Pregunta de Reddit: ¿Cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?

Mientras ojeaba reddit, me topé con este problema que comparte el usuario u/already_taken-chan, en el cual señala que «no encontró la respuesta». Una de las las respuestas con más puntaje me pareció extremadamente larga y la segunda con más puntaje, me pareció muy corta. Así que les comparto mi apreciación.

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r/askmath - I couldn't find the answer to this question, asked my math teacher and he couldn't find it either, tried going into Δ > 0 but that gave me no answer, tried (-b +- sqrt(Δ))/2a but that just left me p being in a range that didn't give any of the answers, is the question wrong?

La pregunta está planteada en Turco, la traducción correcta al inglés sería: «If the equation has two different real roots, what is the sum of the integer values ​​p can take?», y al español, sería: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«.

Primero debemos considerar la ecuación que se plantea y reescribirla como una ecuación cuadrática de la forma ax^2+bx+c=0 para que sea más fácil identificar los elementos involucrados en ella.

-x^2 + px + 3 = (x+2)^2

\Rightarrow -x^2 + px + 3 = x^2 - 4x + 4

\Rightarrow -x^2 + px + 3 - x^2 + 4x - 4 = 0

\Rightarrow -2x^2 + (p+4)x - 1 = 0

\Rightarrow 2x^2 - (p+4)x + 1 = 0

Ya que hemos reescrito esta ecuación, debemos tomar en cuenta que para que una ecuación de la forma ax^2+bx+c=0 tenga dos soluciones distintas, el discriminante de ella debe ser positivo, es decir,

b^2-4 \cdot a \cdot c > 0

Entonces, identificando a=2, b=-(p+4) y c=1, tenemos que

\left( -(p+4) \right)^2 - 4 \cdot (2) \cdot (1) > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0

\Rightarrow \left( p+4 \right)^2 > 8

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En este punto pudiéramos plantear una Inecuación Cuadrática para calcular todos los valores para los cuales \left( p+4 \right)^2 - 8 > 0, pero resultará más fácil buscar los valores para los cuales sucede lo contrario, y descartar dichos valores.

Podemos tantear los valores de p para los cuales \left( p+4 \right)^2 \leq 8 y estos son: -2, -3, -4, -5 y -6; pues, si consideramos alguno de estos valores, digamos p=-2, tenemos que

\left( -2+4 \right)^2 < 8

\Rightarrow \left( 2 \right)^2 < 8

\Rightarrow 4 < 8

Entonces, retomando la pregunta original: «Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes, ¿cuál es la suma de los valores enteros que p puede tomar?«, los valores que p puede tomar son todos los enteros mayores que -2 o todos los valores enteros menores que -6, es decir, todos los valores de p tales que

p \in (-\infty,-6) \cup (-2,\infty), con p \in \mathbb{Z}

pero no tiene sentido considerar la suma de todos estos valores.

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Aunque si queremos darle la vuelta a la cosa, podemos darnos cuenta que al sumar los números que no cumplen con la condición, es decir, -2, -3, -4, -5 y -6; y los sumamos, el resultado será el siguiente:

-2 -3 -4  -5 -6 = -20

Que es justamente la opción «A)» planteada entre las soluciones.

¿Tienes dudas? ¿Necesitas más ejemplos? No dudes en escribir.

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