Habiendo estudiado las operaciones entre polinomios, particularmente la división de polinomios, podemos ampliar las operaciones entre fracciones como una herramienta para simplificar las operaciones entre polinomios antes de efectuarlas.
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Definimos una expresión racional como el cociente entre dos polinomios. Formalmente, si y son dos polinomios con , entonces el siguiente cociente será una expresión racional:
Diremos que es el numerador (o dividendo) de la expresión y es el denominador (o divisor) de la expresión. En este caso, al ser, y polinomios, este tipo de expresiones racionales serán expresiones algebraicas racionales.
Operaciones entre Expresiones Racionales
Las operaciones entre expresiones racionales se efectúan de la misma forma en que se efectúan las operaciones entre fracciones, es decir, si , , y son polinomios, con y distintos de cero, definimos:
Suma de Expresiones Racionales
Resta de Expresiones Racionales
Multiplicación de Expresiones Racionales
División de Expresiones Racionales
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El objetivo de plantear expresiones racionales es el de simplificar expresiones que a primera vista parezcan complicadas o engorrosas para trabajar. Veamos en los siguientes ejemplos como efectuar operaciones entre expresiones racionales y de ser posible, su simplificación.
Ejemplos
Ejemplo 1
Efectúe la suma de las expresiones racionales y , y de ser posible, simplifique el resultado.
Notemos que en el numerador se efectuó la propiedad distributiva en ambos sumandos para poder sumar los elementos comunes, sin embargo, en el denominador no hizo falta aplicar la propiedad distributiva, pues ya la expresión estaba factorizada.
Ejemplo 2
Efectúe la resta de las expresiones racionales menos , y de ser posible, simplifique el resultado.
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Ejemplo 3
Efectúe el producto de las expresiones racionales y , y de ser posible, simplifique el resultado.
Podemos definir las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios como una generalización de las operaciones que hemos definido entre los números reales.
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Suma de polinomios
Para sumar o restar polinomios, recurrimos a la propiedad asociativa de los números reales, pues agrupamos los sumandos que tengan la misma potencia de como factor, de forma que si consideramos dos polinomios y , donde el grado de es mayor que el grado de , es decir, ; definimos la suma de la siguiente forma:
De igual forma, definimos la resta de la siguiente forma:
Notando que si el grado de es estrictamente mayor que el grado de , entonces completamos el polinomio con coeficientes ceros, es decir, para todo .
Veamos con algunos ejemplos como efectuar la suma de polinomios.
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Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando los polinomios y , calcule la suma.
Por lo tanto, .
Ejemplo 2
Considerando los polinomios y , calcule la suma.
Por lo tanto, .
Ejemplo 3
Considerando los polinomios y , calcule la resta.
Por lo tanto, .
Ejemplo 4
Considerando los polinomios y , calcule la resta.
Por lo tanto, .
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Producto de polinomios
Para multiplicar polinomios, recurrimos a la propiedad distributiva de los números reales, de forma que si consideramos dos polinomios y , podemos definir el producto de estos dos polinomios distribuyendo los productos de la siguiente forma
Una vez que se ha expandido este producto, lo podemos expresar como una sumatoria de la siguiente manera:
Este procedimiento pudiera resultar extenso y la notación del caso general pareciera engorrosa, sin embargo, efectuar el producto de polinomios no es más que la aplicación de la propiedad distributiva para los números reales y la posterior aplicación de las propiedades de las potencias para sumar los exponentes.
Veamos en los siguientes ejemplos como calcular algunos productos entre polinomios.
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Ejemplos
Ejemplo 5
Considerando los polinomios y . Calcule el producto , es decir,
Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes
Por lo tanto el producto de los polinomios y es igual a
Ejemplo 6
Considerando los polinomios y . Calcule el producto , es decir,
Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes
Por lo tanto el producto de los polinomios y es igual a
Ejemplo 7
Considerando los polinomios y . Calcule el producto , es decir,
Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes
Por lo tanto el producto de los polinomios y es igual a
Ejemplo 9
Considerando los polinomios y . Calcule el producto , es decir,
Aplicamos la propiedad distributiva y escribimos los productos resultantes en orden para facilitar la suma de los sumandos correspondientes
Por lo tanto el producto de los polinomios y es igual a
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División de polinomios
Para definir la división entre polinomios, debemos hacer algunas observaciones sobre división entre números reales pues considerando y dos números enteros, al dividir entre , buscamos un número tal que al multiplicarlo por el resultado sea exactamente , es decir, un número entero tal que
En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este número, buscamos un número tal que al multiplicarlo por , el resultado sea mayor de los enteros menores que , es decir, un número entero tal que
Donde . Esta propiedad se conoce como el algoritmo de la división. Al número lo llamaremos el resto de la división y se puede calcular como . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, . Veamos en los siguientes ejemplos como expresar algunas divisiones usando el algoritmo de la división.
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Ejemplos
Ejemplo 9
Si dividimos entre , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por el resultado sea o que está cerca de , particularmente el número que estamos buscando es pues y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a , esto lo expresamos de la siguiente forma:
Por lo tanto decimos que . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.
Ejemplo 10
Si dividimos entre , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por el resultado sea o que está cerca de , particularmente el número que estamos buscando es pues y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a , esto lo expresamos de la siguiente forma:
Por lo tanto decimos que . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.
Ejemplo 11
Si dividimos entre , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por el resultado sea o que está cerca de , particularmente el número que estamos buscando es pues y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a , esto lo expresamos de la siguiente forma:
Por lo tanto decimos que . En este caso el resto es distinto de cero, por lo tanto, decimos que la división no es exacta.
Ejemplo 12
Si dividimos entre , entonces buscamos un número entero tal que al multiplicarlo por el resultado sea o que está cerca de , particularmente el número que estamos buscando es pues y de acuerdo con el algoritmo de la división, el resto es igual a , esto lo expresamos de la siguiente forma:
Por lo tanto decimos que . En este caso el resto es igual a cero, por lo tanto, decimos que la división es exacta.
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El algoritmo de la división se puede generalizar al operar entre polinomios. De modo que si consideramos y dos polinomios tales que el grado de es menor o igual que el grado de , al dividir entre , buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por el resultado sea exactamente , es decir, un polinomio tal que
En este caso, decimos que la división es exacta. Sin embargo, si no podemos encontrar este polinomio, buscamos un polinomio tal que al multiplicarlo por el polinomio resultante tenga el mismo grado que y que el grado del polinomio que define el resto sea menor que el grado de , es decir, un polinomio tal que
Donde . Además notemos que si la división es exacta, entonces el resto de la división es igual a cero, es decir, . Veamos en los siguientes ejemplos el método para dividir polinomios y además, como expresar estas divisiones usando el algoritmo de la división.
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Ejemplos
Ejemplo 13
Si dividimos el polinomio entre el polinomio , entonces los escribimos de la siguiente forma
El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio , en este caso el polinomio que estamos buscando es y lo escribimos de la siguiente forma
El siguiente paso será multiplicar el polinomio por y el resultado se lo restamos al polinomio de la siguiente forma
Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio , Por lo tanto, concluimos que
Ejemplo 14
Si dividimos el polinomio entre el polinomio , entonces completamos los polinomios incompletos y los escribimos de la siguiente forma
El siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio , en este caso el polinomio que estamos buscando es y lo escribimos de la siguiente forma
El siguiente paso será multiplicar el polinomio por y el resultado se lo restamos al polinomio de la siguiente forma
Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio , por lo tanto, el siguiente paso será buscar un polinomio tal que al multiplicarlo por el primer sumando del polinomio el resultado sea exactamente igual al primer sumando del polinomio en el resto, de decir, el polinomio .
En este caso el polinomio que estamos buscando es y lo multiplicamos por el polinomio ; el resultado se lo restamos al polinomio de la siguiente forma
Notamos que el grado del polinomio en el resto es menor que el grado del polinomio , Por lo tanto, concluimos que