What is 6÷2(1+2)?

In 2019 a debate went viral, discussing on what is the result of the operation 8÷2(2+2), I thought that it had been forgotten and that the situation had already been clarified. However, it was reborn on the infamous 2020 as 6÷2(1+2).

It is necessary to understand that when considering mixed operations, there is an established order among the operations. First all the products must be made, then all the divisions, then all the additions and finally all the subtractions. Also consider that if there are signs of grouping you must first solve the contents between parentheses ( ), then brackets [ ] and then braces { }; you must make the operations that are within them considering the original hierarchy between operations. This is what people call BODMAS.

Anuncios

Does calculators lie?

6÷2(1+2) on calculator | totumat.com
6÷2(1+2) on calculator | totumat.com

When calculating this operation in a calculator, the results will differ depending on how they have been programmed because some have been programmed to prioritize the order of operations and others have been programmed to prioritize the order of appearance of the operations.

Anuncios

Write it better…

In my opinion, the problem with that specific case is that the person who originally raised it does not have the slightest idea of how to use the grouping signs because when operations between numbers are proposed, they always come from a real problem, so that kind of problems will always be well proposed if they are written correctly. Ambiguity in mathematics should have no place.

This operation defined as it is, is like asking a question without question marks, commas, colons or semicolons.

Anuncios

How to propose the problem?

Case 1

Suppose that you work for a party agency and at a party you have been asked to distribute six pieces of cake to a pair of children, this situation is described with the operation 6÷2. Suppose furthermore that you have to do this twice more, then this situation is described with the following operation (6÷2)×2. If again you are told to do this one more times, then at the end you will describe this with the following operation

(6÷2)×(2+1)
= 3×3
= 9

This means that in the end you will have to distribute 9 pieces of cake.

Case 2

Suppose again that you work at a party agency and you have been given six pieces of cake to distribute to a pair children, this situation is described with operation 6÷2. However, you are being told that now it is not a pair of children but rather two pairs of children, this situation is described with the operation 6÷[2×2]. Finally, you are told that one more pair of children have arrived, so in the end you will describe this with the following operation

6÷[2×(2+1)]
= 6÷[2×3]
= 6÷6
= 1

This means that at the end you will have to give a piece of cake to each child.

In conclusion…

Considering these two cases, we notice that each one has its own approach and interpretation. Always specifying which operations have to be grouped together and always specifying which operations should be carried out first.


What is 8÷2(2+2)?

In 2019 a debate went viral, discussing on what is the result of the operation 8÷2(2+2), I thought that it had been forgotten and that the situation had already been clarified. However, I was asked what the result of this operation was, quoting me on a tweet, and even today, the people who responded are still deciding between 1 and 16.

It is necessary to understand that when considering mixed operations, there is an established order among the operations. First all the products must be made, then all the divisions, then all the additions and finally all the subtractions. Also consider that if there are signs of grouping you must first solve the contents between parentheses (), then brackets [] and then braces {}; you must make the operations that are within them considering the original hierarchy between operations. This is what people call BODMAS.

Anuncios

Does calculators lie?

8÷2(2+2)
Android Calculator.
8÷2(2+2)
“CASIIO” calculator bought at the Chinese Store.

When calculating this operation in a calculator, the results will differ depending on how they have been programmed because some have been programmed to prioritize the hierarchy between operations and others have been programmed to prioritize the order of appearance of the operations.

Anuncios

Write it better…

In my opinion, the problem with that specific case is that the person who originally raised it does not have the slightest idea of how to use the grouping signs because when operations between numbers are proposed, they always come from a real problem, so that kind of problems will always be well proposed if they are written correctly. Ambiguity in mathematics should have no place.

This operation defined as it is, is like asking a question without question marks, commas, colons or semicolons.

Anuncios

How to propose the problem?

Case 1

Suppose that you work for a party agency and at a party you have been asked to distribute eight pieces of cake to a couple of children, this situation is described with the operation 8÷2. Suppose furthermore that you have to do this twice more, then this situation is described with the following operation (8÷2)×2. If again you are told to do this two more times, then at the end you will describe this with the following operation

(8÷2)×(2+2)
= 4×4
= 16

This means that in the end you will have to distribute 16 pieces of cake.

Case 2

Suppose again that you work at a party agency and you have been given eight pieces of cake to distribute to a couple of children, this situation is described with operation 8÷2. However, you are being told that now it is not a pair of children but rather two pairs of children, this situation is described with the operation 8÷(2×2). Finally, you are told that two more pairs of children have arrived, so in the end you will describe this with the following operation

8÷[2×(2+2)]
= 8÷[2×4]
= 8÷8
= 1

This means that at the end you will have to give a piece of cake to each child.

In conclusion…

Considering these two cases, we notice that each one has its own approach and interpretation. Always specifying which operations have to be grouped together and always specifying which operations should be carried out first.


La jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación

La jerarquía de las operaciones

¿Qué es saber sumar, restar, multiplicar y dividir? Si bien, durante los estudios básicos de matemáticas aprendemos a efectuar cualquiera de las operaciones básicas, es poco lo que se indaga cuando estas operaciones se encuentran combinadas.

Al efectuar distintas operaciones entre números reales, resulta necesario especificar el orden en el que se deben efectuar las operaciones, esto es para evitar ambigüedades la hora de expresar los resultados. Entonces, si consideramos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división; el orden en el que estas deben efectuarse es el siguiente:

La jerarquía de las operaciones | totumat.com

Es decir, primero se efectúan todos los productos, después todas las divisiones, después todas las sumas y por último, todas las restas.

La suma será expresada con una cruz ( + ). La resta será expresada con una raya horizontal ( - ). El producto o multiplicación será expresado con un punto ( \cdot ), aunque también se puede expresar con dos rayas cruzadas ( \times ). La división será expresada con dos puntos y una raya horizontal ( \div ) que denota un número sobre otro número, aunque también se puede expresar simplemente con dos puntos ( : ) o con una barra vertical ( / ).

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot 2 + 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

6 + 5

Posteriormente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

11

Ejemplo 2

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 2 \cdot 5

En esta ocasión encontramos un producto y una suma. Notemos que a diferencia del ejemplo anterior, la suma aparece primero, sin embargo, la jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

3 + 10

Finalmente, efectuamos la suma y concluimos que el resultado será

13

Ejemplo 3

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 + 3 \cdot 6 - 7

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

4 + 18 - 7

Posteriormente, efectuamos la suma,

22 - 7

Finalmente, efectuamos la resta

15

Ejemplo 4

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

-14 + 15 \div 3 + 20

En esta ocasión encontramos un producto, una suma y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, de esta forma, obtenemos

-14 + 5 + 20

Posteriormente, efectuamos las sumas,

-14 + 25

Finalmente, efectuamos la resta

11

Anuncios

Ejemplo 5

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

20 - 5 \cdot 2 - 30 \div 10

En esta ocasión encontramos un producto, una división y dos resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

20 - 10 - 30 \div 10

Posteriormente, efectuamos la división,

20 - 10 - 3

En este caso, notamos que hay dos restas, entonces agrupamos las restas y las efectuamos

20 - 13

Finalmente, efectuamos la resta

7

Ejemplo 6

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

4 \cdot 3 + 7 \cdot 5 - 55 \div 11 + 9

En esta ocasión encontramos dos productos, una división, dos sumas y una resta. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, de esta forma, obtenemos

12 + 35 - 55 \div 11 + 9

Posteriormente, efectuamos la división,

12 + 35 - 5 + 9

En este caso, notamos que hay más de dos números sumando, entonces agrupamos las sumas

12 + 35 + 9 - 5

Posteriormente, efectuamos las sumas

56 - 5

Finalmente, efectuamos la resta

51


Anuncios

Los signos de agrupación

Hay expresiones en las que las jerarquía de las operaciones no basta para calcular un resultado, pues puede no estar muy claro cual es la operación que debe efectuarse. Por ejemplo, si consideramos la expresión

12 \div 2 \cdot 3

La jerarquía de las operaciones indica que primero debe efectuarse el producto, sin embargo, ¿es correcto multiplicar un número entero por un divisor? ¿Es correcto efectuar primero la división y después el producto? ¿Es correcto multiplicar el doce por el tres? No queda claro como efectuar esta operación correctamente.

Considerando esto, debemos definir una nueva herramienta que indique con claridad cuales son las operaciones que se deben efectuar primero, que llamaremos signos de agrupación.

Usaremos paréntesis ( \ ) para agrupar las operaciones que se deben efectuar antes de efectuar cualquier otra operación. De esta forma, si consideramos la operación

12 \div (2 \cdot 3)

Se está indicando que primero se debe efectuar el producto 2 \cdot 3, para obtener 12 \div 6 que a su vez, es igual a 2. Por otra parte, si consideramos la operación

(12 \div 2) \cdot 3

Se está indicando que primero se debe efectuar la división 12 \div 2, para obtener 6 \cdot 3 que a su vez, es igual a 18.

Notemos que ambos casos arrojan resultados distintos, ahí radica la importancia del uso de los paréntesis para agrupar las operaciones que se deben efectuar primero.

También puede ocurrir que debemos agrupar operaciones que entre números que ya están agrupados por otras operaciones, para esto usamos otros signos de agrupación: corchetes [ \ ] y llaves { \ }, sobre los cuales también definimos una jerarquía.

Es decir, primero se efectúan todas las operaciones que se encuentran entre paréntesis, después todas las operaciones que se encuentran entre corchetes y por último, todas las operaciones que se encuentran entre llaves.

Veamos en lo siguientes ejemplos como aplicar esta jerarquía de las operaciones y los signos de agrupación al toparnos con expresiones que cuentan con distintas operaciones.

Anuncios

Ejemplos

Ejemplo 7

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 \cdot (5 + 1)

Lo primero que debemos notar es que la suma 5 + 1 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 \cdot 6

Finalmente, efectuamos el producto,

18

Ejemplo 8

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

2 \cdot (9 - 2) + 10

Lo primero que debemos notar es que la resta 9 - 4 está encerrada en un paréntesis. La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

2 \cdot 7 + 10

La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto, de esta forma, obtenemos

14 + 10

Finalmente, efectuamos la suma,

24

Ejemplo 9

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

3 + 4 \cdot [ 24 \div (2+6) + 5]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

3 + 4 \cdot [ 24 \div 8 + 5]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

3 + 4 \cdot [3 + 5]

Posteriormente, efectuamos la suma que se encuentra dentro de los corchetes,

3 + 4 \cdot 8

Posteriormente, efectuamos el producto,

3 + 32

Posteriormente, efectuamos la suma,

35

Ejemplo 10

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

100 - 2 \cdot \big[ (10 + 20) \div 15 - 5 \cdot (12 - 3) \big]

Debemos notar que hay dos signos de agrupación: paréntesis y corchetes. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

100 - 2 \cdot [ 30 \div 15 - 5 \cdot 9 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar el producto e incluso, en este caso podemos efectuar la división en el mismo paso sin que se altere el resultado, obteniendo

100 - 2 \cdot [ 2 - 45 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

100 - 2 \cdot [ -43 ]

Posteriormente, efectuamos el producto y aplicando la ley de los signos, tenemos

100 + 86

Posteriormente, efectuamos la suma,

186

Anuncios

Ejemplo 11

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - (3+7) + 5 \div (3+2) - 2] \}

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 \div 5 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar la división, obteniendo

5 - \{ 20 + 35 \div [17 - 10 + 5 - 5] \}

Posteriormente, agrupamos las sumas dentro de los corchetes

5 - \{ 20 + 35 \div [17 + 5 - 10 - 5] \}

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

5 - \{ 20 + 35 \div [22 - 15] \}

Posteriormente, efectuamos la resta,

5 - \{ 20 + 35 \div [7] \}

Posteriormente, efectuamos la división,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 20 + 5 \}

Posteriormente, efectuamos la suma,

5 - \{ 25 \}

Finalmente, efectuamos la resta,

-20

Ejemplo 12

Calcule el resultado de la siguiente siguiente expresión matemática

72 + \cdot \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot (5-2) - 3 \cdot (1+4) - 2] \} \div [ 3 \cdot (10 - 7) ]

Debemos notar que hay tres signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Esto se debe hay que agrupaciones de operaciones dentro de agrupaciones de operaciones.

La jerarquía de los signos de agrupación indica que primero debemos efectuar las operaciones que están dentro de los paréntesis, de esta forma, obtenemos

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 5 - 2] \} \div [ 3 \cdot 3 ]

Posteriormente, efectuamos las operaciones que se encuentran dentro de los corchetes. La jerarquía de las operaciones indica que primero debemos efectuar los productos, obteniendo

72 + \{ -30 + 5 \cdot [4 + 6 - 15 - 2] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos las sumas que se encuentra dentro de los corchetes e incluso, en este caso podemos efectuar las restas en el mismo paso sin que se altere el resultado

72 + \{ -30 + 5 \cdot [10 - 17] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de los corchetes,

72 + \{ -30 + 5 \cdot [-3] \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos el producto que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -30 - 15 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la resta que se encuentra dentro de las llaves,

72 + \{ -45 \} \div [ 9 ]

Posteriormente, efectuamos la división,

72 - 5

Finalmente, efectuamos la resta,

-67