Introducción a las Ecuaciones Cuadráticas

  1. Una sola ecuación, ¿con dos soluciones?
  2. Un caso general

Una sola ecuación, ¿con dos soluciones?

Cuando citamos el Teorema de Pitágoras para definir los Números Reales, nos encontramos con la siguiente ecuación c^2 = 2, donde c es nuestra incógnita y aunque pudimos «inventar» un nuevo número llamado \sqrt{2} para definir el valor de nuestra incógnita; la tarea de encontrar la solución para este tipo de situaciones no es trivial. Es por esto que debemos establecer un método general que para proceder en estos casos.

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Consideremos la siguiente ecuación, en la que la incógnita está elevada al cuadrado:

x^2 - 4 = 0

Notemos que esta no es una ecuación lineal, debemos tener en cuenta ciertos detalles para calcular la solución. Sin embargo, podemos notar que (2)^2 es igual a 4. Por lo tanto, al considerar x=2 y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

(2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0

Es decir, x=2 provee una solución para la ecuación que hemos planteado, pero, esta no es la única solución.

Hay otra solución para esta ecuación, pues podemos notar que (-2)^2 también es igual a 4. Por lo tanto, al considerar x=-2 y sustituyendo este valor en la ecuación, obtenemos lo siguiente:

(-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0

Es decir, x=-4 también provee una solución para la ecuación que hemos planteado.

Es posible establecer un método para calcular estas dos soluciones con un simple despeje partiendo de nuestra ecuación original: x^2 - 4 = 0 pues sí sumamos 4 en ambos lados de la ecuación, obtenemos la siguiente ecuación

\ x^2 = 4

¿Qué hacemos en este caso? Aplicaremos la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad para obtener la siguiente ecuación.

\sqrt{x^2} = \sqrt{4}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = 2

Y en este punto debemos tomar en cuenta un «tecnicismo matemático», y es que la distancia entre un número x y el número cero puede definirse como \sqrt{x^2}. De esta forma, tenemos dos valores para los cuales la distancia entre x y cero es exactamente igual a dos, esto es x=2 ó x=-2.

En vista de esto, la última ecuación que hemos planteado se puede expresar de la siguiente manera:

x = \pm 2

Es decir, la solución para la ecuación x^2 - 4 = 0 es x = 2 ó x=-2, tal como lo habíamos intuido.

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Un caso general

Podemos generalizar este procedimiento para cualquier ecuación de la forma

ecuación cuadrática con coeficiente b igual a cero | totumat.com

Pues partiendo de esta ecuación, podemos sumar c en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si c está restando de un lado de la igualdad, pasará a sumar en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).

ax^2= c

Podemos dividir por a en ambos lados de la ecuación pero para aligerar el trabajo simplemente diremos que si a está multiplicando de un lado de la igualdad, pasará a dividir en el otro lado (recordando que esto es consecuencia de los Axiomas Algebraicos de los Números Reales).

x^2= \dfrac{c}{a}

\Rightarrow \ \sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ |x|= \sqrt{\dfrac{c}{a}}

\Rightarrow \ x = \pm \sqrt{\dfrac{c}{a}}

Finalmente, la solución de esta ecuación será x = \sqrt{\frac{c}{a}} ó x = - \sqrt{\frac{c}{a}}. Aunque debemos tomar en cuenta que esta ecuación tendrá solución solamente si \frac{c}{a} es un número positivo, ya que si \frac{c}{a} es un número negativo, la ecuación no tendrá solución pues la raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Veamos hora un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones:

3x^2 - 27 = 0

\Rightarrow \ 3x^2 = 27

\Rightarrow \ x^2 = \dfrac{27}{3}

\Rightarrow \ x^2 = 9

\Rightarrow \ \sqrt{x^2} = \sqrt{9}

\Rightarrow \ |x| = 3

\Rightarrow \ x = \pm 3

Por lo tanto, la solución de esta ecuación viene dada por x=3 ó x=-3.


Mire equis, yendo a la raíz del problema, le aconsejo que asuma su naturaleza y acepte vivir con sus dos facetas, la positiva y la negativa.

TROFEA 2011 | totumat.com