentales y en el segundo ha sido más detallado.

Considerando que en muchas de las respuestas indican que no saben efectuar esa división y aunque no veo ningún problema con eso, para los curiosos, comparto con detalle cual fue el procedimiento que ha usado la hija y veremos que ambos procedimientos expuestos son el mismo.

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Para empezar, debemos notar que la división 630÷24 se conoce como una división entre dos cifras, esto se debe a que el número 24 cuenta con dos cifras. Antes de empezar con el procedimiento para efectuar esta división, veamos con algunos ejemplos como dividir por un número de una cifra.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si dividimos 13 entre 5, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 5 el resultado sea exactamente igual a 13, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 13.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 5 = 10 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 13 - 10 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Como el resto 3 es menor que el divisor 5, ha concluido el procedimiento y decimos que 13 = 2 \cdot 5 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 2

Si dividimos 125 entre 9, pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 125, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 125.

Sin embargo, al ser 125 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 125.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 12, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 12.

Particularmente el número que estamos buscando es 1 pues 1 \cdot 9 = 9 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 12 - 9 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 5 y lo escribimos del lado derecho del 3.

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Como 35 es mayor que 9, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 9 el resultado sea exactamente igual a 35, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 35.

Particularmente el número que estamos buscando es 3 pues 3 \cdot 9 = 27 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 35-27 = 8, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 8 es menor que el divisor 9, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 8. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

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Visto un ejemplo de una cifra y teniendo clara la idea de como efectuar una división, veamos qué es lo que ocurre al efectuar la división 630÷24:

630÷24

Si dividimos 630 entre 24, debemos considerar que el número 24 tiene dos cifras. Pudiéramos buscar un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 630, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 630.

Sin embargo, al ser 630 un número de tres cifras, podemos facilitar las cuentas (aunque alargando el procedimiento) considerando sólo las primeras dos cifras de 630.

Entonces, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 63, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 63.

Particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 24 = 48 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 63 - 48 = 15, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Una vez que hemos dado este primer paso, bajamos el número 0 y lo escribimos del lado derecho del 15.

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Como 150 es mayor que 24, buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 24 el resultado sea exactamente igual a 150, pero si no existe este número, buscamos un resultado que esté lo más cercano posible pero menor que 150.

Notemos que 150 es un número de tres cifras, pero si consideramos sólo las primeras dos cifras, no podemos continuar con el procedimiento pues 15 es menor que 24.

Particularmente el número que estamos buscando es 6 pues 6 \cdot 24 = 144 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 150-144 = 6, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Como el resto 6 es menor que el divisor 24, ha concluido el procedimiento y decimos que 125 = 13 \cdot 9 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ley de los Signos

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot  \frac{1}{3}  = - ( 3 \cdot  \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot  \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2


Operaciones entre polinomios

Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.

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Suma de polinomios

Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de x como factor, de forma que si consideramos dos polinomios P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0 y Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0, donde el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), es decir, m \geq n; definimos la suma P(x)+Q(x) de la siguiente forma:

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De igual forma, definimos la resta P(x)-Q(x) de la siguiente forma:

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Notando que si el grado de P(x) es estrictamente mayor que el grado de Q(x), entonces completamos el polinomio Q(x) con coeficientes ceros, es decir, b_i = 0 para todo i > n.

Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando los polinomios P(x) = 3x^2 - 5x + 2 y Q(x) = 7x + 1, calcule la suma P(x) + Q(x).

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Por lo tanto, P(x) + Q(x) = 3 x^2 + 2x + 3.

Ejemplo 2

Considerando los polinomios P(x) = 4x^6 + x^4 - 2x^2 + 9x + 12 y Q(x) = 3x^6 - 8x^5 + 4x^4 + x - 3, calcule la suma P(x) + Q(x).

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Por lo tanto, P(x) + Q(x) = 7x^6 + 8x^5 - 5x^4 - 2x^2 + 10x + 15.

Ejemplo 3

Considerando los polinomios P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 4 y Q(x) = 2x + 3, calcule la resta P(x) - Q(x).

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Por lo tanto, P(x) - Q(x) = 6x^3 + 7x^2 - 2x - 7.

Ejemplo 4

Considerando los polinomios P(x) = -12x^6 + 3x^5 + 3x^4 - x^2 + 8x + 5 y Q(x) = x^6 + 5x^5 + 2x^4 - 4x^3 - 10x^2 - x, calcule la resta P(x) - Q(x).

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Por lo tanto, P(x) - Q(x) = 11x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 9x + 5.


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Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios P(x) = a_m x^m + \ldots + a_1 x + a_0 y Q(x) = b_n x^n + \ldots + b_1 x + b_0, podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma

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Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:

\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j x^{i+j}

Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.

Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 5

Considerando los polinomios P(x) = 4 x + 3 y Q(x) = - 10 x - 4. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 4 x + 3 \right) \cdot \left( - 10 x - 4 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 40 x^{2} - 46 x - 12

Ejemplo 6

Considerando los polinomios P(x) = 6 x^{2} - 8 x + 2 y Q(x) = x^{2} + 5 x + 6. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 6 x^{2} - 8 x + 2 \right) \cdot \left( x^{2} + 5 x + 6 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

6 x^{4} + 22 x^{3} - 2 x^{2} - 38 x + 12

Ejemplo 7

Considerando los polinomios P(x) = 3 x^{2} - 6 x + 6 y Q(x) = - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( 3 x^{2} - 6 x + 6 \right) \cdot \left( - 9 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x + 7 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 27 x^{5} + 39 x^{4} - 12 x^{3} - 33 x^{2} - 18 x + 42

Ejemplo 9

Considerando los polinomios P(x) = - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 y Q(x) = 9 x^{2} - x + 4. Calcule el producto P(x) \cdot Q(X), es decir,

\left( - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 2 \right) \cdot \left( 9 x^{2} - x + 4 \right)

Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes

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Por lo tanto el producto de los polinomios P(x) y Q(x) es igual a

- 36 x^{5} + 13 x^{4} - 35 x^{3} + 24 x^{2} - 10 x + 8


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División de polinomios

Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando p y q dos números enteros, al dividir p entre q, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q el resultado sea exactamente p, es decir, un número entero c tal que

p = c \cdot q

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por q, el resultado sea mayor de los enteros menores que p, es decir, un número entero c tal que

p = c \cdot q + r

Donde 0 < r < a. Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número r lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como r = p - c \cdot q. Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, r=0. Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 9

Si dividimos 8 entre 4, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea o que está cerca de 8, particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 4 = 8 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 8 - 8 = 0, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Por lo tanto decimos que 8 = 2 \cdot 4 + 0. En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.

Ejemplo 10

Si dividimos 13 entre 5, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 5 el resultado sea o que está cerca de 13, particularmente el número que estamos buscando es 2 pues 2 \cdot 5 = 10 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 13 - 10 = 3, esto lo expresamos de la siguiente forma:

División de Números Enteros | totumat.com

Por lo tanto decimos que 13 = 2 \cdot 5 + 3. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 11

Si dividimos 21 entre 4, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 4 el resultado sea o que está cerca de 21, particularmente el número que estamos buscando es 5 pues 5 \cdot 4 = 20 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 21 - 20 = 1, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Por lo tanto decimos que 21 = 5 \cdot 4 + 1. En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.

Ejemplo 12

Si dividimos 21 entre 7, entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por 7 el resultado sea o que está cerca de 21, particularmente el número que estamos buscando es 3 pues 3 \cdot 7 = 21 y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a 21 - 21 = 1, esto lo expresamos de la siguiente forma:

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Por lo tanto decimos que 21 = 3 \cdot 7 + 0. En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.


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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos P(x) y Q(x) dos polinomios tales que el grado de Q(x) es menor o igual que el grado de P(x), al dividir P(x) entre Q(x), buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) el resultado sea exactamente P(x), es decir, un polinomio C(x) tal que

P(x) = C(x) \cdot Q(x)

En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por Q(x) el polinomio resultante tenga el mismo grado que P(x) y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de Q(x), es decir, un polinomio C(x) tal que

P(x) = C(x) \cdot Q(x) + R(x)

Donde gr\left( R(x) \right) < gr\left( Q(x) \right) \leq gr\left( P(x) \right). Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, R(x) = 0. Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.

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Ejemplos

Ejemplo 13

Si dividimos el polinomio P(x) = x^2 + x + 3 entre el polinomio Q(x) = x + 1, entonces los escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = x + 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio P(x) = x^2 + x + 3, en este caso el polinomio que estamos buscando es x y lo escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será multiplicar el polinomio Q(x) = x + 1 por x y el resultado se lo restamos al polinomio P(x) = x^2 + x + 3 de la siguiente forma

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Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), Por lo tanto, concluimos que

x^2 + x + 3 = x \cdot (x+1) + 3

Ejemplo 14

Si dividimos el polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2 entre el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1, entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2, en este caso el polinomio que estamos buscando es 4x y lo escribimos de la siguiente forma

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El siguiente paso será multiplicar el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 por x y el resultado se lo restamos al polinomio P(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2 de la siguiente forma

División de Polinomios | totumat.com

Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1 el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio -10x^2 + 4x.

En este caso el polinomio que estamos buscando es -5 y lo multiplicamos por el polinomio Q(x) = 2x^2 + x - 1; el resultado se lo restamos al polinomio -10x^2 + 4x de la siguiente forma

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Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio Q(x), Por lo tanto, concluimos que

8x^3 - 6x^2 - 2 = (4x-5) \cdot (2x^2 + x - 1) + 9x-7


El Método de Ruffini

Una vez que hemos definido la división entre polinomios, si consideramos particularmente un polinomio P(x) de grado n y un polinomio Q(x)=(x-r) de grado uno, presentaremos un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de al forma

\frac{P(x)}{(x-r)}

Utilizando un método alternativo conocido como el Método de Ruffini. Debido a que el caso general puede resultar engorroso de exponer, lo explicaremos con algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean P(x)=4x^3+x^2-3x+5 y Q(x)=(x-1) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=1 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

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El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

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uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

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uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24 y Q(x)=(x-2) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=2 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Multiplicamos el resultado de esta suma por r y el resultado lo sumamos al término independiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio P(x) por un polimonio Q(x)=(x-r), la división es exacta, se concluye inmediatamente que r es una raíz del polinomio P(x), por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio P(x) dividiendo a este por polinomios de la forma (x-r) y verificado para cuales casos esta división es exacta.

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Calcular raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Polinomio factorizado de Grado n | totumat.com
Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

Polinomio de Grado n | totumat.com

los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 3

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

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Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

El Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

El Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 4

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x - 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 5

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.