Ejercicios Propuestos – Inecuaciones Cuadráticas

15.03.202215.03.2022 Anthonny Arias García3 comentarios

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras. Calcule los valores de $x$ que satisfacen las siguientes ecuaciones, escriba los conjuntos solución y además, represente la solución gráficamente en la recta real.

$\left(x - 6\right) \left(x - 3\right) \geq 0$
$\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) > 0$
$\left(x + 1\right) \left(x + 5\right) < 0$
$\left(x + 1\right) \left(x + 6\right) \leq 0$

$- 8 \left(x - 5\right) \left(x - 1\right) < 0$
$9 \left(x + 5\right) \left(x + 6\right) \geq 0$
$3 \left(x - 7\right) \left(x + 2\right) \leq 0$
$-7 \left(x - 7\right) \left(x + 1\right) > 0$

$x^{2} - x - 30 < 0$
$x^{2} + 9 x + 18 > 0$
$x^{2} - 81 \geq 0$
$x^{2} + 5 x - 24 \leq 0$

$7 x^{2} - 7 x + 42 < 0$
$- 8 x^{2} - 56 x + 240 > 0$
$- 4 x^{2} + 28 x - 48 \leq 0$
$7 x^{2} + 21 x - 280 \geq 0$

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Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

07.12.202107.12.2022 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c=0$ para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

$-x^2 + px + 3 = (x+2)^2$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4$

$\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

$\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0$

$\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0$

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

$b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$

Entonces, identificando $a=2$ , $b=-(p+4)$ y $c=1$ , tenemos que

$\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$

$\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8$

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales $\left( p+4 \right)^2 - 8 > 0$ , pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de $p$ para los cuales $\left( p+4 \right)^2 \leq 8$ y estos son: $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos $p=-2$ , tenemos que

$\left( -2+4 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8$

$\Rightarrow 4 < 8$

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que $p$ puede tomar son todos los enteros mayores que $-2$ o todos los valores enteros menores que $-6$ , es decir, todos los valores de $p$ tales que

$p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty)$ , con $p \in \mathbb{Z}$

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, $-2$ , $-3$ , $-4$ , $-5$ y $-6$ ; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

$-2 -3 -4 -5 -6 = -20$

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

Inecuaciones Cuadráticas, caso «menor que»

27.11.201906.01.2023 Anthonny Arias GarcíaDeja un comentario

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «menor que»
  2. Ejemplo 2, «menor o igual que»

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el segundo caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «menor que» o «menor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c < 0$

Tomando en cuenta que si conocemos las raíces del polinomio $ax^2 + bx + c$ , éste se puede reescribir como el producto de dos factores y de esta forma, desarrollamos una técnica para calcular la solución de las inecuaciones cuadráticas partiendo de la Ley de los Signos para la Multiplicación y planteando la siguiente pregunta:

¿Cuándo el producto de dos números es negativo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es negativo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por menos es menos y menos por más es menos, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q < 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q < 0\\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q > 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los $p$ y $q$ deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «menor o igual» ( $\leq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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Ejemplos

Ejemplo 1, «menor que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$(x+4) \cdot (x-1) < 0$

Esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x+4)$ y $(x-1)$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+4 > 0 & \text{y} & x-1 < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+4 < 0 & \text{y} & x-1 > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -4 & \text{y} & x < 1 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -4 & \text{y} & x > 1 & (2) \end{array} } \right.$

La solución general de la inecuación cuadrática viene dada por todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (1) junto con todos los números que satisfacen las ecuaciones la línea (2).

Analíticamente representaremos la solución como la unión de los dos conjuntos que generados al calcular la solución de cada línea. Veamos entonces cómo calcular la solución de ambas líneas:

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que -4 y menores que 1 al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-4,+\infty)$ y $(-\infty,1)$ así

$(-4,+\infty) \cap (-\infty,1) = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos. | totumat.com

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que -4 y mayores que 1 al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-4)$ y $(1,+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$(-\infty,-4) \cap (1,+\infty) = \emptyset$

Interpretación gráfica de la intersección de dos intervalos igual al conjunto vacío. | totumat.com

Finalmente tomamos en cuenta que la solución general viene dada por todos los números que cumplen con la solución (1) o todos los elementos que cumplen con la solución (2). Por lo tanto, consideraremos la unión de la solución (1) y (2).

Solución General:
$(-4,1) \cup \emptyset = (-4,1)$

Interpretación gráfica de la unión de dos intervalos. | totumat.com

Nota: el «ó» que se expresa en nuestra solución tiene un carácter lógico proposicional, esto quiere decir que es un «ó» inclusivo. Es decir, ambas opciones pueden presentar una solución para nuestra solución.

Imagínese que en una reunión con sus amigos, acuerdan llevar empanadas o pastelitos para comer, es decir, si alguien lleva una u otra cosa o ambas cosas, igual van a comer.

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Consideremos ahora un ejemplo donde el polinomio cuadrático no está factorizado.

Ejemplo 2, «menor o igual que»

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad:

$x^2 + x - \dfrac{3}{4} \leq 0$

Notando que el polinomio no está factorizado, así que utilizamos el método del discriminante para factorizarlo. Entonces, considerando que sus coeficientes son $a=1$ , $b=1$ y $c=-\frac{3}{4}$ , planteamos la fórmula cuadrática de la siguiente forma:

$\displaystyle \begin{array}{rl} x \ = & \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ \\ = & \dfrac{ -1 \pm \sqrt{( 1 )^2 - 4 \cdot ( 1 ) \cdot ( -\frac{3}{4} )}}{2 \cdot ( 1 )} \\ \\ = & \dfrac{ 1 \pm 2 }{ 2 } \end{array}$

Así, las raíces del polinomio cuadrático x^2 + x – \dfrac{3}{4} son $x_1 = -\frac{ 1 }{ 2 }$ y $x_2 = \frac{ 3 }{ 2 }$ , por lo tanto, podemos factorizarlo como $(x - ( -\frac{ 1 }{ 2 } )) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ y en consecuencia, reescribimos la inecuación cuadrática original como sigue:

$\left( x + \dfrac{ 1 }{ 2 } \right) \cdot \left( x - \dfrac{ 3 }{ 2 } \right) \leq 0$

Al ser esta es una inecuación cuadrática donde el polinomio cuadrático ya está factorizado. Considerando los dos factores $(x + \frac{ 1 }{ 2 } ) \cdot (x - \frac{ 3 }{ 2 } )$ , deben ser el primero positivo y el segundo negativo o el primero negativo y el segundo positivo, así

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x+\frac{ 1 }{ 2 } > 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } < 0 & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x+\frac{ 1 }{ 2 } < 0 & \text{y} & x-\frac{ 3 }{ 2 } > 0 & (2) \end{array} } \right.$

Notamos entonces, que quedan planteadas cuatro inecuaciones lineales de las cuales se puede despejar la variable x con facilidad, de la siguiente forma:

$\left\{ {\begin{array}{lcrr} x > -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x < \frac{ 3 }{ 2 } & (1)\\ \text{\'o} & & & \\ x < -\frac{ 1 }{ 2 } & \text{y} & x > \frac{ 3 }{ 2 } & (2) \end{array} } \right.$

Solución 1:

Considerando que la línea (1) representa a todos los números que son mayores que $-\frac{1}{2}$ y menores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, entonces consideramos la intersección de los intervalos $(-\frac{1}{2},+\infty)$ y $(-\infty,\frac{3}{2})$ así

$\left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },+\infty \right) \cap \left( -\infty,\dfrac{ 3 }{ 2 } \right] = \left[ - \dfrac{ 1 }{ 2 },\dfrac{ 3 }{ 2 } \right]$

Solución 2:

Considerando que la línea (2) representa a todos los números que son menores que $-\frac{1}{2}$ y mayores que $\frac{3}{2}$ al mismo tiempo, sin embargo, no existe ningún número que cumpla con esta condición. Entonces al considerar la intersección de los intervalos $(-\infty,-\frac{1}{2})$ y $(\frac{3}{2},+\infty)$ esta se representará con el conjunto vacío, así, tenemos que

$\left( -\infty, - \frac{ 1 }{ 2 } \right] \cap \left[\frac{ 3 }{ 2 },+\infty \right) = \emptyset$

Solución General:
$\left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right] \cup \emptyset = \left[ - \frac{ 1 }{ 2 } , \frac{ 3 }{ 2 } \right]$

Inecuaciones Cuadráticas, caso «mayor que»

25.11.201906.01.2023 Anthonny Arias García3 comentarios

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?
1. Ejemplos
  1. Ejemplo 1, «mayor que»:
  2. Ejemplo 2, «mayor o igual que»:

Así como hemos definido las ecuaciones cuadráticas mediante una igualdad, es posible definir las inecuaciones cuadráticas mediante una desigualdad. A continuación veremos el primero caso, que es cuando la desigualdad involucrada en la inecuación es «mayor que» o «mayor o igual que».

Entonces, considerando tres números reales $a$ , $b$ y $c$ , expresamos una inecuación cuadrática de la siguiente forma;

$ax^2 + bx + c > 0$

¿Cuándo el producto de dos números es positivo?

Sean $p$ y $q$ dos números reales. Si consideremos el producto $p \cdot q$ , ¿cuándo este producto es positivo? Para responder a esta pregunta, nos fijamos en la ley de los signos, pues recordando que más por más es más y menos por menos es más, podemos concluir que las condiciones que deben cumplir $p$ y $q$ para que se satisfaga la desigualdad $p \cdot q > 0$ , son las siguientes:

$\left\{ {\begin{array}{lcr} p > 0 & \text{y} & q > 0 \\ \text{\'o} & & \\ p < 0 & \text{y} & q < 0 \end{array} } \right.$

Es decir, los números $p$ y $q$ deben ser ambos positivos al mismo tiempo o ambos negativos al mismo tiempo.

Este caso también aplica cuando consideramos la desigualdad «mayor o igual» ( $\geq$ ). Veamos entonces en los siguientes ejemplos cómo calcular la solución de este tipo de ecuaciones.

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