Ley de los Signos

Al efectuar el producto entre números reales, debemos ser estar muy atentos al signo de los factores involucrados para llegar a la conclusión correcta. Es por esto que enunciaremos los cuatro casos que se pueden presentar al efectuar el producto de de dos factores.

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Consideremos dos números reales a y b; y para ser enfáticos, los denotaremos con +a y +b. En contraparte, consideremos sus opuestos aditivos denotados con -a y -b, entonces tenemos que:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 1

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 2

Para efectuar el producto 2 \cdot \sqrt(5), el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

2 \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}

Ejemplo 3

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

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Ejemplo 4

Para efectuar el producto (-3) \cdot \frac{1}{3}, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-3) \cdot  \frac{1}{3}  = - ( 3 \cdot  \frac{1}{3} ) = -1

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 6

Para efectuar el producto 10 \cdot (-\sqrt{7}), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

10 \cdot (- \sqrt{7}) = - (10 \cdot  \sqrt{7}) = -10 \sqrt{7}

Ejemplo 7

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-x) \cdot (-x), donde x es una variable real. Notemos que si bien no sabemos si la variable es positiva o negativa, el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-x) \cdot (-x) = (x \cdot x) = x^2


Inecuaciones Cuadráticas (2 de 2)

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Caso 2: ax^2+bx+c < 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q < 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q < 0
ó
p > 0 \text{ y } q < 0

Es decir, p y q deben deben ser siempre uno negativo y otro positivo. Ya que “más por menos es menos” y “menos por más es menos”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “menor o igual” (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x+4) \cdot (x-1) < 0

x+4 > 0 \text{ y } x-1 < 0
ó
x+4 < 0  \text{ y }  x-1 > 0

Posteriormente despejamos la variable x de cada una de estas inecuaciones lineales e identificamos cada línea para presentar la solución de la siguiente manera:

x > -4 \text{ y } x < 1 (1)
ó
x < -4 \text{ y } x > 1 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

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Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

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la intersección de los dos conjuntos es vacía

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con (1) o todos los elementos que cumplen con (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + x - \dfrac{3}{4}  \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a = 1, b = 1 y c = -\dfrac{3}{4}:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ 1  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -\dfrac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \dfrac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizar la inecuación cuadrática de la forma:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

Solución 1:

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

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Solución 2:

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

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Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

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Inecuaciones Cuadráticas (1 de 2)

¡Retomemos la Ley de los Signos!

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas, es posible definir las inecuaciones cuadráticas considerando tres números reales a, b y c, de la siguiente forma

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Donde > pudiera ser cualquier desigualdad.

Donde “>” representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq. Tomando en cuenta que al conocer las raíces de un polinomio cuadrático, éste se puede reescribir como el producto de dos factores, plantearemos la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la ley de los signos.

Para esto hacemos dos preguntas: ¿Cuándo el producto de dos números es positivo? y, ¿cuándo el producto de dos números es negativo? Para responderlas, debemos plantear dos casos:

Caso 1: ax^2+bx+c > 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q > 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q > 0
ó
p < 0 \text{ y }  q < 0

Es decir, ambos números p y q deben ser ambos positivos o ambos negativos al mismo tiempo. Ya que “más por más es más” y “menos por menos es más”. Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad “mayor o igual” (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x-2) \cdot (x+3) > 0

Consideremos una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado de la siguiente forma: (x-2) \cdot (x+3) > 0, Entonces, considerando los dos factores (x-2) y (x+3) tenemos que

x-2 > 0 \text{ y } x+3 > 0
ó
x-2 < 0 \text{ y } x+3 < 0

Notamos entonces que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad. Así,

x > 2 \text{ y } x > -3 (1)
ó
x < 2 \text{ y } x < -3 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución (1): Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

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intersección de los dos intervalos

Solución (2): Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

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intersección de los dos intervalos

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

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unión de los dos intervalos

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + 6x + 8  \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8:

x  =  \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ -6  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos reescribir la inecuación cuadrática de la forma: (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) \geq 0 que a su vez se puede expresar como

(x  +2 ) \cdot (x  +4 ) \geq 0

x+2 \geq 0 \text{ y } x+4 \geq 0 (1)
ó
x+2 \leq 0 \text{ y } x+4 \leq 0 (2)

\Rightarrow  x \geq -2 \text{ y } x \geq -4 (1)
ó
\Rightarrow  x \leq -2 \text{ y } x \leq -4 (2)

Solución (1):

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

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Solución (2):

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

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Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

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Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática. Luego consideraremos el caso 2, donde estudiaremos qué ocurre si el producto de dos números es negativo.


Operaciones entre Números Enteros

Al efectuar operaciones entre números naturales tales como la suma o el producto, es poco el cuidado que tenemos sobre el signo pues el resultado siempre es positivo. Sin embargo, la resta de números naturales puede presentar algunos problemas, es por esto que hemos definido los números enteros, así que veamos como se efectúan.

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Suma y Resta de Números Enteros

Si consideramos los números enteros 2 y 3, entonces 3+2=5. Sin bien esta operación la podemos hacer en nuestra mente de forma inmediata, para entender de forma general la suma de dos números enteros consideremos la siguiente representación gráfica:

suma de números enteros tres más dos es igual a cinco | totumat.com
tres más dos es igual a cinco

Si sumamos 3+2, lo que en realidad estamos haciendo es trasladándonos dos espacios a la derecha del número 3 para caer en el número 5. Entonces, si así es la suma la pregunta natural que surge es: ¿cómo calculamos la resta?

Si sumamos 2+(-3)=2-3, estamos trasladándonos tres espacios a la izquierda del número 2 para caer en el -1. Consideremos la siguiente representación gráfica:

resta de números enteros dos menos tres es igual a menos uno | totumat.com
dos menos tres es igual a menos uno

De esta forma, podemos establecer una regla informal sobre la suma de números enteros de la siguiente forma:

Signos iguales se suman y se mantiene el signo.
Signos diferentes se restan y dejamos el signo del mayor.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Para efectuar la suma 7 +10, ambos números tienen signo positivo, así que los sumamos y mantenemos el signo positivo.

7 +10 = 17

Ejemplo 2

Para efectuar la suma 9 + (-3), estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 9 es el mayor, así que dejamos el signo positivo.

9 + (-3) = 9 - 3 = 6

Ejemplo 3

Para efectuar la suma (-20) + 11, estos números tienen signos diferentes, así que los restamos y dejamos del signo del mayor, en este caso, 20 es el mayor, así que dejamos el signo negativo.

(-20) + 11 = 11 - 20 = -9

Ejemplo 4

Para efectuar la suma (-37) + (-23), ambos números tienen signo negativo, así que los sumamos y mantenemos el signo negativo.

(-37) + (-23) = - 37 - 23 = - 60


El producto de Enteros y la Ley de los Signos

El producto entre dos números enteros lo definiremos igual que el producto entre números naturales, pero debemos tener ciertas consideraciones sobre los signos. Sean a y b dos números naturales, entonces:

(+a) \cdot (+b) = +(a \cdot b)

(-a) \cdot (+b) = -(a \cdot b)

(+a) \cdot (-b) = -(a \cdot b)

(-a) \cdot (-b) = +(a \cdot b)

De esta forma, podemos establecer una regla informal conocida como la Ley de Los Signos sobre el producto de números enteros de la siguiente forma:

Más por más, más.
Más por menos, menos.
Menos por más, menos.
Menos por menos, más.

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Ejemplo

Ejemplo 5

Para efectuar el producto 3 \cdot 3, el signo de ambos factores es positivo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

3 \cdot 3 = 9

Ejemplo 6

Para efectuar el producto (-2) \cdot 5, el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

(-2) \cdot 5 = - ( 2 \cdot 5 ) = -10

Ejemplo 7

Para efectuar el producto 6 \cdot (-3), el signo de ambos factores distinto, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo negativo.

6 \cdot (-3) = - (6 \cdot 3) = -18

Ejemplo 8

Para efectuar el producto (-4) \cdot (-8), el signo de ambos factores es negativo, así que los multiplicamos y el resultado tendrá signo positivo.

(-4) \cdot (-8) = (4 \cdot 8) = 32


Definiendo los números enteros podemos encontrar una respuesta al problema que no se nos presentó cuando restábamos números naturales, pero aún nos queda una pregunta por responder sobre los números naturales y que se aplica también a los números enteros: ¿Qué sucede si dividimos dos números enteros? Debemos entonces definir los Números Racionales.