Ejercicios Propuestos – Productos Notables

Factorice y simplifique las siguientes expresiones algebraicas, tomando en cuenta el El trinomio cuadrado perfecto y la La Diferencia de Cuadrados.

  1. 3x + 3
  2. 10x + 10
  3. 3x + 30
  4. 4x + 24
  1. 5x + 5 + 5\sqrt[]{5}
  2. 10x + 10 + 10\sqrt[3]{6}
  3. 7x + 14 + 7\sqrt[4]{8}
  4. 9x + 72 + 3\sqrt[3]{81}
  1. x^2 - 1
  2. x^2 - 4
  3. x^2 - 9
  4. x^2 - 16
  1. 10x^2 - 50
  2. 3x^2 - 18
  3. 5x^2 - 35
  4. 2x^2 - 16
  1. x^4 - 1
  2. x^4 - 16
  3. x^4 - 20
  4. x^4 - 36
  1. x^3 - x
  2. x^4 - x^2
  3. x^5 - 4x^3
  4. x^6 - 9x^4
  1. x^2 + 5x + 6
  2. x^2 + 6x + 5
  3. x^2 + 6x + 8
  4. x^2 + 5x + 4
  1. x^2 + 5x - 14
  2. x^2 + 4x - 32
  3. x^2 - 3x - 28
  4. x^2 - 5x + 6
  1. 2x^2 + 16x + 24
  2. 3x^2 + 30x + 72
  3. 4x^2 + 8x + 4
  4. 5x^2 + 45x + 70
  1. 5x^2 - 15x - 200
  2. 6x^2 - 30x - 216
  3. 7x^2 + 14x - 245
  4. -10x^2 + 90x - 200
  1. \dfrac{3x + 3}{3}
  2. \dfrac{10x + 10}{10}
  3. \dfrac{4x + 24}{4}
  4. \dfrac{3x + 30}{3}
  1. \dfrac{3x + 3}{x+1}
  2. \dfrac{10x + 20}{x+2}
  3. \dfrac{4x + 24}{x+3}
  4. \dfrac{3x + 30}{x+10}
  1. \dfrac{x^2 - 1}{x+1}
  2. \dfrac{x^2 - 4}{x-2}
  3. \dfrac{x^2 - 9}{x+3}
  4. \dfrac{x^2 - 16}{x-4}
  1. \dfrac{10x^2 - 50}{10}
  2. \dfrac{3x^2 - 18}{3}
  3. \dfrac{5x^2 - 35}{x-7}
  4. \dfrac{2x^2 - 16}{x+4}
  1. \dfrac{x^4 - 1}{x+1}
  2. \dfrac{x^4 - 16}{x-2}
  3. \dfrac{x^4 - 20}{x^2 + \sqrt{20}}
  4. \dfrac{x^4 - 36}{x^2 - \sqrt{36}}
  1. \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x+3}
  2. \dfrac{x^2 + 6x + 5}{x+1}
  3. \dfrac{x^2 + 6x + 8}{x+2}
  4. \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x+4}
  1. \dfrac{2x^2 + 16x + 24}{x+2}
  2. \dfrac{3x^2 + 30x + 72}{x+6}
  3. \dfrac{4x^2 + 8x + 4}{x+1}
  4. \dfrac{5x^2 + 45x + 70}{x+9}
  1. \dfrac{x^2 + 5x - 14}{x^2 + x - 42}
  2. \dfrac{x^2 + 4x - 32}{x^2 + 6x + 16}
  3. \dfrac{x^2 - 3x - 28}{x^2 - 11x + 28}
  4. \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 7x + 10}

El Conjugado de una Suma

A continuación definiremos una expresión que está íntimamente relacionada con la diferencia de cuadrados, pues al encontrar la suma (o la resta según sea el caso) de dos números reales, podemos definir una expresión que nos permitirá escribir dicha resta como una diferencia de cuadrados.

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Formalmente, Si a y b son dos números reales, el conjugado de la suma (a+b) está definido como (a-b). De igual forma, el conjugado de la resta (a-b) está definido como (a+b). Es decir, se cambia el signo que se encuentra entre ellos dos. La importancia del conjugado radica en que el producto de una suma por su conjugado es igual a una diferencia de cuadrados, es decir,

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Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

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Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para simplificar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como identificar el conjugado de algunas expresiones:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Identifique el conjugado de 12 - 5. No tiene mucho sentido identificar el conjugado de esta expresión pues podemos simplemente efectuar la resta y obtener 7 como resultado.

Ejemplo 2

Identifique el conjugado de \sqrt{12} - 5. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de doce, por lo tanto no no se puede restar con cinco, entonces, concluimos que su conjugado es \sqrt{12} + 5.

Ejemplo 3

Identifique el conjugado de 3 + \sqrt{8}. Notemos que uno de los sumando involucrados es raíz cuadrada de ocho, por lo tanto no no se puede sumar con tres, entonces, concluimos que su conjugado es 3 - \sqrt{8}.

Ejemplo 4

Identifique el conjugado de 3x - 7. Notemos que uno de los sumando involucrados es tres por una incógnita, por lo tanto no se puede restar con siete, entonces, concluimos que su conjugado es 3x + 7.

Ejemplo 5

Identifique el conjugado de 15 + 4x. Notemos que uno de los sumando involucrados es cuatro por una incógnita, por lo tanto no se puede sumar con 15, entonces, concluimos que su conjugado es 15 - 4x.

Ejemplo 6

Identifique el conjugado de 6 + \sqrt{x+2}. Esta resta no se puede efectuar, entonces, concluimos que su conjugado es 6 - \sqrt{x+2}. Notando que el signo dentro de la raíz no cambia.


La Diferencia de Cuadrados

Al efectuar operaciones matemáticas es común toparse con restas entre dos números, sin embargo, al encontrar la resta de los cuadrados de dos números diremos que esta es una diferencia de cuadrados y es de nuestro particular interés porque a través de la propiedad distributiva, podemos expresarla como el producto de dos factores.

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Formalmente, si a y b son dos números reales, entonces la diferencia de sus cuadrados será igual a la suma del primero más el segundo, multiplicado por la resta del primero por el segundo, es decir,

La Diferencia de Cuadrados | totumat.com

Esta igualdad se puede deducir efectuando la propiedad distributiva de los números reales, veamos entonces,

La Diferencia de Cuadrados | totumat.com

Este tipo de expresiones se encuentra a menudo en el desarrollo las operaciones algebraicas y se usa principalmente para factorizar operaciones, veamos en los siguientes ejemplos como aplicar esta operación:

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Ejemplos

Ejemplo 1

Factorice la expresión 5^2 - 3^2. Notamos que en este caso, podemos simplemente aplicar la potencia cada uno de los sumandos y efectuar la resta directamente.

5^2 - 3^2 \ =\ 25 - 9

\ =\ 16

Ejemplo 2

Factorice la expresión x^2 - 9. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es nueve, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que nueve es igual a tres al cuadrado.

x^2 - 9 \ =\ x^2 - 3^2

\ =\ (x-3)(x+3)

Ejemplo 3

Factorice la expresión x^2 - 2. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es equis al cuadrado y el otro es dos, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que dos se puede reescribir como 2 = \left( \sqrt{2} \right)^2.

x^2 - 2 \ =\ x^2 -\left( \sqrt{2} \right)^2

\ =\ \left(x-\sqrt{2}\right) \left(x+\sqrt{2}\right)

De esta forma, podemos notar que si la raíz cuadrada de un numero no es exacta, este se puede reescribir para poder usar la diferencia de cuadrados.

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Ejemplo 4

Factorice la expresión 8 - x^6. Notamos que en este caso, uno de los sumandos es 8 y el otro es equis a la seis, así que no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados notando que ocho se puede reescribir como 8 = \left( \sqrt{8} \right)^2 y equis a la seis como x^6 = \left( x^3 \right)^2.

8 - x^6 \ =\ \left( \sqrt{8} \right)^2 - \left(x^3 \right)^2

\ =\ \left(\sqrt{8}-x^3\right) \left(\sqrt{8}+x^3\right)

Ejemplo 5

Factorice la expresión 36x^4 - 5x^8. Notamos que en este caso, no podemos efectuar la resta entre ellos así que aplicamos la diferencia de cuadrados usando las observaciones expuestas en los ejemplos anteriores.

36x^4 - 5x^8 \ =\ \left( 6x^2 \right)^2 - \left( \sqrt{5}x^4 \right)^2

\ =\ \left(6x^2-\sqrt{5}x^4\right) \left(6x^2+\sqrt{5}x^4\right)