Factorizar Polinomios (2 de 2)

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini?

Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

Polinomio factorizado de Grado n | totumat.com
Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Así, podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

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los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

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Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

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Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

Método de Ruffini | totumat.com

Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x - 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

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Ejemplo 3

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

Método de Ruffini | totumat.com

Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Factorizar Polinomios | totumat.com

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.


El Método de Ruffini

Una vez que hemos definido la división entre polinomios, si consideramos particularmente un polinomio P(x) de grado n y un polinomio Q(x)=(x-r) de grado uno, presentaremos un método alternativo para podemos calcular la división entre estos dos polinomios, es decir, una división de al forma

\frac{P(x)}{(x-r)}

Utilizando un método alternativo conocido como el Método de Ruffini. Debido a que el caso general puede resultar engorroso de exponer, lo explicaremos con algunos ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Sean P(x)=4x^3+x^2-3x+5 y Q(x)=(x-1) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=1 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

El Método de Ruffini | totumat.com
El primer coeficiente de P(x) se pone debajo de la línea horizontal

Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=1, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

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uno por cuatro es igual a cuatro, cuatro más uno es igual a cinco.

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=1 y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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uno por cinco es igual a cinco, menos tres más cinco es igual a dos

Multiplicamos el resultado de esta suma por r=1 y el resultado lo sumamos al término independiente.

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uno por dos es igual a dos, cinco más dos es igual a siete

Los primeros tres números generados por debajo la línea horizontal corresponden a los coeficientes del polinomio C(x) (que será un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

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Ejemplo 2

Sea P(x)=x^4 - 15x^2 + 10x + 24 y Q(x)=(x-2) dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=2 y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

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Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=2, el resultado lo sumamos al segundo coeficiente y lo disponemos así:

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al cuarto coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=2 y el resultado lo sumamos al término independiente.

El Método de Ruffini | totumat.com

Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

Notemos que si al dividir un polinomio P(x) por un polimonio Q(x)=(x-r), la división es exacta, se concluye inmediatamente que r es una raíz del polinomio P(x), por lo tanto es posible usar el Método de Ruffini para hallar las raíces enteras de un polinomio P(x) dividiendo a este por polinomios de la forma (x-r) y verificado para cuales casos esta división es exacta.

Ejemplo 3

Sea P(x)=x^4 + x^3 -x^2 -2x- 2 latex y Q(x)=x+\sqrt{2}, dos polinomios, para calcular la división \frac{P(x)}{Q(x)} consideramos la raíz del polinomio Q(x), es decir, r=-\sqrt{2} y de separados por una línea, consideramos también los coeficientes del polinomio P(x) y los disponemos así:

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Multiplicamos el primer coeficiente del polinomio P(x) por r=-\sqrt{2} y el resultado lo sumamos al segundo coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (1-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} + 2, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Multiplicamos el resultado de esta suma por r=-\sqrt{2} y obtenemos -\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = 2, este resultado lo sumamos al tercer coeficiente.

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Los primeros cuatro números generados por debajo la línea horizontal corresponden al polinomio C(x) (que será de un grado menor que P(x)) y el último número corresponde al resto de la división, que en este caso es igual a cero, por lo tanto la división es exacta. De esta forma, podemos expresar el polinomio P(x) de la siguiente forma:

P(x) = \left[ x^3+ (1-\sqrt{2})x^2+ (-\sqrt{2} + 1)x -\sqrt{2} \right] \cdot(x+\sqrt{2})

De esta última expresión podemos concluir que r=2 es una raíz del polinomio P(x).

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Calcular raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini

¿Cómo hallar las raíces enteras de un polinomio utilizando el Método de Ruffini? Consideremos un polinomio de grado n que cuenta con n raíces, entonces éste se puede factorizar de la forma

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Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Podemos notar que cuando aplicamos la propiedad distributiva entre todos estos productos, el término independiente del polinomio resultante será igual al producto de todas las raíces. Por ejemplo, si consideramos P(x) = (x+2)(x+3), éste se puede expandir como P(x) = x^2 +5x + 6. Tomando en cuenta este hecho, pudiéramos decir que al considerar un polinomio de la forma

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los divisores del término independiente a_0 serán las posibles raíces de éste polinomio.

Sabiendo esto, podemos aplicar el Método de Ruffini para hallar las raíces de un polinomio P(x), simplemente dividiendo por (x-r), donde r es uno de los divisores de su término independiente y verificando si esta división es exacta. Para tener más clara esta idea, consideremos los siguientes ejemplos.

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Ejemplos

Ejemplo 4

Sea P(x)=x^3+4x^2-x-4, consideremos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4. Tomemos el primero de estos divisores que es +1 y apliquemos el Método de Ruffini:

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Como el resto de la división es cero, concluimos que 1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que 1 también sea una raíz del último polinomio generado, entonces verificamos si 1 es también raíz de este polinomio:

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Como el resto de esta última división es distinto de cero, descartamos que 1 pueda ser raíz del último polinomio generado, por lo tanto borramos lo escrito y continuamos verificando cuales son las raíces. El siguiente número que usaremos será -1

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Como el resto de esta última división es cero, concluimos que -1 es una raíz del polinomio P(x). Pudiera ser que -1 también sea una raíz del último polinomio generado, sin embargo, antes de verificar nuevamente si -1 es raíz del nuevo polinomio podemos notar a simple vista que -4 es una raíz, ya que

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 1, -1 y 4. Además, podemos factorizar este polinomio de la siguiente forma:

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Ejemplo 5

Sea P(x)=x^4 - 9x^2 + 4x - 12, consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 y \pm 12; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son -1, 2, 2 y -3. Notamos que el número dos se repite dos veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a dos. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 6

Sea P(x)=3x^4 -48x^3 + 288x^2 - 768x - 768. Notamos que el coeficiente principal de este polinomio es igual a tres, es por esto que lo más conveniente es sacarlo como factor común para obtener P(x)=3(x^4 -16x^3 + 96x^2 - 256x + 256) consideramos los divisores del término independiente que este caso son \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128 y \pm 256; y aplicamos el Método de Ruffini:

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Por lo tanto, concluimos que las raíces del polinomio P(x) son 4, 4, 4 y 4. Notamos que el número cuatro se repite cuatro veces, en este caso decimos que es una raíz de multiplicidad igual a cuatro. Además, podemos factorizarlo de la siguiente forma:

En estos últimos ejemplos, desarrollamos el Método de Ruffini sobre las raíces directamente, pero hay que tomar en cuenta que se deben considerar todas las posibles raíces verificando con cada una que el resto sea igual a cero, preferiblemente en el orden en que éstas se presentan.


Raíz de un polinomio

¿Qué relación tienen las ecuaciones y los polinomios?

Diremos que evaluar un polinomio P(x) en un número real b es sustituir la variable x por el número b, esta sustitución la denotaremos P(b). De esta forma, si P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 es un polinomio, entonces evaluamos éste polinomio en b de la siguiente forma:

Evaluar el polinomio P en b.

Posteriormente se pueden efectuar las operaciones para obtener como resultado un número real, veamos en los siguientes ejemplos como evaluar polinomios:

  1. Evaluar el polinomio P(x)= 3x+2 en b=3:
    P(3)= 3 \cdot 3+2=6+2=8
  2. Evaluar el polinomio Q(x)=5x^2+2x+7 en b=-2:
    Q(-2)=5 \cdot (-2)^2+2 \cdot (-2)+7=5 \cdot 4 -4+7 = 20+3=23
  3. Evaluar el polinomio R(x)= -8x^6 + x^5 + x^3 - 4x +3 en b=1:
    R(1)= -8(1)^6 + (1)^5 + (1)^3 - 4(1) +3 = -4

Nos interesarán algunos casos muy particulares al evaluar polinomios, definimos la raíz de un polinomio P(x) como un número real r tal que al evaluarlo en dicho polinomio, el resultado es igual a cero, es decir, una raíz de un polinomio es un número real r que satisface la siguiente ecuación:

Raíz de un polinomio | totumat.com
r es la raíz del polinomio p

Para entender mejor esta idea, veamos algunos ejemplos de raíces de polinomios.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Si consideramos P(x)= x^2-4,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=1-4=-3,
  • r=2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(2)=(2)^2-4=4-4=0,
  • r=-2 sí es una raíz del polinomio pues
    P(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.

Ejemplo 2

Si consideramos P(x)=x^2+2x+1,

  • r=3 no es una raíz del polinomio pues
    P(3)= 3)^2+2(3)+1=9+6+4=19,
  • r=-1 sí es una raíz del polinomio pues
    P(x)=(-1)^2+2(-1)+4=1-2+1=0.

Ejemplo 3

Si consideramos P(x)=x^4+x^2+16,

  • r=1 no es una raíz del polinomio pues
    P(1)=(1)^4+(1)^2+16=1+1+16=18
  • r=-1 tampoco es una raíz del polinomio pues
    P(-1)=(-1)^4+(-1)^2+16=1+1+16=18.

De hecho, este polinomio no tiene raíces pues notemos que x^4, x^2 y 16 son números positivos, por lo tanto su suma siempre será distinta de cero.

Observación: Diremos que n es un número par si éste es un múltiplo de 2, es decir, que n=2k para algún número natural k. Entonces, si n es un número par, a partir de la ley de los signos para el producto podemos concluir que x^n siempre será un número positivo.


Notamos que hay polinomios que tienen raíces y otros que no, entonces nos preguntamos, ¿habrá una forma general para determinar las raíces de un polinomio? La respuesta es no pero al menos podemos hacernos una idea de cuántas raíces debería tener y es que si consideramos un polinomio P(x) de grado n, entonces éste tendrá a lo sumo n raíces, es decir, puede ser que no tenga ninguna, que tenga una, dos o más pero no más de n.

Debido a la íntima relación que guardan los polinomios y las ecuaciones a través de sus raíces, podremos definir poderosas herramientas que nos permitan hallar la solución de distintas ecuaciones con relativa facilidad siempre que tengamos claras las propiedades de las operaciones de suma y multiplicación definidas para los números reales.