Ejercicios Propuestos – Bosquejo de Polinomios

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Puntos Críticos

Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y verifique si estos son máximos o mínimos locales. Finalmente, indique cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Recuerde que los puntos críticos de una función, son aquellos donde

$f'(x)=0$

$f(x)=x^2$
$f(x)=x^3$
$f(x)=x^4$
$f(x)=x^5$

$f(x)=x^2+2$
$f(x)=x^3+3$
$f(x)=x^4+4$
$f(x)=x^5+5$

$f(x)=x^2+2x$
$f(x)=x^3+3x$
$f(x)=x^4+4x$
$f(x)=x^5+5x$

$f(x)=x^2 + x - 2$
$f(x)=x^2 - 8x + 15$
$f(x)=x^2 + 2x - 8$
$f(x)=x^2 - 3x - 18$

$f(x)=\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x$
$f(x)=\dfrac{4x^3}{3} - \dfrac{16x^2}{2} + 60x$
$f(x)=\dfrac{x^3}{3} + x^2 - 8x$
$f(x)=x^3 + \dfrac{3x^2}{2} - 6x$

$f(x)=x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 5$
$f(x)=x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 2$
$f(x)=2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 6$
$f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1$

$f(x)=xe^x$
$f(x)=x^2e^x$
$f(x)=x^3e^x$
$f(x)=x^4e^x$

$f(x)=e^{x^2}$
$f(x)=e^{x^2-1}$
$f(x)=e^{x^2-x}$
$f(x)=e^{x^3-x^2}$

$f(x)=x \ln(x)$
$f(x)=x^2 \ln(x)$
$f(x)=x^3 \ln(x)$
$f(x)=x^4 \ln(x)$

$f(x)= \ln(x+3)$
$f(x)= \ln(x^2-1)$
$f(x)= \ln(x^3-8)$
$f(x)= \ln(x^4-16)$

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Puntos de Inflexión

Calcule los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Finalmente, indique cuales son los intervalos de convexidad (cóncava hacia arriba) y concavidad (cóncava hacia abajo).

Recuerde que los posibles puntos de inflexión de una función, son aquellos donde

$f''(x)=0$ $

$f(x)=x^2$
$f(x)=x^3$
$f(x)=x^4$
$f(x)=x^5$

$f(x)=x^2+2$
$f(x)=x^3-3$
$f(x)=x^4+4$
$f(x)=x^5-5$

$f(x)=x^2-2x$
$f(x)=x^3+3x$
$f(x)=x^4-4x$
$f(x)=x^5+5x$

$f(x)=x^2 + x - 2$
$f(x)=x^2 - 8x + 15$
$f(x)=x^2 + 2x - 8$
$f(x)=x^2 - 3x - 18$

$f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
$f(x)=x^3 - 7x + 6$
$f(x)=x^3 + 3x^2 - 4x - 12$
$f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6$

$f(x)=x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12$
$f(x)=x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20$
$f(x)=x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10$
$f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1$

$f(x)=xe^x$
$f(x)=x^2e^x$
$f(x)=x^3e^x$
$f(x)=x^4e^x$

$f(x)=e^{x^2}$
$f(x)=e^{x^2-1}$
$f(x)=e^{x^2-x}$
$f(x)=e^{x^3-x^2}$

$f(x)=x \ln(x)$
$f(x)=x^2 \ln(x)$
$f(x)=x^3 \ln(x)$
$f(x)=x^4 \ln(x)$

$f(x)= \ln(x+3)$
$f(x)= \ln(x^2-1)$
$f(x)= \ln(x^3-8)$
$f(x)= \ln(x^4-16)$

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Bosquejo de Polinomios

Para graficar un polinomio hay que tomar en cuenta varios puntos de interés referentes a la función y sus primeras dos derivadas.

Para determinar los puntos de corte con el Eje Y, se debe evaluar la función en cero, es decir, calcular $f(0)$ (Sustituir la variable $x$ por cero).
Para calcular los puntos de corte con el Eje X, se deben calcular los puntos para los cuales la función es igual a cero, es decir, calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$ (Para esto se puede usar el Método del Discriminante si el polinomio es cuadrático o el Método de Ruffini si es de mayor grado).
Para determinar los puntos críticos, se deben calcular los puntos para los cuales la derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales $f'(x)=0$ .
Para determinar los puntos de inflexión, se deben calcular los puntos para los cuales la segunda derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales $f''(x)=0$ .

Una vez calculados estos puntos, tome en cuenta que el comportamiento de la función está definido por el signo de la función y sus primeras dos derivadas. Si consideramos un intervalo $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ .

Si $f(x)>0$ en $(a,b)$ entonces la función está por encima del Eje X.
Si $f(x)<0$ en $(a,b)$ entonces la función está por debajo del Eje Y.
Si $f'(x)>0$ en $(a,b)$ entonces la función es creciente ( $\nearrow$ ).
Si $f'(x)<0$ en $(a,b)$ entonces la función es decreciente ( $\searrow$ ).
Si $f''(x)>0$ en $(a,b)$ entonces la función es convexa ( $\cup$ ).
Si $f''(x)<0$ en $(a,b)$ entonces la función es cóncava ( $\cap$ ).

En los siguientes ejercicios haga un bosquejo de la gráfica de los siguientes polinomios considerando los siguientes pasos:

Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
Esbozar la gráfica.

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$f(x)=x^2$
$f(x)=x^3$
$f(x)=x^4$
$f(x)=x^5$

$f(x) = x^2 + 4x - 5$
$f(x) = x^2 + 5x + 4$
$f(x) = x^2 + 8x + 15$
$f(x) = x^2 - 1$

$f(x) = - 4x^2 - 4x$
$f(x) = 4x^2 + 4x$
$f(x) = 2x^2 - 14x + 24$
$f(x) = 2x^2 + 4x - 6$

$f(x) = - 2x^3 - 2x^2 + 12x$
$f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 20x$
$f(x) = - 5x^3 + 10x^2 + 75x$
$f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x$

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 16x + 48$
$f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20$
$f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30$
$f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64$

$f(x) = 5x^3 + 30x^2 + 15x - 50$
$f(x) = x^3 - 13x + 12$
$f(x) = - 2x^3 - 6x^2 + 26x + 30$
$f(x) = 5x^3 + 30x^2 - 5x - 150$

$f(x) = x^4 - 25x^2 + 144$
$f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$
$f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$
$f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$

$f(x) = 10x^4 - 410x^2 + 4000$
$f(x) = -x^4 + 45x^2 - 324$
$f(x) = 9x^4 - 261x^2 + 900$
$f(x) = 7x^4 - 203x^2 + 700$

$f(x) = x^5 - 41x^3 + 400x$
$f(x) = x^5 - 20x^3 + 64x$
$f(x) = x^5 - 32x^3 + 256x$
$f(x) = x^5 - 26x^3 + 25x$

$f(x) = - 9x^5 + 1476x^3 - 57600x$
$f(x) = - 2x^5 + 40x^3 - 128x$
$f(x) = 2x^5 - 212x^3 + 4050x$
$f(x) = 8x^5 - 488x^3 + 7200x$

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Optimización de funciones en la economía

Para cada una de las siguientes situaciones, responda las siguientes preguntas:

¿Cuáles son valores de $q$ para los cuales la función de ingreso alcanza máximos? ¿Cuáles son esos ingresos máximos?
¿Cuáles son valores de $q$ para los cuales la función de costos alcanza mínimos? ¿Cuáles son esos costos mínimos?
¿Cuáles son valores de $q$ para los cuales la función de utilidad alcanza máximos? ¿Cuáles son esas utilidades máximas?

Sea $74 + \frac{3 \cdot q}{191}$ , la ecuación de oferta de caramelos en una confitería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $\frac{7 \cdot q^2}{22} + 59$ .
Sea $40 + \frac{21 \cdot q}{125}$ , la ecuación de oferta de piñatas en una piñatería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $\frac{13 \cdot q^2}{197} + 78$ .
Sea $35 + \frac{21 \cdot q}{293}$ , la ecuación de oferta de carne en una carnicería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $\frac{q^2}{831} + 49$ .
Sea $50 + \frac{2 \cdot q}{129}$ , la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $\frac{2 \cdot q^2}{55} + 13$ .

Sea $55 + 3 \cdot q$ , la ecuación de oferta de llaves en una cerrajería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.094q^3 - 0.6 q^2 + 32$ .
Sea $685 + 20 \cdot q$ , la ecuación de oferta de hamburguesas en una hamburguesería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $q^3 - 2 \cdot q^2 - 84 \cdot q + 360$ .
Sea $452 + 16 \cdot q$ , la ecuación de oferta de perros calientes en una perro calentero de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.15q^3 - 0.6 \cdot q^2 + 32$ .
Sea $421 + 19 \cdot q$ , la ecuación de oferta de palmeritas en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.065q^3 - 3 \cdot q^2 + 20 \cdot q + 600$ .

Sea $493 + 0.10 \cdot q^2$ , la ecuación de oferta de marcadores en una papelería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.1q^3 - q^2 + 65 \cdot q + 225$ .
Sea $635 + 0.3 \cdot q^2$ , la ecuación de oferta de papas fritas en una restaurante de comida rápida de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.11q^3 - 11 \cdot q^2 - 45 \cdot q + 567$ .
Sea $486 + 0.9 \cdot q^2$ , la ecuación de oferta de colchones en una mueblería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.02q^3 - 12 \cdot q^2 + 27 \cdot q + 486$ .
Sea $60 + 0.5 \cdot q^2$ , la ecuación de oferta de ropa en una calle de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma $0.35q^3 - q^2 + 21 \cdot q + 45$ .