Ejercicios Propuestos - Ecuaciones Diferenciales

Ejercicios Propuestos – Expresión lineal compuesta con una ecuación diferencial

Una ecuación de la forma

\dfrac{dy}{dx} = f(Ax + By + C)

puede siempre reducirse a una ecuación con variables separables considerando la siguiente sustitución

u=Ax + By + C \text{, con } B \neq 0

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. 4\frac{dy}{dx} = 5 (3x+4y+6)^2-1
  2. 3\frac{dy}{dx} = 5 (7x+9y+9)^2+2
  3. -9\frac{dy}{dx} = 7 (-9x-9y+2)^2-7
  4. -2\frac{dy}{dx} = 8 (-2x+5y+3)^2-6
  1. -3\frac{dy}{dx} = -5 (6x+2y+4)^2+4
  2. 2\frac{dy}{dx} = -6 (-2x-2y-3)^2+4
  3. 3\frac{dy}{dx} = 3 (2x+5y+2)^2-9
  4. -2\frac{dy}{dx} = 9 (-6x-9y+2)^2+5
  1. -5\frac{dy}{dx} = 4 (2x-1y-2)^2-2
  2. 4\frac{dy}{dx} = 5 (3x-2y+0)^2-4
  3. 2\frac{dy}{dx} = 4 (5x+7y+9)^2-5
  4. -4\frac{dy}{dx} = 8 (7x-4y+0)^2+4
  1. 9\frac{dy}{dx} = -7 (5x+1y+9)^2-1
  2. -\frac{dy}{dx} = 1 (6x-8y+6)^2-2
  3. 4\frac{dy}{dx} = 5 (-7x+6y+2)^2+5
  4. -\frac{dy}{dx} = 7 (9x-5y-1)^2-8

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Ejercicios Propuestos – Ecuaciones de Bernoulli

Una ecuación de la forma

\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)y^n

es conocida como una Ecuación de Bernoulli. Note que para n=0,1, este tipo de ecuaciones es lineal. En caso que n > 1, la sustitución u=y^{1-n} reduce cualquier Ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Halle la función y que satisface las siguientes ecuaciones diferenciales. Halle además, la función que satisface el valor inicial donde corresponda.

  1. 5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -6 )}{ -4 x } \cdot y= 90 ( -4 x )^{ 14 } \cdot y^ 9
  2. 9 \frac{dy}{dx} -5 \frac{( 6 )}{ - x } \cdot y= -18 ( -x )^{ -55 } \cdot y^ 6
  3. -5 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -1 )}{ x } \cdot y= -20 ( x )^{ 9 } \cdot y^ 7
  4. 6 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -6 )}{ 3 x } \cdot y= -42 ( 3 x )^{ -13 } \cdot y^ 3
  1. 4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -5 )}{ 8 x } \cdot y= -12 ( 8 x )^{ -31/16 } \cdot y^ 4
  2. \frac{dy}{dx} +4 \frac{( 9 )}{ -6 x } \cdot y= -9/2 ( -6 x )^{ 1/8 } \cdot y^ 4
  3. -9 \frac{dy}{dx} +8 \frac{( -7 )}{ -3 x } \cdot y= -567/8 ( -3 x )^{ 139/8 } \cdot y^ 8
  4. 3 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( -4 )}{ -8 x } \cdot y= -81/2 ( -8 x )^{ -13/4 } \cdot y^ 7
  1. -9 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( -8 )}{ 3 x -3 } \cdot y= -6 ( 3 x -3 )^{ 7 } \cdot y^ 2
  2. -9 \frac{dy}{dx} -2 \frac{( -1 )}{ -3 x -2 } \cdot y= -54 ( -3 x -2 )^{ -4 } \cdot y^ 3
  3. -5 \frac{dy}{dx} - \frac{( 2 )}{ 2 x -8 } \cdot y= -15 ( 2 x -8 )^{ -16 } \cdot y^ 4
  4. 7 \frac{dy}{dx} +4 \frac{( 4 )}{ -7 x -8 } \cdot y= 49 ( -7 x -8 )^{ 3 } \cdot y^ 5
  1. 3 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -2 )}{ -3 x -2 } \cdot y= 18 ( -3 x -2 )^{ 2 } \cdot y^ 7
  2. 6 \frac{dy}{dx} -3 \frac{( 7 )}{ 4 x -7 } \cdot y= -96 ( 4 x -7 )^{ 27 } \cdot y^ 9
  3. -4 \frac{dy}{dx} -8 \frac{( -1 )}{ -6 x -3 } \cdot y= -3 ( -6 x -3 )^{ -5/4 } \cdot y^ 4
  4. -5 \frac{dy}{dx} -4 \frac{( -1 )}{ -2 x -6 } \cdot y= -105/4 ( -2 x -6 )^{ -43/8 } \cdot y^ 8

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Ecuaciones de Bernoulli

Hemos visto que una ecuación expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x) es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no-homogénea y la solución de este tipo de ecuaciones se puede calcular usando el factor integrante.

También podemos notar que si la ecuación diferencial está expresada de la forma \frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y, se puede reescribir como una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden homogénea \frac{dy}{dx} + \big( P(x) - f(x) \big) y= 0 y en consecuencia se puede calcular su solución separando las variables.

Veamos a continuación, que este tipo de ecuaciones diferenciales se puede generalizar con el fin de desarrollar un método que nos permita calcular la solución.

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Para cualquier número natural n, diremos que una Ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria no lineal expresada de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} + P(x)y= f(x)y^n

Los casos para los cuales n=0 y n=1 fueron los nombrados en la introducción de esta sección. Para el caso n \geq 2, podemos calcular la solución de este tipo de ecuaciones usando recurriendo a la variable auxiliar

u=y^{1-n}

De esta forma reducimos la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea. Veamos con algunos ejemplos calcular la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales.

Ejemplos

Ejemplo 1

Calcule la solución de la siguiente ecuación diferencial ordinaria

3x\frac{dy}{dx} + 6y = 12xy^2

Lo primero que debemos hacer es estandarizar la ecuación diferencial y para esto dividimos cada uno de los sumandos involucrados por 3x para obtener

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

Una vez estandarizada la ecuación diferencial, recurrimos a la variable auxiliar u=y^{1-n} que en este caso, n=2, por lo tango estará expresada como u=y^{-1} de donde podemos despejar y elevando a -1 y de forma general, para hacer este despeje, se eleva a \frac{1}{1-n} ambos lados de la ecuación para obtener que

y=u^{-1}

Será necesario calcular el diferencial de y, así que usando la regla de la cadena concluimos que

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -u^{-2} \frac{du}{dx}

Entonces, sustituimos y y \frac{dy}{dx} en la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = 4y^2

\; \Rightarrow \; \left( -u^{-2} \frac{du}{dx} \right) + \frac{2}{x} \left( u^{-1} \right) = 4 \left( u^{-1} \right)^2

\; \Rightarrow \; -u^{-2} \frac{du}{dx} + \frac{2}{x}u^{-1} = 4u^{-2}

Posteriormente, estandarizamos esta nueva expresión dividiendo cada uno de los sumandos por -u^{-2} y así, reescribimos la nueva ecuación como una ecuación diferencial ordinaria lineal no-homogénea

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

Identificamos la función P(x) que nos permite calcular el factor integrante de la siguiente manera

P(x) = - \frac{2}{x} \Rightarrow \rho(x) = \textit{\Large e}^{\int - \frac{2}{x}} = x^{-2}

Entonces, calculamos la solución de la ecuación diferencial

\frac{du}{dx} - \frac{2}{x}u = -4

\; \Rightarrow \; x^{-2}\frac{du}{dx} - x^{-2}\frac{2}{x}u = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \frac{x^{-2} u}{dx} = -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; \int \frac{x^{-2} u}{dx} = \int -4x^{-2}

\; \Rightarrow \; x^{-2} u = \frac{4}{x} + C

\; \Rightarrow \; u = 4x + Cx^2

Finalmente, ya que hemos expresado la variable auxiliar u en función de x, volvemos a sustituirla para obtener y

y^{-1} = -4x + Cx^2 \Rightarrow y = \frac{1}{-4x + Cx^2}