Funciones Cuadráticas

Una vez que hemos definido las transformaciones de funciones elementales, podemos considerar la función cuadrática para sentar la base de un tipo de funciones que se generan a partir de ellas, conocidas la forma canónica de la función cuadrática, expresadas de la siguiente forma

f(x) = (px + q)^2 + r, \ p \neq 0

Estas expresiones pueden expandirse para definir la forma general de la ecuación cuadrática, de la siguiente forma

f(x) = ax^2 + bx + c, \ a \neq 0

En general, estas funciones son llamadas Funciones Cuadráticas y notemos que esta expresión es la misma que define a las ecuaciones cuadráticas. La gráfica de esta función se conoce como parábola y su forma depende de los coeficientes a, b y c.

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Concavidad de la función cuadrática

Gráficamente, diremos que una parábola es convexa (o cóncava hacia arriba), si la apertura de esta apunta hacia arriba, es decir, si tiene la forma \cup; por otra parte, diremos que una parábola es cóncava (o cóncava hacia abajo), si la apertura de esta apunta hacia abajo, es decir, si tiene la forma \cap.

Considerando la función f(x) = ax^2 + bx + c, diremos que a es el coeficiente principal y la concavidad de esta función estará definida de la siguiente forma:

  • Si a > 0 entonces la función cuadrática es convexa.
  • Si a < 0 entonces la función cuadrática es cóncava.
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Vértice de la función cuadrática

Diremos que el máximo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) > f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales, análogamente, iremos que el mínimo de una función es un punto x_0 tal que f(x_0) < f(x) para todo valor de x en el conjunto de los números reales. Estos puntos se conocen como extremos de una función.

Habiendo determinado la concavidad de una función cuadrática, podemos notar que esta alcanza un extremo de la siguiente forma:

  • Si la función cuadrática es convexa, entonces ésta alcanza un mínimo.
  • Si la función cuadrática es cóncava, entonces ésta alcanza un máximo.

Al extremo de una función cuadrática se le conoce como el vértice y es posible calcular las coordenadas que definen a este punto considerando la forma canónica pues notando que el vértice de la función cuadrática f(x)=x^2 se encuentra en el punto (0,0).

Al transformar esta función, podemos concluir que la expresión (px + q)^2 + r traslada a la función x^2 en -\frac{q}{p} unidades en el Eje X y en r unidades en el Eje Y. Particularmente, el vértice estará trasladado hasta el punto \left( -\frac{q}{p} , r \right).

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Veamos como a partir de este hecho, podemos calcular las coordenadas del vértice de una función cuadrática expresada en su forma general.

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Coordenada del vértice en el Eje X

Expandiendo la forma canónica podemos obtener la forma general de la función cuadrática y así, establecer una igualdad entre los coeficientes correspondientes, como sigue

Si la coordenada en el Eje X del vértice está denotada por V_x, entonces podemos plantear el siguiente sistemas de ecuaciones.

a = p^2

b = 2pq

V_x = -\frac{q}{p}

A partir de la segunda ecuación podemos despejar q para obtener que q=\frac{b}{2p} y sustituyendo este valor de q en la tercera ecuación, tenemos que

V_x \ = \ -\frac{q}{p}

\ = \ -\frac{ \ \frac{b}{2p} \ }{p}

\ = \ -\dfrac{ \ b \ }{2p^2}

Entonces, considerando esta última igualdad y que a = p^2, concluimos que la coordenada en el Eje X de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}

Coordenada del vértice en el Eje Y

Para calcular la coordenada en el Eje Y del vértice, basta con evaluar la función f(x) = ax^2 + bx + c en V_x = -\dfrac{ \ b \ }{2a}.

f \left( V_x \right) \ = \ a\left( V_x \right)^2 + b \left( V_x \right) + c

\ = \ a\left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right)^2 + b \left( -\dfrac{ \ b \ }{2a} \right) + c

\ = \ a \dfrac{ \ b^2 \ }{4a^2} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ b^2 \ }{2a} + c

\ = \ \dfrac{ \ b^2 \ }{4a} - \dfrac{ \ 2b^2 \ }{4a} + \frac{4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a}

\ = \ \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

De esta forma, concluimos que la coordenada en el Eje Y de la función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c es

V_y = \dfrac{-b^2 + 4ac}{4a}

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Eje de Simetría de la Función Cuadrática

Una de las características que más destaca al observar la gráfica de una función cuadrática, es decir, una parábola, es que esta crece de forma simétrica respecto a un eje, a este eje lo llamamos eje de simetría y una vez que hemos calculado el vértice de una función cuadrática, definimos este eje como la recta vertical definida por la siguiente ecuación:

x = V_x

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Puntos de Corte de la Función Cuadrática

Con el Eje Y

Para calcular el punto de corte con el Eje Y, basta con evaluar la función en el punto x=0, es decir, calcular la imagen f(0) = a(0)^2 + b(0) + c.

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Con el Eje X

Si bien una función cuadrática definida en todos los números reales tendrá un punto de corte con el Eje Y, no siempre podemos garantizar que esta tenga un punto de corte en el Eje X. Veamos a continuación los tres casos posibles que podemos encontrar al estudiar los puntos de corte con el Eje X.

Para calcular los puntos de corte con el Eje X, debemos calcular los valores de x para los cuales f(x) = 0, es decir, para los cuales se satisface la ecuación cuadrática ax^2 + bx + c = 0. Para determinar la solución de esta ecuación definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c y éste número nos determina la cantidad de puntos de corte con el Eje X, de la siguiente manera:

  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces existen dos puntos de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces existe sólo un punto de corte.
  • Si b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces no tiene puntos de corte.

A partir del discriminante podemos definir una fórmula conocida como el Método del Discriminante que permite calcular los valores de x que satisfacen la ecuación cuadrática, de la siguiente forma:

\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

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Factorizar Polinomios (1 de 2)

¿Qué es factorizar?

Si consideramos el producto entre números reales, llamamos factor a cada uno de estos números involucrados en ducho producto. Por ejemplo, si consideramos el producto a \cdot b, diremos que a y b son los factores que representan este producto. Estos números reales pueden venir definidos por un número desconocido, por ejemplo si consideramos el producto (x+2) \cdot (x+7) entonces (x+2) y (x+7) serán los factores que representan este producto.

Factorizar (o factorización) es el proceso de reescribir una expresión como un producto de factores. Por ejemplo, si consideramos la expresión 3x + 3x^2 , podemos notar que 3x es un factor común en ambos sumandos y aplicando la propiedad distributiva podemos expresarla como 3x \cdot (1+x), es decir, la reescribimos como un producto de dos factores 3x y 1+x. Si una expresión se reescribe como el producto de factores, diremos que esta ha sido factorizada.

Todo número real se puede expresar como el producto de dos factores, pues si consideramos cualquier número real a, entonces a = 1 \cdot a, decimos que este es el caso trivial pero cuando consideremos factorizar una expresión, obviaremos este caso pues no representa particular interés para lo que pretendemos desarrollar.

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¿Cómo se relación las raíces de un polinomio con su factorización?

Si las raíces de un polinomio P(x) de grado n son \{ x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n \} , entonces éste se puede factorizar de la siguiente forma:

Polinomio factorizado de Grado n | totumat.com
Factorizar un polinomio a partir de sus raíces.

Una forma general para factorizar un polinomio es hallando las raíces y aplicando el resultado antes visto, por lo tanto debemos buscar formas para hallar las raíces de un polinomio. Es decir, hallar los valores de x para los cuales se cumple la ecuación P(x)=0.

Entonces, si las raíces del polinomio P(x)=x^2-2x+1 son x_1=1 y x_2=-1, éste se puede factorizar de la siguiente manera: P(x) = (x-1) \cdot (x+1)

Tomando en cuenta este ejemplo, consideremos de forma particular los polinomios cuadráticos, pues podemos notar que si P(x)=ax^2+bx+c es un polinomio cuadrático, entonces la ecuación P(x)=0 es justamente una ecuación cuadrática. En otras palabras, estamos diciendo que podemos determinar las raíces de un polinomio cuadrático utilizando el método del discriminante, y más aún, factorizarlo a partir de sus raíces.

Retomemos algunos ejemplos para explicar este hecho, tomando en cuenta que el método del discriminante establece que los valores de que x que satisfacen la ecuación ax^2+bx+c=0 están expresados de la siguiente forma:

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Ejemplos – Factorizar polinomios cuadráticos

Ejemplo 1

Factorice el polinomio P(x)=x^2+5x+6 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x_2 = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:

equis menos la primera raíz por equis menos la segunda raíz

Ejemplo 2

Factorice el polinomio P(x) = 5x^2-15x-50=0 a partir de sus raíces. Debemos notar que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Luego,

x_1 = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x_2 = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, podemos factorizar el polinomio de la siguiente forma:

equis menos la primera raíz por equis menos la segunda raíz

Existe diversas formar de factorizar polinomios, el método del discriminante es una de ellas y aunque nos limita de forma particular a los polinomio cuadráticos, hay expresiones que se pueden reescribir para aplicar este método aunque no sean polinomios cuadráticos.

La Ecuación Cuadrática y la Fórmula Cuadrática

¿La resolvente? ¿La chicharronera?
No, el Método del Discriminante.

Si a, b y c son números reales, definimos en términos generales una ecuación cuadrática como una ecuación de la forma

y diremos que a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Considerando la expresión ax^2+bx+c que define nuestra ecuación, definimos su discriminante como la expresión b^2-4 \cdot a \cdot c. Éste número nos determina la cantidad de soluciones que tiene nuestra ecuación original, de la siguiente manera:

  • Si el discriminante es mayor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones.
  • Si el discriminante es igual a cero, es decir,Si b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, entonces la ecuación tiene una solución.
  • Si el discriminante es menor que cero, es decir, b^2-4 \cdot a \cdot c < 0, entonces la ecuación no tiene solución.

A partir del discriminante podemos establecer un método para calcular con exactitud la solución de la ecuación ax^2+bx+c, para esto usamos la siguiente fórmula que definirá el valor de la incógnita x:

A esta fórmula se le conoce como la Fórmula Cuadrática y su aplicación se conoce como el Método del Discriminante. Veamos como aplicar el método del discriminante para calcular la solución de algunas ecuaciones cuadráticas identificando los coeficientes de cada una y posteriormente usando la fórmula indicada.

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Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+5x+6=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=5 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{2}

= \dfrac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \dfrac{-5 \pm 1}{2}

A partir de esta última igualdad tenemos dos situaciones, el signo \pm indica que hay dos operaciones: una suma y una resta. Por lo tanto tendremos dos soluciones como sigue:

x = \dfrac{-5 + 1}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

x = \dfrac{-5 - 1}{2}

= \dfrac{-6}{2}

= -3

Así, x=-2 ó x=-3 son las dos soluciones de la ecuación x^2+5x+6=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 1, es mayor que cero.

Ejemplo 2

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x^2+2x-8=0.

Para empezar, debemos notar que el término x^2 no tiene antepuesto ningún coeficiente, esto quiere decir que está multiplicado por uno, ya que x^2 = 1 \cdot x^2. Así, tenemos que a=1, b=2 y c=-8. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2}

= \dfrac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}

= \dfrac{-2 \pm 6}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-2 + 6}{2}

= \dfrac{4}{2}

= 2

x = \dfrac{-2 - 6}{2}

= \dfrac{-8}{2}

= -4

Así, x=2 ó x=-4 son las dos soluciones de la ecuación x^2+2x-8=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 36, es mayor que cero.

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Ejemplo 3

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 5x^2-15x-50=0.

Para empezar, debemos notar que a diferencia de los ejemplos anteriores, el término x^2 tiene antepuesto el número cinco. Así, tenemos que a=5, b=-15 y c=-50. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}

= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

= \dfrac{3 \pm 7}{2}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{3 + 7}{2}

= \dfrac{10}{2}

= 5

x = \dfrac{3 - 7}{2}

= \dfrac{-4}{2}

= -2

Así, x=5 ó x=-2 son las dos soluciones de la ecuación 5x^2-15x-50=0. Notemos que existen dos soluciones pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 49, es mayor que cero.

Ejemplo 4

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 3x^2+12x+12=0.

Tenemos que a=3, b=12 y c=12. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4 \cdot (3) \cdot (12)}}{2 \cdot 3}

= \dfrac{-12 \pm \sqrt{144-144}}{6}

= \dfrac{-12 \pm 0}{6}

Entonces, sumamos para calcular una solución y restamos para calcular la otra:

x = \dfrac{-12 + 0}{6}

= -2

x = \dfrac{-12 - 0}{6}

= -2

Así, x=-2 es la única solución de la ecuación 3x^2+12x+12=0. Notemos que sólo existe una solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = 0, es igual a cero.

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Ejemplo 5

Calcule la solución de la siguiente ecuación cuadrática: 7x^2-2x+6=0.

Tenemos que a=7, b=-2 y c=6. Entonces,

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

= \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot (7) \cdot (6)}}{2 \cdot 7}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{4-168}}{14}

= \dfrac{2 \pm \sqrt{-164}}{14}

No es posible calcular en los números reales la raúz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, concluimos que la ecuación 7x^2-2x+6=0 no tiene solución en los números reales. Notemos que no existe la solución pues el discriminante, b^2-4 \cdot a \cdot c = -164, es menor que cero.


ulalá señor francés meme moe los simpsons | totumat.com
Cuando le dices «el método del discriminante»