Ejercicios Propuestos – Ecuaciones Polinómicas

23.02.202210.05.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

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Proceda paso a paso, explicando detalladamente cada paso con sus propias palabras.

Calcule la solución de la ecuación polinómica planteada (igualando toda la expresión a cero, agrupando todos los elementos en el lado izquierdo de la igualdad) y posteriormente factorice la expresión polinómica resultante.

$x^{2} + x - 68 = x - 4$
$x^{2} + 18 x + 73 = x + 1$
$x^{2} + 5 x + 6 = x + 6$
$x^{2} - 5 x + 2 = x - 3$

$- 6 x^{2} - 26 x + 56 = 4 x^{2} + 4 x - 224$
$- 14 x^{2} - 26 x + 568 = - 10 x^{2} - 30 x + 400$
$5 x^{2} + 32 x + 48 = 2 x^{2} + 26 x + 72$
$- 2 x - 8 = - x^{2} - 9 x - 20$

$3 x^{3} - 137 x^{2} + 64 x + 4330 = - 7 x^{3} - 7 x^{2} + 154 x + 280$
$2 x^{3} + 8 x^{2} - 156 x - 336 = - x^{3} - x^{2} + 6 x$
$- 18 x^{3} + 36 x^{2} - 54 x + 1944 = - 9 x^{3} + 144 x^{2} - 297 x - 2430$
$- 17 x^{3} - 162 x^{2} + 357 x + 4750 = - 8 x^{3} - 72 x^{2} + 528 x + 4480$

$- 9 x^{4} + 18 x^{3} + 417 x^{2} - 126 x - 3840 = - 3 x^{4} + 81 x^{2} + 162 x$
$9 x^{4} + 123 x^{3} + 369 x^{2} - 249 x + 756 = 3 x^{4} + 33 x^{3} - 39 x^{2} - 753 x + 756$
$6 x^{4} - 12 x^{3} - 656 x^{2} - 1418 x + 31780 = x^{4} - 22 x^{3} + 159 x^{2} - 418 x + 280$
$x^{4} + 44 x^{3} + 530 x^{2} + 1972 x + 4365 = - 8 x^{4} - 64 x^{3} + 584 x^{2} + 4960 x + 7200$

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Funciones Cuadráticas

02.01.202107.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

$f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0$

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

$f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0$

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes $a$ , $b$ y $c$ .

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma $\cup$ ; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma $\cap$ .

Considerando la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ , diremos que $a$ es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

Si $a > 0$ entonces la función cuadrática es convexa.
Si $a < 0$ entonces la función cuadrática es cóncava.

Concavidad de la función cuadrática | totumat.com

Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) > f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x)$ para todo valor de $x$ en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática $f(x)=x^2$ se encuentra en el punto $(0,0)$ .

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión $(px + q)^2 + r$ traslada a la función $x^2$ en $-\frac{q}{p}$ unidades en el Eje X y en $r$ unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto $\left( -\frac{q}{p} , r \right)$ .

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por $V_x$ , entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

$a = p^2$

$b = 2pq$

$V_x = -\frac{q}{p}$

A partir de la segunda ecuación podemos despejar $q$ para obtener que $q=\frac{b}{2p}$ y sustituyendo este valor de $q$ en la tercera ecuación, tenemos que

$V_x \ = \ -\frac{q}{p}$

$\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}$

$\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}$

Entonces, considerando esta última igualdad y que $a = p^2$ , concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función $f(x) = ax^2 + bx + c$ en $V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}$ .

$f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c$

$\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c$

$\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c$

$\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}$

$\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ es

$V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}$

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

$x = V_x$

Eje de Simetría de la Función Cuadrática | totumat.com

Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto $x=0$ , es decir, calcular la imagen $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c$ .

Puntos de Corte de la Función Cuadrática | totumat.com

Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 0$ , es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ . Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

Si $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces existen dos puntos de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces existe sólo un punto de corte.
Si $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de $x$ que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

$\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Factorización Polinomios

15.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García1 comentario

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en dicho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto $2 \cdot 3$ , diremos que $2$ y $3$ son los factores que representan este producto.

De forma general, podemos representar el producto de dos factores como $a \cdot b$ , donde $a$ y $b$ son dos números reales. De igual forma, podemos representar el producto de n factores como $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdots a_n$ , donde $a_1$ , $a_2$ , …, $a_n$ son n números reales.

Estos números reales pueden venir definidos por variables, por ejemplo si consideramos el producto $(x+2) \cdot (x+7)$ entonces los elementos variables $(x+2)$ y $(x+7)$ serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión $3x + 3x^2$ , podemos notar que $3x$ es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como $3x \cdot (1+x)$ , es decir, la reescribimos como un producto de dos factores $3x$ y $1+x$ . Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de al menos dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces $a = 1 \cdot a$ , decimos que este es el caso trivial, es por esto que cuando consideremos factorizar una expresión, obviamos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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Relación entre las raíces de un polinomio y su factorización

Considerando un polinomio $P(x)$ de grado $n$ , si sus raíces son $\{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \}$ y su coeficiente principal es igual a $k$ , entonces el polinomio $P(x)$ se puede factorizar de la siguiente forma:

$P(x) = k \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot \ldots \cdot (x-x_n)$

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicar el resultado antes visto, por lo tanto es necesario desarrollar métodos que permitan para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de $x$ para los cuales se cumple la ecuación $P(x)=0$ .

Vemos en los siguientes ejemplos, como factorizar algunos polinomios sabiendo cuales son sus raíces.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2-2x+1$ son $x_1=1$ y $x_2=-1$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x-1) \cdot (x+1)$

Ejemplo 2

Si las raíces del polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ son $x_1=-2$ y $x_2=-3$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = (x+2) \cdot (x+3)$

Ejemplo 3

Si las raíces del polinomio $P(x)=5x^2-15x-140$ son $x_1=-4$ y $x_2=7$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 5 \cdot (x+4) \cdot (x-7)$

Ejemplo 4

Si las raíces del polinomio $P(x)=3x^3+51x^2+186x-240$ son $x_1=1$ , $x_2=-8$ y $x_3=10$ , éste se puede factorizar de la siguiente manera:

$P(x) = 3 \cdot (x-1) \cdot (x+8) \cdot (x+10)$

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Observando los ejemplos expuestos, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si $P(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación $P(x)=ax^2+bx+c=0$ es justamente una ecuación cuadrática.

En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Consideremos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que $x$ que satisfacen la ecuación $ax^2+bx+c=0$ están expresados de la siguiente forma:

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Ejemplos: Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 5

Factorice el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$= \dfrac{-5 \pm 1}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x)=x^2+5x+6$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= (x-(-2)) \cdot (x-(-3))$

$= (x+2) \cdot (x-+3)$

Ejemplo 6

Factorice el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ a partir de sus raíces. Debemos notar que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}$

$= \dfrac{3 \pm 7}{2}$

Luego,

$x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, podemos factorizar el polinomio $P(x) = 5x^2-15x-50=0$ de la siguiente forma:

$P(x)$

$= 5 \cdot (x-x_1) \cdot (x_2)$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x-(-2))$

$= 5 \cdot (x-5) \cdot (x+2)$

Existen diversas formas de factorizar polinomios y el método del discriminante es una de ellas, y aunque se limita de forma particular a los polinomios cuadráticos, servirá de apoyo para otros métodos de factorización de polinomios.

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

10.11.201917.12.2022 Anthonny Arias-García10 comentarios

La ecuación cuadrática

Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales, definimos una ecuación cuadrática como una ecuación que se puede expresar de la forma:

$ax^2+bx+c=0$

Diremos que $a$ , $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación, siendo $a$ el coeficiente principal y $c$ el término independiente.

El discriminante

Habiendo definido los coeficientes de una ecuación cuadrática de la forma $ax^2+bx+c$ , definimos el discriminante de dicha ecuación como la expresión $b^2-4 \cdot a \cdot c$ . Éste número nos sirve como un indicador sobre la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

Si el discriminante es mayor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones.
Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , entonces la ecuación tiene una solución.
Si el discriminante es menor que cero, es decir, $b^2-4 \cdot a \cdot c < 0$ , entonces la ecuación no tiene solución.

La fórmula cuadrática

A partir del discriminante podemos establecer un método que nos permite calcular con exactitud la solución de la ecuación $ax^2+bx+c$ que consiste en usar la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita $x$ :

$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos en los siguientes ejemplos cómo aplicar el Método del Discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas, primero identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula cuadrática.

Nota: La fórmula cuadrática, es conocida en distintos países de forma coloquial. En algunos es conocida como La Resolvente y en otros, es conocida como La Chicharronera.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+5x+6=0$ .

Para empezar, debemos notar que el término $x^2$ no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que $x^2 = 1 \cdot x^2$ . Así, tenemos que $a=1$ , $b=5$ y $c=6$ . Entonces,

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo $\pm$ indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

$x = \dfrac{-5 + 1}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

$x = \dfrac{-5 - 1}{2}$

$= \dfrac{-6}{2}$

$= -3$

Así, $x=-2$ ó $x=-3$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+5x+6=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 1$ , es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $x^2+2x-8=0$ .

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$

$= \dfrac{-2 \pm 6}{2}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-2 + 6}{2}$

$= \dfrac{4}{2}$

$= 2$

$x = \dfrac{-2 - 6}{2}$

$= \dfrac{-8}{2}$

$= -4$

Así, $x=2$ ó $x=-4$ son las dos soluciones de la ecuación $x^2+2x-8=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 36$ , es mayor que cero.

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $5x^2-15x-50=0$ .

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término $x^2$ tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que $a=5$ , $b=-15$ y $c=-50$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-15) \pm \sqrt{(-15)^2-4 \cdot (5) \cdot (-50)}}{2 \cdot 5}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{225+1000}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm \sqrt{1225}}{10}$

$= \dfrac{15 \pm 35}{10}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{15 + 35}{10}$

$= \dfrac{50}{10}$

$= 5$

$x = \dfrac{15 - 35}{10}$

$= \dfrac{-20}{10}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 3 – Una forma alternativa

Por otra parte, notemos que $5$ es un factor común en cada uno de los sumandos, entonces, si sacamos $5$ como un factor común, tenemos que $5(x^2-3x-10)=0$ , entonces, calculamos las raíces de la siguiente forma:

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{3 + 7}{2}$

$= \dfrac{10}{2}$

$= 5$

$x = \dfrac{3 - 7}{2}$

$= \dfrac{-4}{2}$

$= -2$

Así, $x=5$ ó $x=-2$ son las dos soluciones de la ecuación $5x^2-15x-50=0$ . Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 49$ , es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $3x^2+12x+12=0$ .

Tenemos que $a=3$ , $b=12$ y $c=12$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}$

$= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}$

$= \dfrac{-12 \pm 0}{6}$

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

$x = \dfrac{-12 + 0}{6}$

$= -2$

$x = \dfrac{-12 - 0}{6}$

$= -2$

Así, $x=-2$ es la única solución de la ecuación $3x^2+12x+12=0$ . Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = 0$ , es igual a cero.

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: $7x^2-2x+6=0$ .

Tenemos que $a=7$ , $b=-2$ y $c=6$ . Entonces,

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

$= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}$

$= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}$

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación $7x^2-2x+6=0$ no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, $b^2-4 \cdot a \cdot c = -164$ , es menor que cero.

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Cuando le dices «el método del discriminante» en vez de «la resolvente».

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Etiqueta: Método del Discriminante

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