Ejercicios Propuestos

Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Cuadráticas

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras. Calcule los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones, escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

  1. \left(x - 6\right) \left(x - 3\right) \geq 0
  2. \left(x - 3\right) \left(x - 2\right) > 0
  3. \left(x + 1\right) \left(x + 5\right) < 0
  4. \left(x + 1\right) \left(x + 6\right) \leq 0

  1. - 8 \left(x - 5\right) \left(x - 1\right) < 0
  2. 9 \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \geq 0
  3. 3 \left(x - 7\right) \left(x + 2\right) \leq 0
  4. -7 \left(x - 7\right) \left(x + 1\right) > 0

  1. x^{2} - x - 30 < 0
  2. x^{2} + 9 x + 18 > 0
  3. x^{2} - 81 \geq 0
  4. x^{2} + 5 x - 24 \leq 0

  1. 7 x^{2} - 7 x + 42 < 0
  2. - 8 x^{2} - 56 x + 240 > 0
  3. - 4 x^{2} + 28 x - 48 \leq 0
  4. 7 x^{2} + 21 x - 280 \geq 0

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Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values ​​p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma ax^2+bx+c=0 para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

-x^2 + px + 3 = (x+2)^2

\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4

\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0

\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0

\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

b^2-4 \cdot a \cdot c > 0

Entonces, identificando a=2, b=-(p+4) y c=1, tenemos que

\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0, pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de p para los cuales \left( p+4 \right)^2 \leq 8 y estos son: -2, -3, -4, -5 y -6; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos p=-2, tenemos que

\left( -2+4 \right)^2 < 8

\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8

\Rightarrow 4 < 8

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que p puede tomar son todos los enteros mayores que -2 o todos los valores enteros menores que -6, es decir, todos los valores de p tales que

p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty), con p \in \mathbb{Z}

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, -2, -3, -4, -5 y -6; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

-2 -3 -4  -5 -6 = -20

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Inecuaciones Cuadráticas (2 de 2)

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Caso 2: ax^2+bx+c < 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q < 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q < 0
ó
p > 0 \text{ y } q < 0

Es decir, p y q deben deben ser siempre uno negativo y otro positivo. Ya que «más por menos es menos» y «menos por más es menos». Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» (\leq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos como calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x+4) \cdot (x-1) < 0

x+4 > 0 \text{ y } x-1 < 0
ó
x+4 < 0  \text{ y }  x-1 > 0

Posteriormente despejamos la variable x de cada una de estas inecuaciones lineales e identificamos cada línea para presentar la solución de la siguiente manera:

x > -4 \text{ y } x < 1 (1)
ó
x < -4 \text{ y } x > 1 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-4,+\infty) y (-\infty,1) así

(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)

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Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos (-\infty,-4) y (1,+\infty) esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset

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la intersección de los dos conjuntos es vacía

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con (1) o todos los elementos que cumplen con (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + x - \dfrac{3}{4}  \leq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a = 1, b = 1 y c = -\dfrac{3}{4}:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ 1  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -\dfrac{ 1 }{ 2 } y x_2 = \dfrac{ 3 }{ 2 }, por lo tanto, podemos factorizar la inecuación cuadrática de la forma:

\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \geq 0 \text{ y }x - \dfrac{ 3 }{ 2 }  \leq  0
ó
\Rightarrow x + \dfrac{ 1 }{ 2 }  \leq  0  \text{ y } x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \geq 0

Solución 1:

\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]

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Solución 2:

\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset

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Solución General:
\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]

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Inecuaciones Cuadráticas (1 de 2)

¡Retomemos la Ley de los Signos!

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas, es posible definir las inecuaciones cuadráticas considerando tres números reales a, b y c, de la siguiente forma

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Donde > pudiera ser cualquier desigualdad.

Donde «>» representa en realidad cualquier desigualdad >, \geq, < ó \leq. Tomando en cuenta que al conocer las raíces de un polinomio cuadrático, éste se puede reescribir como el producto de dos factores, plantearemos la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la ley de los signos.

Para esto hacemos dos preguntas: ¿Cuándo el producto de dos números es positivo? y, ¿cuándo el producto de dos números es negativo? Para responderlas, debemos plantear dos casos:

Caso 1: ax^2+bx+c > 0

Sean p y q dos números reales. Consideremos el producto p \cdot q > 0, entonces fijándonos en la ley de los signos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir p y q para que se satisfaga la desigualdad son las siguientes:

p > 0 \text{ y } q > 0
ó
p < 0 \text{ y }  q < 0

Es decir, ambos números p y q deben ser ambos positivos o ambos negativos al mismo tiempo. Ya que «más por más es más» y «menos por menos es más». Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» (\geq). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

(x-2) \cdot (x+3) > 0

Consideremos una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado de la siguiente forma: (x-2) \cdot (x+3) > 0, Entonces, considerando los dos factores (x-2) y (x+3) tenemos que

x-2 > 0 \text{ y } x+3 > 0
ó
x-2 < 0 \text{ y } x+3 < 0

Notamos entonces que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad. Así,

x > 2 \text{ y } x > -3 (1)
ó
x < 2 \text{ y } x < -3 (2)

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen la línea (1) o todos los números que satisfacen la línea (2), analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces como calcular ambas soluciones:

Solución (1): Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que 2 y mayores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (2,+\infty) y (-3,+\infty) así

(2,+\infty) \cap (-3,+\infty) = (2,+\infty)

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intersección de los dos intervalos

Solución (2): Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que 2 y menores que -3 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos (-\infty,2) y (-\infty,-3) así

(-\infty,2) \cap (-\infty,-3) = (-\infty,-3)

Intervalos | totumat.com
intersección de los dos intervalos

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2), es por esto que consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
(2,+\infty) \cup (-\infty,-3)

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unión de los dos intervalos

Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado, además, hagamos cada pasa de forma resumida para agilizar el desarrollo del ejemplo.

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Ejemplo 2

Calcule los valores de x que satisfacen la siguiente desigualdad:

x^2 + 6x + 8  \geq 0

Notando que el polinomio no está factorizado, utilizamos el método del discriminante para factorizarlo considerando que sus coeficientes son a=1, b=6 y c=8:

x  =  \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{( 6 )^2-4 \cdot ( 1 ) \cdot ( 8 )}}{2 \cdot ( 1 )} =  \dfrac{ -6  \pm  2 }{ 2 }

Así, x_1 = -2 y x_2 = -4, por lo tanto, podemos reescribir la inecuación cuadrática de la forma: (x - ( -2 )) \cdot (x - ( -4 )) \geq 0 que a su vez se puede expresar como

(x  +2 ) \cdot (x  +4 ) \geq 0

x+2 \geq 0 \text{ y } x+4 \geq 0 (1)
ó
x+2 \leq 0 \text{ y } x+4 \leq 0 (2)

\Rightarrow  x \geq -2 \text{ y } x \geq -4 (1)
ó
\Rightarrow  x \leq -2 \text{ y } x \leq -4 (2)

Solución (1):

[-2,+\infty) \cap [-4,+\infty) = [-2,+\infty)

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Solución (2):

(-\infty,-2] \cap (-\infty,-4] = (-\infty,-4]

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Solución General:
[-2,+\infty) \cup (-\infty,-4]

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Aunque se pueden considerar más ejemplos, estos son los ejemplos básicos de las situaciones que se pueden presentar al calcular la solución de una inecuación cuadrática. Luego consideraremos el caso 2, donde estudiaremos qué ocurre si el producto de dos números es negativo.