Distributivité

Lorsque nous additionnons des nombres réels, nous avons la liberté d’associer légèrement les nombres impliqués. De la même manière, si nous multiplions les nombres réels, il faut cependant être prudent lorsque nous rencontrons des opérations mixtes, c’est-à-dire des sommes et des produits à la fois. Ensuite, nous verrons une opération qui nous permet d’exploiter des sommes et des produits en même temps :

La distributivité indique que, si un nombre multiplie la somme de deux nombres, alors le facteur impliqué est distribué entre chacun des opérandes. Formellement, si a, b et c sont des nombres réels, alors

Nous pouvons également appliquer cette opération si une soustraction est impliquée au lieu d’une somme entre parenthèses, comme suit :

Nous remarquons que si nous observons cette égalité de droite à gauche, nous prenons le facteur commun qui existe dans les deux termes de la somme et nous le retirons pour le multiplier :

a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c)

La distributivité est donc l’une des propriétés les plus utilisées dans le calcul des opérations mixtes et à partir d’elles, nous pouvons en déduire certains cas pour faciliter la simplification des expressions mathématiques. Voyons quelques exemples pour bien comprendre cette propriété :

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Exemples

Exemple 1

Utilisez la distributivité pour développer l’expression 2 \cdot (1 + 6). Dans ce cas, il n’est pas nécessaire d’utiliser la distributivité puisque nous pouvons additionner les nombres qui sont entre parenthèses puis effectuer l’opération de multiplication comme suit :

2 \cdot (1 + 6) = 2 \cdot 7 = 14

Exemple 2

Utilisez la distributivité pour développer l’expression 2 \cdot \left(1 + \sqrt{6} \right). Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 6, donc on ne peut pas tout simplement l’additionner avec 1, nous distribuons le facteur impliqué à la place

2 \cdot \left( 1 + \sqrt{6} \right) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2 \sqrt{6}

Exemple 3

Utilisez la distributivité pour développer l’expression 5 \cdot \left (x - \sqrt{10} \right). Notez que l’un des opérandes de la somme impliqués est la racine carrée de 10 et l’autre est une inconnu, donc nous ne pouvons pas les soustraire, nous distribuons donc le facteur impliqué

5 \cdot \left( x - \sqrt{10} \right) = 5 \cdot x - 5 \cdot \sqrt{10} = 5x - 5\sqrt{10}

Exemple 4

Utilisez la distributivité pour développer l’expression x \cdot \left (x + x^2 \right). Notez que l’un des opérandes impliqués est une inconnue et l’autre est l’inconnue carrée, donc nous ne pouvons pas tout simplement les additionner, puis nous distribuons le facteur impliqué

x \cdot \left( x + x^2 \right) = x \cdot x + x \cdot x^2 = x^2 + x^3

Exemple 5

Utilisez la distributivité pour retirer le facteur commun de l’expression 18 + 3 \sqrt{7}. Notez que 18 = 3 \cdot 6, alors,

18 + 3\sqrt{7} = 3 \cdot 6 + 3 \sqrt{7} = 3 \cdot \left( 6 + \sqrt{7} \right)

Exemple 6

Utilisez la distributivité pour supprimer le facteur commun de l’expression x^4 - 8x. Notez que l’un des opérandes impliqués est la puissance quatrième de l’inconnue et l’autre est 8 fois l’inconnue, donc nous ne pouvons pas les soustraire, alors

x^4 - 8x = x \cdot x^3 - x \cdot 8 = x \cdot \left( x^3 - 8 \right)

Exemple 7

Utilisez la distributivité pour prendre le facteur commun de l’expression 12x^7 + 15x^4 . Nous ne pouvons pas additionner ces deux éléments, donc

12x^7 + 15x^4 = 3 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot x^3 + 3 \cdot 5 \cdot x^4 = 3 x^4 \cdot \left( 4x^3 + 5 \right)


¿Tiendes dudas? ¿Requieres más ejemplos? No dudes en escribir.

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