Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Productos Complementarios y Suplementarios

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Para cada una de las siguientes funciones de demanda para los productos A y B. Calcule \dfrac{\partial q_A}{\partial p_A}, \dfrac{\partial q_A}{\partial p_B}, \dfrac{\partial q_B}{\partial p_B} y \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A}; Determine si estas ecuaciones son de demanda y en caso de serlo, determine si los productos A y B son complementarios, suplementarios o ninguna de las dos. Recordando que

Dos productos A y B son Suplementarios si

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} > 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} > 0

Dos productos A y B son Complementarios si

\dfrac{\partial q_A}{\partial p_B} < 0 \text{ y } \dfrac{\partial q_B}{\partial p_A} < 0

  1. q_A = 200 - 30p_A + 5p_B
    q_B = 320 + 12p_A - 60 p_B
  2. q_A = 1000 - 68p_A + 15p_B
    q_B = 250 + 9p_A - 50 p_B
  3. q_A = 5 - 20p_A + 30p_B
    q_B = 10 + 31p_A - 31 p_B
  4. q_A = 10 - 0.2p_A + 0.3p_B
    q_B = 12 + 0.4p_A - 0.95p_B

  1. q_A = 3.5 - 5p_A - 6p_B
    q_B = 4.2 - 7p_A - 7 p_B
  2. q_A = 4.2 - 7.8p_A - 9p_B
    q_B = 13 - 3.7p_A - 2.6 p_B
  3. q_A = 7 - 5.4p_A - 9.6p_B
    q_B = 10 - 2.3 p_A - 4 p_B
  4. q_A = 1.9 - 8.1p_A - 4p_B
    q_B = 2.8 - 5.3p_A - 5.5 p_B

  1. q_A = 10\sqrt[3]{p_B} \cdot \sqrt[3]{p_A^2}
    q_B = 9.2\sqrt[3]{p_A} \cdot \sqrt[3]{p_B^2}
  2. q_A = 7\sqrt[4]{p_B} \cdot \sqrt[5]{p_A^4}
    q_B = 8\sqrt{p_A^3} \cdot \sqrt[4]{p_B^3}
  3. q_A = 5.5\sqrt{p_B^5} \cdot \sqrt[5]{p_A^3}
    q_B = 6.8\sqrt[7]{p_A^8} \cdot \sqrt[9]{p_B^7}
  4. q_A = 4\sqrt[3]{p_B^6} \cdot \sqrt[10]{p_A^2}
    q_B = 7.3\sqrt[5]{p_A^2} \cdot \sqrt[4]{p_B^6}
  1. q_A = 10\frac{\sqrt[3]{p_A} }{ \sqrt[3]{p_B^2}}
    q_B = 9.2\frac{\sqrt[3]{p_A} }{ \sqrt[3]{p_B^2}}
  2. q_A = 7\frac{\sqrt[4]{p_A} }{ \sqrt[5]{p_B^4}}
    q_B = 8\frac{\sqrt{p_B^3} }{ \sqrt[4]{p_A^3}}
  3. q_A = 5.5\frac{\sqrt{p_B^5} }{ \sqrt[5]{p_A^3}}
    q_B = 6.8\frac{\sqrt[7]{p_A^8} }{ \sqrt[9]{p_B^7}}
  4. q_A = 4\frac{\sqrt[3]{p_B^6} }{ \sqrt[10]{p_A^2}}
    q_B = 7.3\frac{\sqrt[5]{p_B^2} }{ \sqrt[4]{p_A^6}}

  1. q_A = \frac{11}{ \sqrt[3]{p_B} \cdot \sqrt[3]{p_A^2}}
    q_B = \frac{8.2}{ \sqrt[3]{p_A} \cdot \sqrt[3]{p_B^2}}
  2. q_A = \frac{8}{ \sqrt[4]{p_B} \cdot \sqrt[5]{p_A^4}}
    q_B = \frac{7}{ \sqrt{p_A^3} \cdot \sqrt[4]{p_B^3}}
  3. q_A = \frac{6.5}{ \sqrt{p_B^5} \cdot \sqrt[5]{p_A^3}}
    q_B = \frac{5.8}{ \sqrt[7]{p_A^8} \cdot \sqrt[9]{p_B^7}}
  4. q_A = \frac{5}{ \sqrt[3]{p_B^6} \cdot \sqrt[10]{p_A^2}}
    q_B = \frac{6.3}{ \sqrt[5]{p_A^2} \cdot \sqrt[4]{p_B^6}}

  1. q_A = {\rm e}^{3p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
    q_B = {\rm e}^{5p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
  2. q_A = {\rm e}^{10p_A} \cdot {\rm e}^{-7p_B}
    q_B = {\rm e}^{-5p_A} \cdot {\rm e}^{6p_B}
  3. q_A = {\rm e}^{-4p_A} \cdot {\rm e}^{3p_B}
    q_B = {\rm e}^{9p_A} \cdot {\rm e}^{-6p_B}
  4. q_A = {\rm e}^{-7p_A} \cdot {\rm e}^{-8p_B}
    q_B = {\rm e}^{-12p_A} \cdot {\rm e}^{-p_B}

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Solución

Ejercicio 20

Ejercicio 23

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Tasa Técnica de Sustitución y Tasa Marginal de Sustitución

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Tasa Técnica de Sustitución (TTS)

1.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

2.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

3.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

4.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

5.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{119}{22} \cdot \sqrt[ 44 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{39} }-\sqrt[ 44 ]{ l^{49} } \cdot \sqrt[ 44 ]{ k^{83} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

6.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{315}{59} \cdot \sqrt[ 77 ]{ l^{52} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{25} }-\sqrt[ 77 ]{ l^{129} } \cdot \sqrt[ 77 ]{ k^{102} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

7.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{219}{33} \cdot \sqrt[ 15 ]{ l } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{14} }-\sqrt[ 15 ]{ l^{16} } \cdot \sqrt[ 15 ]{ k^{29} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

8.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{158}{95} \cdot \sqrt[ 32 ]{ l^{3} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{29} }-\sqrt[ 32 ]{ l^{35} } \cdot \sqrt[ 32 ]{ k^{61} }

Determine la Tasa Técnica de Sustitución.

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Tasa Marginal de Sustitución

Reduzcamos una situación en la que un individuo de la sociedad sólo puede dedicar su tiempo a dos usos respecto al mercado: horas de trabajo y horas de no trabajo.

Denotaremos las horas de trabajo con la variable l (labor en inglés) y si por cada hora de trabajo obtiene un ingreso de w, entonces, considerando que este individuo puede adquirir bienes si trabaja, definimos la variable consumo c = l \cdot w.

Definiremos las horas de no trabajo como horas de ocio y las denotaremos con la variable h, estas representan las horas que dedica a trabajar en casa (no en el mercado), ver televisión o navegar en las redes sociales.

9.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{83} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{18} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{37} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

10.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{38} \cdot \sqrt[ 55 ]{ c^{27} } \cdot \sqrt[ 55 ]{ h^{28} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

11.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{12}{31} \cdot \sqrt[ 97 ]{ c^{40} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ h^{57} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

12.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{25}{74} \cdot \sqrt[ 31 ]{ c^{22} } \cdot \sqrt[ 31 ]{ h^{9} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

13.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{18}{89} \cdot \sqrt[ 43 ]{ c^{9} } \cdot \sqrt[ 43 ]{ h^{63} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

14.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{54}{77} \cdot \sqrt[ 83 ]{ c^{89} } \cdot \sqrt[ 83 ]{ h^{4} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

15.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{82}{85} \cdot \sqrt[ 33 ]{ c^{47} } \cdot \sqrt[ 48 ]{ h }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

16.- Suponga que las preferencias de un individuo están determinadas a través de la siguiente función de utilidad:

U(c,h) = \frac{21}{88} \cdot \sqrt[ 9 ]{ c^{41} } \cdot \sqrt[ 91 ]{ h^{50} }

Determine la Tasa Marginal de Sustitución.

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Solución

Ejercicio 1

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Análisis Marginal: Costos Conjuntos y Producción

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Funciones de Costos Conjuntos

1.- Una compañía fabrica celulares en dos presentaciones: Pixel, cuya cantidad producida se presenta con x y Pixel XL, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.1 x^{3} + 2.3 x^{2} - 65.0 x + 0.2 y^{3} - 2.2 y^{2} - 51.4 y + 5953

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 63 , 35 ) e interprete los resultados.

2.- Una compañía fabrica neveras en dos presentaciones: con congelador, cuya cantidad producida se presenta con x y sin congelador, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.2 x^{3} + 4.0 x^{2} - 199.8 x + 0.12 y^{3} + 3.72 y^{2} - 103.92 y + 5893

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 75 , 95 ) e interprete los resultados.

3.- Una compañía fabrica cristales en dos presentaciones: con anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con x y sin anti-reflejo, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.33 x^{3} - 1.6 x^{2} - 68.32 x + 0.2 y^{3} + 3.8 y^{2} - 150.0 y + 5296

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 32 , 22 ) e interprete los resultados.

4.- Una compañía fabrica trajes de baño en dos presentaciones: para damas, cuya cantidad producida se presenta con x y para caballeros, cuya cantidad producida se presenta con y. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y) = 0.14 x^{3} + 2.36 x^{2} - 134.58 x + 0.1 y^{3} + 0.8 y^{2} - 55.5 y + 5810

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x} y \dfrac{\partial c}{\partial y} en el punto P=( 39 , 43 ) e interprete los resultados.

5.- Una compañía fabrica metras/canicas en tres presentaciones: ojo de gato, cuya cantidad producida se presenta con x, coquito, cuya cantidad producida se presenta con y y bolondrones, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.5 x^{3} - 7.0 x^{2} - 96.0 x + 0.11 y^{3} + 0.47 y^{2} - 55.8 y + 0.33 z^{3} - 3.61 z^{2} - 16.84 z + 8878

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 92 , 59 , 98 ) e interprete los resultados.

6.- Una compañía fabrica helados en tres presentaciones: mantecado, cuya cantidad producida se presenta con x, chocolate, cuya cantidad producida se presenta con y y fresa, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.25 x^{3} + 1.25 x^{2} - 105.5 x + 0.1 y^{3} + 0.6 y^{2} - 24.7 y + 0.12 z^{3} - 0.88 z^{2} - 35.04 z + 8303

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 83 , 94 , 92 ) e interprete los resultados.

7.- Una compañía fabrica jabones de baño en tres presentaciones: finas esencias, cuya cantidad producida se presenta con x, flor primaveral, cuya cantidad producida se presenta con y y perro mojado, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.1 x^{3} + 8.0 x^{2} - 192.5 x + 0.17 y^{3} + 5.6 y^{2} - 173.88 y + 0.33 z^{3} + 0.07 z^{2} - 124.56 z + 9163

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 80 , 46 , 24 ) e interprete los resultados.

8.- Una compañía fabrica jugos empaquetados en tres presentaciones: manzana, cuya cantidad producida se presenta con x, pera, cuya cantidad producida se presenta con y y durazno, cuya cantidad producida se presenta con z. Ésta ha determinado que la función de Costos Conjuntos está expresada de la siguiente forma:

c(x,y,z) = 0.14 x^{3} + 3.22 x^{2} - 169.4 x + 0.12 y^{3} + 2.48 y^{2} - 95.4 y + 0.2 z^{3} + 6.4 z^{2} - 173.6 z + 8464

Evalúe las funciones \dfrac{\partial c}{\partial x}, \dfrac{\partial c}{\partial y} y \dfrac{\partial c}{\partial z} en el punto P=( 105 , 85 , 83 ) e interprete los resultados.

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Funciones de Producción

9.- Una compañía que fabrica celulares ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{45}{59} \cdot \sqrt[ 86 ]{ l^{81} } \cdot \sqrt[ 86 ]{ k^{5} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 659 ) e interprete los resultados.

10.- Una compañía que fabrica neveras ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{37}{56} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{95} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{2} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 100 , 295 ) e interprete los resultados.

11.- Una compañía que fabrica cristales ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{99} \cdot \sqrt[ 19 ]{ l^{18} } \cdot \sqrt[ 19 ]{ k }

Evalúe las funciones que \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 909 ) e interprete los resultados.

12.- Una compañía que fabrica trajes de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{14}{27} \cdot \sqrt[ 6 ]{ l^{5} } \cdot \sqrt[ 6 ]{ k }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 60 , 372 ) e interprete los resultados.

13.- Una compañía que fabrica metras/canicas ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{9}{13} \cdot \sqrt[ 97 ]{ l^{31} } \cdot \sqrt[ 97 ]{ k^{66} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 50 , 807 ) e interprete los resultados.

14.- Una compañía que fabrica helados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{61}{86} \cdot \sqrt[ 24 ]{ l^{7} } \cdot \sqrt[ 24 ]{ k^{17} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 20 , 1091 ) e interprete los resultados.

15.- Una compañía que fabrica jabones de baño ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{15}{68} \cdot \sqrt[ 90 ]{ l^{17} } \cdot \sqrt[ 90 ]{ k^{73} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 70 , 389 ) e interprete los resultados.

16.- Una compañía que fabrica jugos empaquetados ha determinado que cuando se emplean l horas de mano de obra y se invierten k miles de bolívares, la función de producción está expresada de la siguiente forma:

P(l,k) = \frac{13}{24} \cdot \sqrt[ 82 ]{ l^{61} } \cdot \sqrt[ 82 ]{ k^{21} }

Evalúe las funciones \dfrac{\partial P}{\partial l} y \dfrac{\partial P}{\partial k} en el punto P=( 80 , 661 ) e interprete los resultados.

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Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Bosquejo de Polinomios

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Puntos Críticos

Calcule los puntos críticos de las siguientes funciones y verifique si estos son máximos o mínimos locales. Finalmente, indique cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Recuerde que los puntos críticos de una función, son aquellos donde

f'(x)=0

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3+3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5+5

  1. f(x)=x^2+2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4+4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x
  2. f(x)=\dfrac{4x^3}{3} - \dfrac{16x^2}{2} + 60x
  3. f(x)=\dfrac{x^3}{3} + x^2 - 8x
  4. f(x)=x^3 + \dfrac{3x^2}{2} - 6x
  1. f(x)=x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 5
  2. f(x)=x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 2
  3. f(x)=2x^4 + 2x^3 - 2x^2 + 6
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Puntos de Inflexión

Calcule los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Finalmente, indique cuales son los intervalos de convexidad (cóncava hacia arriba) y concavidad (cóncava hacia abajo).

Recuerde que los posibles puntos de inflexión de una función, son aquellos donde

f''(x)=0$

  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x)=x^2+2
  2. f(x)=x^3-3
  3. f(x)=x^4+4
  4. f(x)=x^5-5

  1. f(x)=x^2-2x
  2. f(x)=x^3+3x
  3. f(x)=x^4-4x
  4. f(x)=x^5+5x

  1. f(x)=x^2 + x - 2
  2. f(x)=x^2 - 8x + 15
  3. f(x)=x^2 + 2x - 8
  4. f(x)=x^2 - 3x - 18

  1. f(x)=x^3 - 6x^2 + 11x - 6
  2. f(x)=x^3 - 7x + 6
  3. f(x)=x^3 + 3x^2 - 4x - 12
  4. f(x)=x^3 + 4x^2 + x - 6
  1. f(x)=x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12
  2. f(x)=x^4 - 6x^3 + x^2 + 24x - 20
  3. f(x)=x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10
  4. f(x)=x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 1

  1. f(x)=xe^x
  2. f(x)=x^2e^x
  3. f(x)=x^3e^x
  4. f(x)=x^4e^x

  1. f(x)=e^{x^2}
  2. f(x)=e^{x^2-1}
  3. f(x)=e^{x^2-x}
  4. f(x)=e^{x^3-x^2}

  1. f(x)=x \ln(x)
  2. f(x)=x^2 \ln(x)
  3. f(x)=x^3 \ln(x)
  4. f(x)=x^4 \ln(x)

  1. f(x)= \ln(x+3)
  2. f(x)= \ln(x^2-1)
  3. f(x)= \ln(x^3-8)
  4. f(x)= \ln(x^4-16)
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Bosquejo de Polinomios

Para graficar un polinomio hay que tomar en cuenta varios puntos de interés referentes a la función y sus primeras dos derivadas.

  • Para determinar los puntos de corte con el Eje Y, se debe evaluar la función en cero, es decir, calcular f(0) (Sustituir la variable x por cero).
  • Para calcular los puntos de corte con el Eje X, se deben calcular los puntos para los cuales la función es igual a cero, es decir, calcular los valores de x para los cuales f(x)=0 (Para esto se puede usar el Método del Discriminante si el polinomio es cuadrático o el Método de Ruffini si es de mayor grado).
  • Para determinar los puntos críticos, se deben calcular los puntos para los cuales la derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f'(x)=0.
  • Para determinar los puntos de inflexión, se deben calcular los puntos para los cuales la segunda derivada de la función es igual a cero, es decir, calcular los valores para los cuales f''(x)=0.

Una vez calculados estos puntos, tome en cuenta que el comportamiento de la función está definido por el signo de la función y sus primeras dos derivadas. Si consideramos un intervalo (a,b) \subseteq \mathbb{R}.

  • Si f(x)>0 en (a,b) entonces la función está por encima del Eje X.
  • Si f(x)<0 en (a,b) entonces la función está por debajo del Eje Y.
  • Si f'(x)>0 en (a,b) entonces la función es creciente (\nearrow).
  • Si f'(x)<0 en (a,b) entonces la función es decreciente (\searrow).
  • Si f''(x)>0 en (a,b) entonces la función es convexa (\cup).
  • Si f''(x)<0 en (a,b) entonces la función es cóncava (\cap).

En los siguientes ejercicios haga un bosquejo de la gráfica de los siguientes polinomios considerando los siguientes pasos:

  • Calculamos los puntos de corte con los ejes y estudiamos su positividad (intervalos en los que es positiva o negativa).
  • Calculamos los puntos críticos y determinamos su monotonía (intervalos en los que crece o decrece).
  • Calculamos los puntos de inflexión y determinamos su concavidad (intervalos en los que es convexa o cóncava).
  • Calculamos las imágenes de los puntos de los puntos críticos y de inflexión.
  • Esbozar la gráfica.
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  1. f(x)=x^2
  2. f(x)=x^3
  3. f(x)=x^4
  4. f(x)=x^5

  1. f(x) = x^2 + 4x - 5
  2. f(x) = x^2 + 5x + 4
  3. f(x) = x^2 + 8x + 15
  4. f(x) = x^2 - 1

  1. f(x) = - 4x^2 - 4x
  2. f(x) = 4x^2 + 4x
  3. f(x) = 2x^2 - 14x + 24
  4. f(x) = 2x^2 + 4x - 6

  1. f(x) = - 2x^3 - 2x^2 + 12x
  2. f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 20x
  3. f(x) = - 5x^3 + 10x^2 + 75x
  4. f(x) = x^3 + 8x^2 + 16x

  1. f(x) = x^3 - 3x^2 - 16x + 48
  2. f(x) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20
  3. f(x) = x^3 + 6x^2 - x - 30
  4. f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 64
  1. f(x) = 5x^3 + 30x^2 + 15x - 50
  2. f(x) = x^3 - 13x + 12
  3. f(x) = - 2x^3 - 6x^2 + 26x + 30
  4. f(x) = 5x^3 + 30x^2 - 5x - 150

  1. f(x) = x^4 - 25x^2 + 144
  2. f(x) = x^4 - 2x^2 + 1
  3. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16
  4. f(x) = x^4 - 8x^2 + 16

  1. f(x) = 10x^4 - 410x^2 + 4000
  2. f(x) = -x^4 + 45x^2 - 324
  3. f(x) = 9x^4 - 261x^2 + 900
  4. f(x) = 7x^4 - 203x^2 + 700

  1. f(x) = x^5 - 41x^3 + 400x
  2. f(x) = x^5 - 20x^3 + 64x
  3. f(x) = x^5 - 32x^3 + 256x
  4. f(x) = x^5 - 26x^3 + 25x

  1. f(x) = - 9x^5 + 1476x^3 - 57600x
  2. f(x) = - 2x^5 + 40x^3 - 128x
  3. f(x) = 2x^5 - 212x^3 + 4050x
  4. f(x) = 8x^5 - 488x^3 + 7200x
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Optimización de funciones en la economía

Para cada una de las siguientes situaciones, responda las siguientes preguntas:

  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de ingreso alcanza máximos? ¿Cuáles son esos ingresos máximos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de costos alcanza mínimos? ¿Cuáles son esos costos mínimos?
  • ¿Cuáles son valores de q para los cuales la función de utilidad alcanza máximos? ¿Cuáles son esas utilidades máximas?

  1. Sea 74 + \frac{3 \cdot q}{191} , la ecuación de oferta de caramelos en una confitería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{7 \cdot q^2}{22} + 59 .
  2. Sea 40 + \frac{21 \cdot q}{125} , la ecuación de oferta de piñatas en una piñatería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{13 \cdot q^2}{197} + 78 .
  3. Sea 35 + \frac{21 \cdot q}{293} , la ecuación de oferta de carne en una carnicería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{q^2}{831} + 49 .
  4. Sea 50 + \frac{2 \cdot q}{129} , la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma \frac{2 \cdot q^2}{55} + 13 .

  1. Sea 55 + 3 \cdot q , la ecuación de oferta de llaves en una cerrajería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.094q^3 - 0.6 q^2 + 32 .
  2. Sea 685 + 20 \cdot q , la ecuación de oferta de hamburguesas en una hamburguesería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma q^3 - 2 \cdot q^2 - 84 \cdot q + 360 .
  3. Sea 452 + 16 \cdot q , la ecuación de oferta de perros calientes en una perro calentero de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.15q^3 - 0.6 \cdot q^2 + 32 .
  4. Sea 421 + 19 \cdot q , la ecuación de oferta de palmeritas en una panadería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.065q^3 - 3 \cdot q^2 + 20 \cdot q + 600 .

  1. Sea 493 + 0.10 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de marcadores en una papelería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.1q^3 - q^2 + 65 \cdot q + 225 .
  2. Sea 635 + 0.3 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de papas fritas en una restaurante de comida rápida de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.11q^3 - 11 \cdot q^2 - 45 \cdot q + 567 .
  3. Sea 486 + 0.9 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de colchones en una mueblería de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.02q^3 - 12 \cdot q^2 + 27 \cdot q + 486 .
  4. Sea 60 + 0.5 \cdot q^2 , la ecuación de oferta de ropa en una calle de la ciudad y suponga que los costos totales vienen dados de la forma 0.35q^3 - q^2 + 21 \cdot q + 45 .

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Interpretación Económica de la Derivada

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Análisis Marginal

Para cada una de las siguientes situaciones, halle las funciones de ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal. Evalúe cada una en el valor indicado e interprete los resultados.

1.- Sea p=\frac{12}{100}q+10, la ecuación de oferta de cachitos de jamón y queso en una panadería de la ciudad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = q+5.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 10 cachitos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 10 cachitos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 10 cachitos.

2.- Sea p=\frac{4}{3}q+300, la ecuación de oferta de pan francés en una panadería de la ciudad por unidad. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 0.33 \cdot q^2 + 20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 50 unidades de pan francés.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 50 unidades de pan francés.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 50 unidades de pan francés.

3.- Una fábrica de queso crema ha calculado la siguiente ecuación de oferta para cada 100 gramos de su producto: p=\frac{45}{2000}q^2+679. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = 5q+43.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 100 kilos.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 100 kilos.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 100 kilos.

4.- Una fábrica de lavadoras ha calculado la siguiente ecuación de oferta por cada unidad de su producto: p=\frac{78}{560}\sqrt[5]{q^9}+25000. Si los costos para comprar materia prima varían de la forma C = \frac{8}{5}q^3+33q-20.

  • Calcule el Ingreso Marginal cuando se venden 25 unidades.
  • Calcule el Costo Marginal cuando se producen 25 unidades.
  • Calcule la Utilidad Marginal cuando se producen y venden 25 unidades.
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Elasticidad de Demanda

Para cada una de las siguientes funciones de demanda, halle la función de elasticidad de demanda puntual y calcule la elasticidad de demanda una vez que se fija el precio indicado, indique si la demanda es elástica, inelástica o tiene elasticidad unitaria.

  1. q=-3 \cdot p + 10 , p=8
  2. q=-4 \cdot p + 20, p=13
  3. q=-9 \cdot p + 15 , p=7
  4. q=-10 \cdot p + 35, p=20

  1. q=-0.7 \cdot p + 20 , p=11
  2. q=-0.4 \cdot p + 40, p=23
  3. q=-0.69 \cdot p + 9 , p=1
  4. q=-0.10 \cdot p + 18, p=6

  1. q=-10 \cdot p + 110 , p=63.4
  2. q=-50 \cdot p + 120, p=78.4
  3. q=-60 \cdot p + 125 , p=100.4
  4. q=-73 \cdot p + 357, p=237.67