Raíz de un polinomio

Al dividir números enteros, podemos usar un método conocido como la división larga y esta se generaliza para definir un método que permite efectuar la división entre polinomios. Sin embargo, este no es el único método.

Si consideramos de forma particular un polinomio $P(x)$ de grado $n$ y un polinomio $Q(x)=(x-r)$ de grado uno, presentaremos en esta sección, un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de la forma

$\frac{P(x)}{(x-r)}$

Este método se conoce como el Método de Ruffini y permite de forma directa efectuar este tipo de divisiones. Ya que el caso general considerando constantes arbitrarias puede resultar confuso para aquellas personas en niveles básicos de matemáticas, veremos con algunos ejemplos cómo se desarrolla este método.

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Método de Ruffini: División de Polinomios

Ejemplos

Ejemplo 1

Sean $P(x)=4x^3+x^2-3x+5$ y $Q(x)=(x-1)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 4, 1, -3 y 5.

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=1$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & & & \\ \hline & 4 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=1$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así: uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & & \\ \hline & 4 & 5 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente: uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=1$ y el resultado lo sumamos al término independiente. uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 4 \ & \ 1 \ & \ -3 \ & \ 5 \ \\ 1 & \downarrow & 4 & 5 & 2 \\ \hline & 4 & 5 & 2 & \multicolumn{1}{|c}{7} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio $C(x)$ (que será un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (4x^2 + 5x + 2) \cdot (x-1) + 7$

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Ejemplo 2

Sean $P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24$ y $Q(x)=(x-2)$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 0, -15, 10 y 42. Si hay sumandos faltantes, es necesario completar el polinomio. Es decir,

$P(x)=x^4 + 0x^3 - 15x^2 + 10x + 24$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=2$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por $r=2$ , el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & & & \\ \hline & 1 & 2 & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=2$ y el resultado lo sumamos al término independiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -15 \ & \ 10 \ & \ 24 \ \\ 2 & \downarrow & 2 & 4 & -22 & -24 \\ \hline & 1 & 2 & -11 & -12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2) + 0 = (x^3 + 2x -11x - 12) \cdot (x-2)$

Notemos que si al dividir un polinomio $P(x)$ por un polinomio $Q(x)=(x-r)$ , la división es exacta, se concluye inmediatamente que $r$ es una raíz del polinomio $P(x)$ , por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio $P(x)$ dividiendo a este por polinomios de la forma $(x-r)$ y verificado para cuáles casos esta división es exacta.

Ejemplo 3: Propuesto por un usuario de totumat

Sean $P(x)=- x^2 + x^4 + x^3 - 2x- 2$ y $Q(x)=x+\sqrt{2}$ dos polinomios, para calcular la división $\frac{P(x)}{Q(x)}$ debemos considerar los siguientes elementos:

Los coeficientes del polinomio dividendo $P(x)$ , es decir, 1, 1, -1, -2 y -2. Si los sumandos no están ordenados desde el mayor exponente hasta el menor exponente, es necesario reordenar el polinomio, es decir,

$P(x)=x^4 + x^3 - x^2 - 2x- 2$ .

La raíz del polinomio divisor $Q(x)$ , es decir, $r=-\sqrt{2}$ .

Posteriormente, los disponemos así:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & & & & \\ \hline & 1 & & & & \end{array}}$

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio $P(x)$ por $r=-\sqrt{2}$ y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \end{array}}$

Multiplicamos el resultado de esta suma por $r=-\sqrt{2}$ y obtenemos $-\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2$ , este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ \ 1 \ \ & \ \ 1 \ \ & \ \ -1 \ \ & \ \ -2 \ \ & \ \ -2 \ \ \\ -\sqrt{2} & \downarrow & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 2 & 2-\sqrt{2} & 2 \\ \hline & 1 & 1 -\sqrt{2} & -\sqrt{2} + 1 & -\sqrt{2} & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} \end{array}}$

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio $C(x)$ (que será de un grado menor que $P(x)$ ) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio $P(x)$ de la siguiente forma:

$P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})$

De esta última expresión podemos concluir que $r=2$ es una raíz del polinomio $P(x)$ .

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Método de Ruffini: Cálculo de Raíces Enteras

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado $n$ que cuenta con $n$ raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos $P(x) = (x-2)(x+3)$ , éste se puede expandir como $P(x) = x^2 +x - 6$ . Las raíces de este polinomio son $2$ y $-3$ , que son algunos de los divisores de $-6$ .

Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

$\displaystyle P(x) = a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{2} x^{2}+ a_{1} x + a_{0}$

los divisores del término independiente $a_0$ serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio $P(x)$ , pues al dividir por $(x-r)$ , si esta división es exacta, concluimos que $r$ es una raíz de $P(x)$ . Considerando de forma particular, $r$ como los divisores del término independiente del polinomio $P(x)$ ).

Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Sea $P(x)=x^3+4x^2-x-4$ , consideremos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ . Tomemos el primero de estos divisores que es $1$ y apliquemos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} \end{array}}$

Como el resto de la división es cero, concluimos que $1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $1$ es también raíz de este polinomio:

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 1 & & 1 & 5 \\ \cline{1-4} & 1 & 6 & \multicolumn{1}{|c}{10} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será $-1$ .

$\large {\begin{array}{r|cccc} & \ 1 \ & \ 4 \ & \ -1 \ & \ -4 \ \\ 1 & & 1 & 5 & 4 \\ \hline & 1 & 5 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} -1 & & -1 & -4 \\ \cline{1-4} & 1 & 4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} \end{array}}$

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que $-1$ es una raíz del polinomio $P(x)$ . Pudiera ser que $-1$ también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si $-1$ es también raíz de este polinomio.

Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que $-1$ pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces.

Si continuamos haciendo el mismo procedimiento con $2$ , $-2$ y $4$ concluimos que ninguno de estos es raíz del polinomio $P(x)$ , sin embargo, al verificar con $-4$ obtenemos que:

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $1$ , $-1$ y $4$ . Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

$P(x)=x^3+4x^2-x-4 = (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x-4)$

Ejemplo 5

Sea $P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12$ , consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 4$ , $\pm 6$ y $\pm 12$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ 0 \ & \ -9 \ & \ 4 \ & \ 12 \ \\ -1 & & -1 & 1 & 8 & -12 \\ \cline{1-6} & 1 & -1 & -8 & 12 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 2 & & 2 & 2 & -12 \\ \cline{1-5} & 1 & 1 & -6 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 2 & & 2 & 6 & \\ \cline{1-4} & 1 & 3 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} -3 & & -3 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $-1$ , $2$ , $2$ y $-3$ . Notamos que el número dos se repite dos veces al desarrollar el Método de Ruffini, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (x+3)$

Que a su vez, multiplicando $(x-2) \cdot (x-2)$ obtenemos lo siguiente:

$P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x + 12 = (x+1) \cdot (x-2)^2 \cdot (x+3)$

Ejemplo 6

Sea $P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768$ . Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener $P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256)$ consideramos los divisores del término independiente que este caso son $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 8$ , $\pm 16$ , $\pm 32$ , $\pm 64$ , $\pm 128$ y $\pm 256$ ; y aplicamos el Método de Ruffini:

$\large {\begin{array}{r|ccccc} & \ 1 \ & \ -16 \ & \ 96 \ & \ -256 \ & \ 256 \ \\ 4 & & 4 & -48 & 192 & -256 \\ \cline{1-6} & 1 & -12 & 48 & -64 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{6-6} 4 & & 4 & -32 & 64 \\ \cline{1-5} & 1 & -8 & 16 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{5-5} 4 & & 4 & -16 & \\ \cline{1-4} & 1 & -4 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{4-4} 4 & & 4 & \\ \cline{1-3} & 1 & \multicolumn{1}{|c}{0} \\ \cline{3-3} \end{array}}$

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio $P(x)$ son $latex4$, $latex4$, $latex4$ y $latex4$. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

$P(x) = 3 \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) \cdot (x-4) = (x-4)^4$

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente para no extender la lectura, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada los casos en que el resto es igual a cero.