Ejercicios Propuestos – Bosquejo de Polinomios

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Puntos Críticos

Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y verifique si estos son máximos o mínimos locales. Finalmente, indique cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Recuerde que los puntos críticos de una función, son aquellos donde

f'(x)=0

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3+3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5+5

  1. f(x)=x^2+2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4+4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x
  2. f(x)=\dfrac{4x^3}{3} - \dfrac{16x^2}{2} + 60x
  3. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + x^2 - 8x
  4. f(x)=x^3 + \dfrac{3x^2}{2} - 6x
  1. f(x)=x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 5
  2. f(x)=x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 2
  3. f(x)=2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 6
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Puntos de Inflexión

Calcule los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Finalmente, indique cuales son los intervalos de convexidad (cóncava hacia arriba) y concavidad (cóncava hacia abajo).

Recuerde que los posibles puntos de inflexión de una función, son aquellos donde

f''(x)=0$

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3-3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5-5

  1. f(x)=x^2-2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4-4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6
  2. f(x)=x^3 - 7x + 6
  3. f(x)=x^3 + 3x^2 - 4x - 12
  4. f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6
  1. f(x)=x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12
  2. f(x)=x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20
  3. f(x)=x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Bosquejo de Polinomios

Para graficar un polinomio hay que tomar en cuenta varios puntos de interés referentes a la función y sus primeras dos derivadas.

  • Para determinar los puntos de corte con el Eje Y, se debe evaluar la función en cero, es decir, calcular f(0) (Sustituir la variable x por cero).
  • Para calcular los puntos de corte con el Eje X, se deben calcular los puntos para los cuales la función es igual a cero, es decir, calcular los valores de x para los cuales f(x)=0 (Para esto se puede usar el Método del Discriminante si el polinomio es cuadrático o el Método de Ruffini si es de mayor grado).
  • Para determinar los puntos críticos, se deben calcular los puntos para los cuales la derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f'(x)=0.
  • Para determinar los puntos de inflexión, se deben calcular los puntos para los cuales la segunda derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f''(x)=0.

Una vez calculados estos puntos, tome en cuenta que el comportamiento de la función está definido por el signo de la función y sus primeras dos derivadas. Si consideramos un intervalo (a,b) \subseteq \mathbb{R}.

  • Si f(x)>0 en (a,b) entonces la función está por encima del Eje X.
  • Si f(x)<0 en (a,b) entonces la función está por debajo del Eje Y.
  • Si f'(x)>0 en (a,b) entonces la función es creciente (\nearrow).
  • Si f'(x)<0 en (a,b) entonces la función es decreciente (\searrow).
  • Si f''(x)>0 en (a,b) entonces la función es convexa (\cup).
  • Si f''(x)<0 en (a,b) entonces la función es cóncava (\cap).

En los siguientes ejercicios haga un bosquejo de la gráfica de los siguientes polinomios considerando los siguientes pasos:

  • Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  • Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  • Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  • Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  • Esbozar la gráfica.
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  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x) = x^2 + 4x - 5
  2. f(x) = x^2 + 5x + 4
  3. f(x) = x^2 + 8x + 15
  4. f(x) = x^2 - 1

  1. f(x) = - 4x^2 - 4x
  2. f(x) = 4x^2 + 4x
  3. f(x) = 2x^2 - 14x + 24
  4. f(x) = 2x^2 + 4x - 6

  1. f(x) = - 2x^3 - 2x^2 + 12x
  2. f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 20x
  3. f(x) = - 5x^3 + 10x^2 + 75x
  4. f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

  1. f(x) = x^3 - 3x^2 - 16x + 48
  2. f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20
  3. f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30
  4. f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64
  1. f(x) = 5x^3 + 30x^2 + 15x - 50
  2. f(x) = x^3 - 13x + 12
  3. f(x) = - 2x^3 - 6x^2 + 26x + 30
  4. f(x) = 5x^3 + 30x^2 - 5x - 150

  1. f(x) = x^4 - 25x^2 + 144
  2. f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
  3. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16
  4. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16

  1. f(x) = 10x^4 - 410x^2 + 4000
  2. f(x) = -x^4 + 45x^2 - 324
  3. f(x) = 9x^4 - 261x^2 + 900
  4. f(x) = 7x^4 - 203x^2 + 700

  1. f(x) = x^5 - 41x^3 + 400x
  2. f(x) = x^5 - 20x^3 + 64x
  3. f(x) = x^5 - 32x^3 + 256x
  4. f(x) = x^5 - 26x^3 + 25x

  1. f(x) = - 9x^5 + 1476x^3 - 57600x
  2. f(x) = - 2x^5 + 40x^3 - 128x
  3. f(x) = 2x^5 - 212x^3 + 4050x
  4. f(x) = 8x^5 - 488x^3 + 7200x
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Optimización de funciones en la economía

Para cada una de las siguientes situaciones, responda las siguientes preguntas:

  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de ingreso alcanza máximos? ¿Cuáles son esos ingresos máximos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de costos alcanza mínimos? ¿Cuáles son esos costos mínimos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de utilidad alcanza máximos? ¿Cuáles son esas utilidades máximas?

  1. Sea 74 + \frac{3 \cdot q}{191} , la ecuación de oferta de caramelos en una confitería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{7 \cdot q^2}{22} + 59 .
  2. Sea 40 + \frac{21 \cdot q}{125} , la ecuación de oferta de piñatas en una piñatería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{13 \cdot q^2}{197} + 78 .
  3. Sea 35 + \frac{21 \cdot q}{293} , la ecuación de oferta de carne en una carnicería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{q^2}{831} + 49 .
  4. Sea 50 + \frac{2 \cdot q}{129} , la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{2 \cdot q^2}{55} + 13 .

  1. Sea 55 + 3 \cdot q , la ecuación de oferta de llaves en una cerrajería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.094q^3 - 0.6 q^2 + 32 .
  2. Sea 685 + 20 \cdot q , la ecuación de oferta de hamburguesas en una hamburguesería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma q^3 - 2 \cdot q^2 - 84 \cdot q + 360 .
  3. Sea 452 + 16 \cdot q , la ecuación de oferta de perros calientes en una perro calentero de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.15q^3 - 0.6 \cdot q^2 + 32 .
  4. Sea 421 + 19 \cdot q , la ecuación de oferta de palmeritas en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.065q^3 - 3 \cdot q^2 + 20 \cdot q + 600 .

  1. Sea 493 + 0.10 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de marcadores en una papelería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.1q^3 - q^2 + 65 \cdot q + 225 .
  2. Sea 635 + 0.3 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de papas fritas en una restaurante de comida rápida de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.11q^3 - 11 \cdot q^2 - 45 \cdot q + 567 .
  3. Sea 486 + 0.9 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de colchones en una mueblería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.02q^3 - 12 \cdot q^2 + 27 \cdot q + 486 .
  4. Sea 60 + 0.5 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de ropa en una calle de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.35q^3 - q^2 + 21 \cdot q + 45 .

Ejercicios Propuestos – Interpretación Económica de la Derivada

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Análisis Marginal

Para cada una de las siguientes situaciones, halle las funciones de ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal. Evalúe cada una en el valor indicado e interprete los resultados.

1.- Sea p=\frac{12}{100}q+10, la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = q+5.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 10 cachitos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 10 cachitos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 10 cachitos.

2.- Sea p=\frac{4}{3}q+300, la ecuación de oferta de pan francés en una panadería de la ciudad por unidad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 0.33 \cdot q^2 + 20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 50 unidades de pan francés.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 50 unidades de pan francés.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 50 unidades de pan francés.

3.- Una fábrica de queso crema ha calculado la siguiente ecuación de oferta para cada 100 gramos de su producto: p=\frac{45}{2000}q^2+679. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 5q+43.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 100 kilos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 100 kilos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 100 kilos.

4.- Una fábrica de lavadoras ha calculado la siguiente ecuación de oferta por cada unidad de su producto: p=\frac{78}{560}\sqrt[5]{q^9}+25000. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = \frac{8}{5}q^3+33q-20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 25 unidades.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 25 unidades.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 25 unidades.
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Elasticidad de Demanda

Para cada una de las siguientes funciones de demanda, halle la función de elasticidad de demanda puntual y calcule la elasticidad de demanda una vez que se fija el precio indicado, indique si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.

  1. q=-3 \cdot p + 10 , p=8
  2. q=-4 \cdot p + 20, p=13
  3. q=-9 \cdot p + 15 , p=7
  4. q=-10 \cdot p + 35, p=20

  1. q=-0.7 \cdot p + 20 , p=11
  2. q=-0.4 \cdot p + 40, p=23
  3. q=-0.69 \cdot p + 9 , p=1
  4. q=-0.10 \cdot p + 18, p=6

  1. q=-10 \cdot p + 110 , p=63.4
  2. q=-50 \cdot p + 120, p=78.4
  3. q=-60 \cdot p + 125 , p=100.4
  4. q=-73 \cdot p + 357, p=237.67

Interpretación económica de la derivada

Cualquier investigación en el ámbito cuantitativo de la economía se basará en la comparación de datos y contraste de la información. Al definir modelos matemáticos en la economía a partir de funciones, una herramienta ampliamente usada para comparar datos es el estudio de incrementos.

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Incrementos

Consideremos un ejemplo particular para ilustrar esta idea, digamos que en una fábrica de lavadoras, durante la primera semana del año se produjeron 12 lavadoras y en la segunda semana del año se produjeron 18 lavadoras, es decir, hubo un incremento de 6 unidades en la producción de lavadoras. Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar 18 menos 12, esto es,

18 - 12 = 6

De forma general, si consideramos dos variables x_1 < x_2, determinamos el incremento entre estas dos variables calculando la siguiente resta:

x_2 - x_ 1

Así, medimos el incremento restando el mayor valor menos el menor valor y es importante notar que siempre los incrementos al ser una medida, son positivas. Sin embargo, al considerar incrementos de funciones, este no será necesariamente el caso.

Supongamos que al considerar una función C que mide el costo de producir lavadoras, esta función nos indica que el costo de producir 12 lavadoras es de 800 Ps. y el costo de producir 18 lavadoras es de 2300 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los costos de 1500 Ps.

Nota: Perolitos (Ps.) es la moneda oficial de totumat.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 2300; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 800; esto es

C(18) - C(12) = 2300 - 800 = 1500

Supongamos que al considerar una función I que mide el ingreso posterior a la venta lavadoras, esta función nos indica que los ingresos por la venta de 12 lavadoras es de 700 Ps. y los ingresos de producir 18 lavadoras es de 900 Ps., entonces hubo un incremento positivo en los ingresos de 200 Ps.

Formalmente, para calcular este incremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 900; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 700; esto es

I(18) - I(12) = 700 - 900 = 200

Por otra parte, supongamos que al considerar una función U que mide la utilidad posterior a la producción y venta de lavadoras, esta función nos indica que la utilidad de producir y vender 12 lavadoras es de 1500 Ps. y el costo de producir y vender 18 lavadoras es de 1400 Ps., entonces hubo un incremento negativo en la utilidad de 100 Ps. Este valor negativo en el incremento de las utilidades se conoce como una pérdida.

Formalmente, para calcular este decremento, debemos restar la cantidad correspondiente a 18, es decir 1400; menos la cantidad correspondiente a 12, es decir 1300; esto es

U(18) - U(12) = 1500 - 1400 = -100

Así, podemos ver que los incrementos de funciones pueden tomar valores tanto negativos como positivos y más aún, dada una función f(q), podemos determinar una forma general para calcular dichos incrementos, pues al considerar una cantidad q y si esta cantidad se incrementa a q+h, con h >0, entonces, podemos calcular el incremento de la función f(q) efectuando la siguiente operación:

f(q+h) - f(q)

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Análisis Marginal

Suponga que en una fábrica de lavadoras se ha determinado que el costo de producir q lavadoras está determinado por la función C(q), si la cantidad de lavadoras producidas se ha incrementado a q+h, podemos calcular el incremento de los costos usando la siguiente fórmula:

C(q+h) - C(q)

A partir de este incremento, es posible determinar la razón de cambio calculando el cociente entre el incremento de los costos y el incremento de las lavadoras producidas, es decir,

\frac{C(q+h) - C(q)}{(q+h) - q} = \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Pero esta forma de calcular la razón de cambio, resulta imprecisa si la función que define los costos no es una función lineal. Hemos visto que aplicando los resultados del cálculo infinitesimal, podemos refinar este resultado considerando el valor más pequeño posible para h, esto es,

\lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h}

Y observando esta expresión, notamos inmediatamente que esta es justamente la derivada de la función C(q) respecto a la variable q, es decir,

\frac{dC}{dq}

Pero es importante que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿Cuál es es dicho valor de h más pequeño posible? En otras palabras, ¿Cuál es la menor cantidad de lavadoras adicionales se pueden fabricar? ¿Cinco lavadoras, dos lavadoras, media lavadora, un pedacito de lavadora? La respuesta es: una lavadora, pues la menor cantidad de lavadoras adicionales que se pueden producir es exactamente una.

De esta forma, si h=1, entonces el límite que define la razón de cambio se reduce a la siguiente expresión:

\frac{dC}{dq} = \lim_{h \to 0} \frac{C(q+h) - C(q)}{h} \approx \frac{C(q+1) - C(q)}{1} = C(q+1) - C(q)

La derivada de la función de costos se conoce como la función de Costo Marginal y al ser esta aproximadamente igual C(q+1) - C(q), podemos concluir que mide el incremento en los costos cuando se produce una unidad adicional sobre q.

Este mismo razonamiento se puede llevar a cabo en el estudio de las funciones de Ingreso y Utilidad, y de esta forma, se pueden definir las funciones de Ingreso Marginal y Utilidad Marginal. Veamos en los siguientes ejemplos como utilizar estas funciones para hacer análisis marginal.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Considerando una función que mide el costo por la producción de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

C(q) = \frac{800}{1729} + \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de costo marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

C'(q) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

C'(18) = \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 = \frac{3312}{13} \approx 383.29

De esta forma, concluimos que si se están produciendo 18 lavadoras, entonces la producción de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los costos en aproximadamente 383.29 Ps.

Ejemplo 2

Considerando una función que mide el ingreso por la venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

I(q) = \frac{140}{29} + \frac{36}{13} \cdot q^2

Evalúe la función de ingreso marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

I'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

I'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) = \frac{1296}{13} \approx 100

De esta forma, concluimos que si se están vendiendo 18 lavadoras, entonces la venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, incrementará los ingresos en aproximadamente 100 Ps.

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Ejemplo 3

Considerando una función que mide la utilidad por la producción y venta de q lavadoras, definida de la siguiente forma:

U(q) = \frac{218860}{50141} + \frac{36}{13} \cdot q^2 - \frac{2300}{5833} \cdot q^3

Evalúe la función de utilidad marginal en q=18 e interprete los resultados.

El primer paso será calcular la derivada de la función, esto es,

U'(q) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot q - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot q^2

Posteriormente la evaluamos en q=18 para obtener el siguiente resultado:

U'(18) = \frac{36}{13} \cdot 2 \cdot (18) - \frac{2300}{5833} \cdot 3 \cdot (18)^2 \approx -283.57

De esta forma, concluimos que si se están produciendo y vendiendo 18 lavadoras, entonces la producción y venta de una lavadora adicional, es decir, la lavadora 19, generará una pérdida de aproximadamente 283.57 Ps.