Punto de Intersección entre dos rectas | totumat.com

El Punto de Intersección entre dos rectas

Si dos rectas se intersectan (o intersecan), hemos mencionado que éstas se intersectan en un único punto, sin embargo no se ha hecho mención sobre la naturaleza de este punto. Gráficamente, el punto de intersección entre estas dos rectas es el punto donde ellas dos son exactamente iguales. A partir de este hecho, podemos calcular el valor de las coordenadas que lo definen, formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

l_1 : \ y = m_1 x + b_1
l_2 : \ y = m_2 x + b_2

El punto P_0 = (x_0,y_0) es el punto de intersección de l_1 y l_2, si los valores de x_0 y y_0 satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto se conoce como un sistema de ecuaciones lineales que consta de dos ecuaciones y dos incógnitas, sin embargo, no indagaremos sobre este tema pues notando que las rectas están expresadas de la forma pendiente ordenada, simplemente igualaremos las expresiones que las definen para posteriormente calcular el valor de las incógnitas.

Veamos con algunos ejemplos como calcular el punto de intersección entre dos rectas utilizando esta técnica.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = 3x-3 y l_2 : y = -x + 1.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ y = 3x-3
l_2 : \ y = -x + 1

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable x

3x-3 = -x + 1
\Rightarrow \ 3x + x = 1 + 3
\Rightarrow \ 4x = 4
\Rightarrow \ x = \frac{4}{4}
\Rightarrow \ x = 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de y. Sustituyamos el valor de x=1 en l_1:

y = 3(1)-3 \Rightarrow \ y = 3-3 \Rightarrow \ y=0

Notemos que si sustituimos el valor de x=1 en la recta l_2, obtenemos el mismo valor para y:

y = -(1) + 1 \Rightarrow \ y = -1+1 \Rightarrow \ y=0

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = (1,0) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 2

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -4x-2 y l_2 : y = \frac{1}{4}x + 3.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ y = -4x-2
l_2 : \ y = \frac{1}{4}x + 3

Igualamos las dos expresiones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable x

-4x-2 = \frac{1}{4}x + 3
\Rightarrow \ -4x - \frac{1}{4}x = 3 + 2
\Rightarrow \ -\frac{17}{4}x = 5
\Rightarrow \ x = -\frac{20}{17}

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=-\frac{20}{17}. Sustituyamos este valor en l_1:

y = -4\left( -\frac{20}{17} \right)-2 \Rightarrow \ y = \frac{80}{17} -2 \Rightarrow \ y = \frac{46}{17}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -\frac{20}{17} , \frac{46}{17} \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 3

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = x+5 y l_2 : y = 2.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_2 una recta horizontal, simplemente sustituimos el valor de y que la define en la recta l_1 y a partir de ahí, calculamos el valor de x. Entonces, si y=2 tenemos que

2 = x+5 \Rightarrow \ -x = 5-2 \Rightarrow \ -x = 3 \Rightarrow \ x = -3

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -3 , 2 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 4

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -\frac{1}{5}x+2 y l_2 : x = -1.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_2 una recta vertical, simplemente sustituimos el valor de x que la define en la recta l_1 y a partir de ahí, calculamos el valor de y. Entonces, si x=-1 tenemos que

y = -\frac{1}{5}(-1)+2 \Rightarrow \ y = \frac{1}{5}+2 \Rightarrow \ y = \frac{11}{5}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( -1 , \frac{11}{5} \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 5

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : y = -3 y l_2 : x = 4.

En este caso es necesario plantear un sistema de ecuaciones, pues al ser l_1 una recta horizontal y l_2 una recta vertical, podemos concluir de forma inmediata que el punto de intersección entre ellas dos es (4,-3) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano.


Hemos visto los casos de intersecciones donde las rectas están expresadas de la forma pendiente-ordenada, vemos ahora el caso en el que tenemos rectas expresadas de forma general. formalmente, si consideramos dos rectas expresadas de la siguiente forma

l_1 : \ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0
l_2 : \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0

Nuevamente, el punto P_0 = (x_0,y_0) es el punto de intersección de l_1 y l_2, si los valores de x_0 y y_0 satisfacen las dos ecuaciones al mismo tiempo. Sin embargo, la forma de abordar este tipo de casos es ligeramente diferente a caso pendiente-ordenada.

En estos casos no tiene sentido igualar la dos expresiones que definen las rectas, así que la técnica para hallar la solución consiste en efectuar operaciones entre ambas ecuaciones para anular una de las dos variables. Veamos con algunos ejemplos como calcular la solución de este tipo de sistemas de ecuaciones.

Ejemplos

Ejemplo 6

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 2 x + 2 y - 1 = 0 y l_2 : - 2 x + y + 4 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 2 x + 2 y - 1 = 0
l_2 : \ - 2 x + y + 4 = 0

En este caso particular, podemos notar que en una ecuación está la expresión 2x y en la otra, la expresión -2x, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable y, y así obtener el valor y_0 de nuestro punto de intersección.

0x + 3y + 3 = 0
\Rightarrow \ 3y + 3 = 0
\Rightarrow \ 3y = -3
\Rightarrow \ y = -\frac{3}{3}
\Rightarrow \ y = - 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es y=-1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de x. Sustituyamos el valor de y=-1 en l_1:

2 x + 2 (-1) - 1 = 0
\Rightarrow \ 2x - 2 - 1 = 0
\Rightarrow \ 2x - 3 = 0
\Rightarrow \ 2x = 3
\Rightarrow \ x = \frac{3}{2}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( \frac{3}{2}, -1 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

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Ejemplo 7

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 3 x - 5 y + 2 = 0 y l_2 : x + y - 2 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0
l_2 : \ x + y - 2 = 0

En el caso anterior pudimos anular con relativa sencillez la variable x pero en este caso particular, podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por 5 obtenemos

l_1 : \ 3 x - 5 y + 2 = 0
l_2 : \ 5x + 5y - 10 = 0

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión -5y y en la otra, la expresión 5y, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable x, y así obtener el valor x_0 de nuestro punto de intersección.

8x + 0y - 8 = 0
\Rightarrow \ 8x - 8 = 0
\Rightarrow \ 8y = 8
\Rightarrow \ y = \frac{8}{8}
\Rightarrow \ y = 1

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es x=1 y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de y. Sustituyamos el valor de x=1 en l_1:

3 (1) - 5 y + 2 = 0
\Rightarrow \ 3 - 5y + 2 = 0
\Rightarrow \ -5x + 5 = 0
\Rightarrow \ -5x = -5
\Rightarrow \ x = \frac{-5}{-5}
\Rightarrow \ x = 1

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left( 1, 1 \right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.

Ejemplo 8

Calcule el punto de intersección entre las rectas l_1 : 6 x - 5 y + 4 = 0 y l_2 : 4 x + 3 y - 5 = 0.

Para esto definimos nuestro sistema de ecuaciones lineales

l_1 : \ 6 x - 5 y + 4 = 0
l_2 : \ 4 x + 3 y - 5 = 0

En este caso debemos notar que las variables están acompañadas por distintos coeficientes, así que no basta con multiplicar sólo una ecuación para anular términos. Debemos entonces, multiplicar ambas ecuaciones por números que nos ayuden a anular sumandos. Multipliquemos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por -6.

l_1 : \ 24 x - 20 y + 16 = 0
l_2 : \ -24 x - 18 y + 30 = 0

Ahora, podemos notar que en una ecuación está la expresión 24x y en la otra, la expresión -24y, por lo tanto, podemos sumar ambas ecuaciones para obtener que

Considerando la ecuación resultante, podemos despejar la variable x, y así obtener el valor x_0 de nuestro punto de intersección.

0x - 38y + 36 = 0
\Rightarrow \ -38y + 36 = 0
\Rightarrow \ -38y = -36
\Rightarrow \ y = \frac{38}{36}
\Rightarrow \ y = \frac{19}{18}

De esta forma, podemos concluir que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es y = \frac{19}{18} y tomando en cuenta que este valor es común en ambas rectas, podemos sustituirlo en las recta de nuestra preferencia para calcular el valor de x. Sustituyamos el valor de y = \frac{19}{18} en l_2:

4 x + 3 \left( \frac{19}{18} \right) - 5 = 0
\Rightarrow \ 4 x + \frac{19}{6} - 5 = 0
\Rightarrow \ 4 x - \frac{11}{6} = 0
\Rightarrow \ 4 x = \frac{11}{6}
\Rightarrow \ x = \frac{11}{24}

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas l_1 y l_2 es P_0 = \left(\frac{11}{24},\frac{19}{18}\right) y podemos además, ubicarlo en el plano cartesiano. Graficamos ambas rectas haciendo una tabla de valores considerando únicamente los puntos de corte con los ejes.


Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Al considerar dos rectas l_1 : y = m_1 x + b_1 y l_2 : y = m_2 x + b_2 podemos establecer dos tipos de interacciones entre ellas, recordando que las rectas en realidad definen conjuntos en el plano cartesiano, consideremos los dos casos posibles:

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Rectas Paralelas

Diremos que dos rectas son paralelas si no tienen ningún elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es el conjunto vacío. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir, m_1 = m_2. Gráficamente, tenemos que:

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dos rectas que nunca se encuentran

Rectas que se cortan

Por otra parte, diremos que dos rectas se intersectan (en algunos textos se dice intersecan, sin embargo, al hablar de las rectas como de conjuntos usaremos la palabra intersectan) si tienen exactamente un elemento en común, es decir, la intersección entre ambas es un solo punto. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas se intersectan si sus pendientes son diferentes, es decir, m_1 \neq m_2. Gráficamente, tenemos que:

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dos rectas que se encuentran una sola vez

Rectas Perpendiculares

Más aún, diremos que dos rectas que se intersectan son perpendiculares si éstas forman un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Al considerar las ecuaciones que las definen, diremos que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir, m_1 \cdot m_2 = -1. Gráficamente, tenemos que:

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dos rectas que se encuentran perpendicularmente

Considerando este tipo de interacciones, veamos algunos ejemplos en los que la información de una recta puede ser usada para calcular la ecuación de otra sabiendo como se relacionan estas dos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la ecuación de la recta l_1 que pasa por el punto P_0 = (1,4) y es paralela al la recta l_2 : y = -2x -2

Al observar la ecuación de la recta l_1 podemos identificar inmediatamente su pendiente que es m_2 = -2, entonces, al ser l_1 y l_2 rectas paralelas, la pendiente m_1 = m_2 = -2.

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4) y tiene pendiente m_1 = -2.

(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)
\Rightarrow \ (y - 4) = -2 \cdot (x - 1)
\Rightarrow \ y - 4 = -2x - 1
\Rightarrow \ y = -2x + 3

Concluimos entonces que la ecuación de la recta l_1 es y = -2x + 3 y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -2(0) + 3 \Rightarrow \ y = 3

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es (0,3)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -2x + 3 \Rightarrow \ 2x = 3 \Rightarrow \ x = \frac{3}{2}

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( \frac{3}{2},0 \right)

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Ejemplo 2

Calcule la ecuación de la recta l_1 que pasa por el punto P_0 = (2,-3) y es perpendicular a la recta l_2 : y = 3x + 1

Al observar la ecuación de la recta l_2 podemos identificar inmediatamente su pendiente que es m_2 = 3, entonces, al ser l_1 y l_2 rectas perpendiculares, tenemos que el producto de las pendientes m_1 \cdot m_2 = -1. Sabiendo esto, despejamos la pendiente que estamos buscando:

m_1 \cdot 3 = -1 \Rightarrow \ m_1 = -\frac{1}{3}

Luego, al aplicar la ecuación punto-pendiente, tenemos que calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y tiene pendiente m_1 = 3.

(y - y_0) = m_1 \cdot (x - x_0)
\Rightarrow \ (y - (-3)) = -\frac{1}{3} \cdot (x - 2)
\Rightarrow \ y + 3 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}
\Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3}

Concluimos entonces que la ecuación de la recta l_1 es y = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} y para determinar su gráfica, calcularemos los puntos de corte de la recta con los ejes. Entonces,

x= 0 \Rightarrow \ y = -\frac{1}{3}(0) - \frac{7}{3} \Rightarrow \ y = - \frac{7}{3}

Es decir, el punto de corte con el Eje Y es \left( 0 , - \frac{7}{3} \right)

y= 0 \Rightarrow \ 0 = -\frac{1}{3}x - \frac{7}{3} \Rightarrow \ \frac{1}{3}x = - \frac{7}{3} \Rightarrow \ x = - 7

Es decir, el punto de corte con el Eje X es \left( -7 , 0 \right)

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